一元二次不等式的解法(学案).doc

. . . . §2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、形如的函数叫二次函数；形如 的方程叫一元二次方程；形如的不等式，叫作一元二次不等式.2、二次函数 当a＞0时，图像是：①判别式，函数图像和x轴相交（如图3），有两个交点，设交点是， , 由图像可知，当自变量时，函数值零；当时，函数值零；当时，函数值零.对于一元二次方程有两个不相等的实数解是：;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是：②判别式，函数图像和x轴相切（如图4），有一个切点，设切点是，由图像可知，当自变量时，函数值零；当时，函数值零;对于任意实数，函数值都不会零.对于一元二次方程有两个相等的实数解是：;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是： ③判别式，函数图像在x轴上方（如图5），由图像可知，当自变量时，函数值均零；即对于任意实数，函数值都不可能零.对于一元二次方程无实数解;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：3、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之．具体地：①设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外）②设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之）注意：①若不等式中，a,可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解以下不等式1、3x2+5x-2>0 2、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>0 4、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.以下结论正确的是 （ ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2} B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}2.不等式≤0的解集是 （ ）A.（-∞,-1） B. C.（-∞,-1） D.3.已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是()A. B. C. D.4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1对任意实数x成立,则 ( )A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2 C.＜a＜ D.-＜a＜5. A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为. 例题讲解例1 解不等式≥(x2-9)-3x.例2 已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.例3 已知不等式＞0 (a∈R).(1)解这个关于x的不等式;(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值围.例4已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1，+∞）时，f(x)≥a恒成立，求a的取值围.变式练习1.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为，求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0的解集.2.解关于x的不等式＜0 （a∈R）.3.函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的围;(2)当x∈［-2,2］时,f(x)≥a恒成立,求a的围.练习作业一、选择题1.函数y=的定义域是（ ）A.［-,-1）∪（1，］ B.［-,-1］∪（1，）C.［-2,-1）∪（1，2］ D.（-2,-1）∪（1，2）2.不等式＞0的解集是 （ ）A.（-2,1） B.（2，+∞） C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值围是( )A.m＞1 B.m＜-1 C.m＜- D.m＞1或m＜-4.若关于x的不等式：x2-ax-6a＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a的取值围是 ( )A.-25≤a≤1 B.a≤-25或a≥1 C.-25≤a＜0或1≤a＜24 D.-25≤a＜-24或0＜a≤15. （10年全国高考（第2套试题第5题））不等式的解集为：（ ）（A） （B）（C） （D）6.不等式组的解集为 （ ）A.{x|-1＜x＜1} B.{x|0＜x＜3} C.{x|0＜x＜1} D.{x|-1＜x＜3}二、填空题7.若不等式2x＞x2+a对于任意的x∈［-2，3］恒成立，则实数a的取值围为.8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=,则实数a的取值围为.三、解答题9.解关于x的不等式56x2+ax-a2＜0.10.已知x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集.11.若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值围.12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时，其值为正，而当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.（1）数a,b的值与函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？§2.1 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理2、形如的函数叫二次函数；形如 的方程叫一元二次方程；形如的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数 当a＞0时，图像是：①判别式，函数图像和x轴相交（如图3），有两个交点，设交点是， , 由图像可知，当自变量时，函数值大于零；当时，函数值小于零；当时，函数值等于零.对于一元二次方程有两个不相等的实数解是：;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是：②判别式，函数图像和x轴相切（如图4），有一个切点，设切点是，由图像可知，当自变量时，函数值大于零；当时，函数值等于零;对于任意实数，函数值都不会小于零.对于一元二次方程有两个相等的实数解是：;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：的解集是：③判别式，函数图像在x轴上方（如图5），由图像可知，当自变量时，函数值均大于零；即对于任意实数，函数值都不可能小于或等于零.对于一元二次方程无实数解;对于一元二次不等式的解集是：的解集是：的解集是：4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之．具体地：①设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为：或（两根之外）②设不等式，对应方程有两个不等实根和，且，则不等式的解为： （两根之）注意：①若不等式中，a,可在不等式两边乘转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法．基础练习一、解以下不等式1、3x2+5x-2>0 2、9x2-6x+1>03、x2-4x+5>0 4、-x2+x+1<05、-x2+4x-4>0二、设A，B分别是不等式3x2+6≤19x与不等式-2x2+3x+5>0的解集，试求A∩B,A∪B.三、解关于x的不等式：x2-(2m+1)x+m2+m＜0.四、解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.基础自测1.以下结论正确的是 （ C ）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}2.不等式≤0的解集是 （ D ）A.（-∞,-1） B.C.（-∞,-1） D.3.已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是(C )A.B.C.D.4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1对任意实数x成立,则( C )A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2C.＜a＜ D.-＜a＜5.A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为0. 例题讲解例1 解不等式≥(x2-9)-3x.解 原不等式可化为-x2+≥x2--3x, 即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=. 所以原不等式的解集为.例2 已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.解 方法一 由已知不等式的解集为(,)可得a＜0,∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，①②∴由根与系数的关系可得∵a＜0,∴由②得c＜0,则cx2+bx+a＜0可化为x2++＞0, ①÷②得==-＜0,由②得==·＞0, ∴、为方程x2+x+=0的两根.∵0＜＜, ∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为.方法二 由已知不等式解集为(,),得a＜0,且，是ax2+bx+c=0的两根， ∴+=-,=,∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0()x2-(+)x+1＞0(x-1)(x-1)＞0＞0.∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,∴cx2+bx+a＜0的解集为.例3 已知不等式＞0 (a∈R).(1)解这个关于x的不等式;(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值围.解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0.①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x＜-1;②当a＞0时,不等式化为(x+1)＞0,解得x＜-1或x＞;③当a＜0时,不等式化为(x+1)＜0;若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若＞-1,即a＜-1,则-1＜x＜.综上所述,a＜-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;-1＜a＜0时,解集为;a=0时,解集为{x|x＜-1};a＞0时,解集为.(2)∵x=-a时不等式成立,∴＞0,即-a+1＜0,∴a＞。