一元二次方程根与系数的关系复习讲义.doc

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）复习讲义【知识点睛】如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．② 若，则方程必有实数根．③ 若，方程不一定有实数根．④ 若，则必有一根．⑤ 若，则必有一根．⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【重、难点】1、对根与系数关系的推导；2、根与系数关系的灵活应用理解【例题精讲】【例1】 已知关于的方程的一个根是另一个根的平方，求的值．【例2】 ⑴若方程的一个根为，则方程的另一个根为　　　，　　　．⑵已知方程的两根为、，则　　　．⑶已知、是方程的两个实数根，的值为　　　　．⑷已知、是方程的两根，求的值．【例3】 已知关于的方程的一个解与方程解相同．⑴求的值；⑵求方程的另一个解．【例4】 设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是＿＿＿＿．【例5】 已知方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方.【巩固】设的两实数根为，那么为两根的一元二次方程是____________。

例6】 已知某二次项系数为的一元二次方程的两个实根为、，且，试求这个一元二次方程．【例7】 已知方程的两根为，求：⑴；　　⑵　　　⑶【巩固】已知，是方程的两个实数根，则 , , , , ， , , .【巩固】设、是方程的两根，则代数式的值是 ，代数式的值是 ．【巩固】⒈ 已知、均为实数，且满足，．求的值．(2007——2008北大附中初三第一学期期中试题)⒉ 阅读材料：设一元二次方程的两根是、，则根与系数关系为：，．已知，，且，求的值．⒊ 设、、、为互不相等的实数，且，，则 （ ）．A． B． C． D．无法确定【例8】 已知，是一元二次方程的两个根，求的值．【例9】 (三帆中学初三第一次月考附加题)已知是不等式组的整数解，、是关于的方程的两个实根，求：⑴ 的值；⑵ 的值．【例10】 (2001年全国初中数学竞赛试题)如果，都是质数，且，，求的值．【巩固】（1999年全国联赛试题）设实数分别满足，并且，求的值.。