小学奥数—分数应用题之工程问题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑小学奥数—分数应用题之工程问题 小学奥数 分数应用题之工程问题 教学目标 工程问题是分数应用题中最重要的一大类，由于处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常展现 1. 2. 3. 工程问题的根本数量关系与一般解法； 工程问题中的常见解题方法； 工程问题算术方法在其他类型式题中的使用 经典精讲 工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题” 1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量， 表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率 2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”， 和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，结果利用从前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般处境下，工程问题求的是时间。

有的处境下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法 根本题型 【例1】 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲 持续做，从开工到完成任务共用了16天乙请假多少天? 【分析】 1441?16?，还有1??，是乙做的，乙干了了20555111??116??1??16???16?6?10（天），休息了16?6?10（天），请假天数为： ??6（天） 530?20?30114（法二）假设乙没有请假，那么两人合作16天，应完成(?)?16?， 203034111超过单位“1”的?1?，那么乙请假? ?10（天） 33330（法一）甲一共干了16天，完成了 【拓展】一项工程，甲队单独干20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单 独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 112，甲的工作量：?8?， 205202331 乙的工作量：1??，乙的工作效率：?15?， 55525 所以乙单独完成这项工作需25天。

【分析】甲的工作效率： 【例2】 搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时有同样的仓库A和B，甲在 A仓库，乙在B仓库同时开头搬运货物，丙开头帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，结果同时搬完两个仓库的货物丙扶助甲、乙各搬运了几小时？ 【分析】 111（1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：2?(??)?8小时 1012151??1（2）丙扶助甲搬运了?1??8???3小时 ?10?15（3）丙帮乙搬运了8?3?5小时 【拓展】甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加 1，假设让甲、4乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？ 1??111?????18天， 【分析】三队合做完成二项工程所用的天数?1?1?????4??202430???11?1?15天 丙帮乙队做的天数：?1???18???424?30 技巧与方法 一、 代换法 小时，还需甲、丙两管同时开2小时。

乙单独开几小时可以灌满？ 【分析】 根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6 【例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满现在先开乙管6 小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，其次个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一 111池水可以计算出乙单独灌水的工作量为1??2??2?，所以乙的工作效率为 5410111，所以整池水由乙管单独灌水，那么需要1? ?(6?2?2)??20（小时） 102022 【稳定】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成两队合做2天后由乙队独做， 还要几天才能完成？ 【分析】（法一）两队合做2天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做 4161610的片面相当于甲做的4天，所以乙做了4??天，除去与甲合作的2天，以还要做?2?3333天 111（法二）甲的工作效率为，所以乙的工作效率为?3?4?两队合作2天后乙队独做还 6681?1?110要?1??2??2???天才能完成。

6883?? 【例4】 一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半已知甲、乙工效的比 是2:3假设这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？ 【分析】 根据甲、乙工效比是2:3，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是3:2， 2也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样 32才完成工程的一半”可知，甲一共做了2?7?9天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要9??632??天完成工程的一半乙要用6+7=13天所以这项工作由乙单独来做需要??2?7???7??2?263??天 【例5】 一项工程，假设甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；假设甲先做20天，那么乙接着做8 天可完成假设甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 【分析】 此题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换 1可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。

又由于乙工作4天的 244141工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，??，甲、乙合作这 524530111一工程需用的时间为1?(?)?13 (天) 24303 【例6】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替 甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，??，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？ 【分析】 ①若甲、乙两人合作共需多少小时？ 1?51?11?????1??7（小时） 365?1218?②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 1?351?11?7?????1?? 12183636??1③余下的由甲独做需要多少小时？ 36111??（小时） 3612311④共用了多少小时？7?2??14（小时） 33注：在工程问题中，转换条件是常用手法甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共举行了多少个这样的2小时，余下片面问题就好解决了 【例7】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这 项工作。

假设交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；假设交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：假设同时交换工人A和B，C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？ 【分析】 1111 ，交换工人A和B后效率裁减，交换工人C和D后效率??101011110111111101增加??，同时交换工人A和B，C和D后效率变为，所需时间???10110909909109010181为：1? ?9990101最初的效率为 二、 比例法 【例8】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙那么要超过规定时间3天才能完成假设甲、 乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成甲、乙两合做需几天完成？ 【分析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙那么要超过规定时间3天才能完成假设甲、乙合 做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时 3间比甲多3+2=5天。

乙独做的天数是：(3?2)?， ?15（天） 3?21??1甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需1?????6（天） ?1015?注：留神工程问题里也经常用到比例，是由于工程问题的根本数量关系是乘法关系其实这一点是与工程习惯无关的 【例9】 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的马路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫 需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？ 【分析】 11（法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：1?(?)?6小时 10151312⑵甲清扫全长的?6?，乙清扫了全部的?6? 105155?32?⑶东西两城相距12?????60千米 ?55?（法二）由于时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是甲行了全程的 11:?3:2，101533?32?，乙行了全程的，全程就是12?????60千米 3?23?2?55? — 10 —。