概念教学要铺垫能力提高要训练(邵光华).doc

概念教学要铺垫 才能进步要训练(邵光华) - 概念教学要铺垫 理解深化要训练 ——基于特级老师陶维林老师的一堂概念课 邵光华 〔宁波大学老师教育学院〕 陈学梅 〔河北师范大学数信学院〕 2023年10月18日，风和日丽，在世界著名数学大家陈省身先生的母校浙江嘉兴秀州中学“将来厅”聆听了著名特级老师陶维林老师的一堂精彩的“任意角的三角函数”概念课深有感触，让我们体会到了新课程背景下如何突出中学数学核心概念、思想方法的教学 一、合理进展教学设计——突出正弦，类比其他 三角函数是数学核心概念，它不仅是三角函数内容的根本，几乎三角函数的性质都可以从这个概念导出，而且还是诸多概念的根底，如解三角形的正余弦定理、面积公式、向量的内积等，都涉及到三角函数的概念核心概念的教学与一般概念的教学的就不同在于要舍得花时间在这些概念上，因为这些概念不仅是根底，而且就概念教学本身而言也蕴涵着丰富的数学思想方法内容，而一般概念可能只是为了好表达而给个名称，主要作为一个数学名词，不具有根底性 任意角三角函数包括正弦、余弦和正切三类函数，这三类函数在统一环境下被定义，区别只是定义式或函数对应方式的不同，而这在形成任意角三角函数概念的学习中不是关键，关键是如何引导学生从过去的三角形定义自然过渡到坐标系定义，让学生从中感受到一些数学活动经历。

陶老师正是根据三角函数内容的这一特点分析^p ，对三类函数不采取齐头并进的教学安排方式，而是突出正弦函数概念的分析^p ，采用先解剖“麻雀”而后合情类比定义的方式，将重心放在正弦函数的讨论上，这样的设计是科学而合理的这样做，老师就可以将教学的着力点放在如何由锐角三角函数过渡到任意角三角函数以及如何引导到坐标系中由坐标表示三角函数上来事实上，根据高一学生的认知程度，假如能以正弦为主线，将问题分析^p 清楚，其他两种函数完全可以采用合情推理的方式平行迁移过去所以，这种设计思道路条明晰，可行 二、课堂教学片段描绘及特色分析^p 1．合理铺垫，抓住了知识的固着点 根据学生已有知识构造情况，任意角三角函数学习属于概念同化学习，而同化的根底就是初中阶段学习的锐角三角函数，所以，锐角三角函数是任意角三角函数学习的固着点，概念同化的根底，进一步建构知识的生长点考虑到要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数．陶老师首先设计了一个唤起学生回忆的 问题1：同学们在初中学习过锐角三角函数，如今，我任意画了一个锐角α〔用几何画板展示一个锐角α，如图1〕，要求出sinα，cosα，tanα的近似值，我们该怎么做？〔愿意说的请举手〕 图1 图2 活动过程描绘：老师让学生动手，要求学生在练习本上任意画一个锐角α，借助三角板，找出sinα的近似值．老师下去巡视、指导，并提示大家，求出或知道怎样求的而又愿意说的请举手，说说你是怎样求的，交流想法。

学生利用手中的三角板在练习本上开场画角、画直角三角形，度量边长，计算比值．由于学生举手的不多，老师采用“坐标提名”的方式选人答复[这是坐标思想的实际应用，老师寓坐标思想于课堂提问上]，选择〔4，0〕讲，要求她大声对学生说出自己是怎样求的：先画一个锐角，-做垂线，-〔师：渐渐说〕，量出值，做商该生全部用自然语言将自己的画法和求法进展了详细而又略显冗余不甚条理地描绘了出来在听完这个同学的陈述之后，老师另让一个同学看能否用精练的语言表达？该生表达几句后自我感到不能用普通口语明晰地表达，就主动要求“我是否可以上去画个图说明？”〔师：可以〕[这个同学在表达不下去时可以主动要求借助图说，反映了学生灵敏选择适宜的数学语言进展表达的才能]学生上黑板画出图2并借助它进展了明晰地说明在边AC上任意画一点P，过P作边AB的垂线，垂足为M，度量MP，OM，AP的长，计算 sinMPAMMPα=，cosα=，tanα=．师：她讲的好吗？生众：好！师：怎么不鼓掌呢？全班响APAPAM起了欢快的掌声课堂进入到了一个和谐的气氛 老师又结合几何画板课件变化点P的位置展示三个三角函数值的不变性，让学生直观认识到：〔1〕正弦函数与点的位置的选取无关；〔2〕正弦函数是三角形中线段长度的比值对边〔〕． 斜边特色分析^p ：培养学生应用数学的才能，其中之一应该包括运用数学语言表达事物或关系的才能，数学语言是丰富的，有自然语言、符号语言和图表语言等，选择何种语言表达本身就是学生语言才能的一种表达。

