鲁教版初二(下)数学第53讲：菱形(学生版).docx

菱形____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、掌握菱形的概念判定与性质，理解菱形与平行四边形的之间的联系；2、会用菱形的性质解决简单的证明和计算问题；3、从菱形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点． 1．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）（2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）2．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形． 几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线_____且_____其所段．　　 ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距 离相等．4．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的　　． （即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边 的直角三角形． 该定理可一用来判定直角三角形．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定____斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意一 条直角边．6．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理： 三角形的中位线_______第三边，并且等于第三边的_____．（2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE=BC． 7．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．1. 菱形的性质．【例1】（2014•北京房山中学期末）边长为3cm的菱形的周长是（　　）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm练1. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）A．1 B． C．2 D．2练2. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．62. 菱形的性质；勾股定理．【例2】（2014•太原杏花岭中学月考检测）在菱形ABCD中，若对角线的长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=　 　cm．练3. 如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　　．3. 菱形的性质；平行四边形的判定与性质．【例3】（2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=　　°．练4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．4．菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【例4】（2014•山西朔州一中期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）A．28° B．52° C．62° D．72°练5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．5．菱形的性质；线段垂直平分线的性质．【例5】（2014•河南平顶山一中月考）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（　　）A．100° B．104° C．105° D．110°练6．如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是　　cm．1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　　　　　　，可使它成为菱形．3．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CB的中点，则OE的长等于　　．4．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是　　　．5．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　　　　．　6．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO=　　　　，菱形ABCD的面积S=　　　．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+42．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　　　　．3．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　　　　　cm．4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　　　　　．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　　　　　．6．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．7．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．8．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．9．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？10．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．　11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．本文档可以自行编辑 。