老师不直接要求怎样去表达，而是让学生自己去设法将自己的想法表达清楚，外表上仅是把自主权给了学生，而实际上是训练了学生合理选择运用数学语言的才能，这个手法是非常高明的 2．注重“考问”启发，暴露学生思维过程 通过上述问题的铺垫，老师进一步提出下面的 问题2：sinα是直角三角形中角α的对边长与斜边长的比值．根据相似三角形性质，这个比值与所画点的位置无关．那么“有人想过没有，不用求比值了，量下就可以了？”也就是能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得到？ 活动过程描绘：学生积极考虑，通过考虑，一生举手说“取单位长”师：你认为，哪条边画成单位长方便呢？生：斜边画成单位长，对边长的数值就是sinα，邻边长的数值就是cosα．[这样，让学生认识到，把斜边画成单位长，对边的长度值就可以作为sinα了．这为过渡到后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做了进一步的铺垫准备．] 教学进展到这里，关于锐角三角函数的关系构造或对应法那么已经明晰，进一步，从通常对待函数的三要素观点，老师自然提出 问题3：“锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分别是什么？” 活动过程描绘：学生答复“角的度数，比值”。

为了将学生从初中的锐角〔角度制〕引π导到弧度制，也就是〔0，〕这个区间内的实数，老师提出一个过渡性问题：“上节课学的2什么？” 生众：任意角，弧度制老师借助多媒体展示“弧度值与实数一一对应-”说明都是实数老师利用几何画板，在原来呈现的几何角的根底上加上坐标系，把角α的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合，转动另一条边，表现任意角．在老师的引导下，让学生认识到：锐角三角函数sinα作为一个函数，自变量是锐角．由于角的弧度值与实数可π以一一对应，所以，α是〔0，〕上的实数．而与之对应的函数值sinα是线段长度的比值，2这个比值的取值范围是区间〔0，1〕上的实数． 特色分析^p ：问题3对学生来说可能过于抽象，虽然学生一直是按三角函数来学习sinα的，但函数特征并没有多强调，在学生头脑里sinα的概念可能更大成分上是操作性的——它就是对边比斜边，而还没有形成为一个特殊的函数对象——自变量、因变量、对应关系、取值范围〔定义域、值域〕的复合体，而这步工作非做不可，否那么，学生很难从一般角度对待任意角三角函数老师通过精细的分析^p 逾越了这个鸿沟 考虑：在这里，假如问题问成“分别取什么样的值？”可能会更好些。

事实上，在《全日制义务教育数学课程标准〔实验稿〕》中，关于锐角三角函数也没有要求到抽象理解的程度，只是要求：“通过实例认识锐角三角函数〔sinA，cosA，tanA〕，知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由三角函数值求它对应的锐角以及“运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 3．注重数学内在本质的提醒，让学生参与概念的定义 通过上面环节的复习温故，学生对原有认知构造中的锐角三角函数有了明晰的回忆，而且还有了更深入地理解，能从抽象函数的角度对待sinα了老师开场进入新知识的教学环节，进一步提出 问题4：[多媒体展现]如今，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0°~360°内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合．在这样的环境中，你认为，对于任意角α，sinα怎样定义好呢？ 活动过程描绘：通过一阵启发和考虑，一个学生想到了：“在我看来，不能再用角了，该用弧度制了”老师不是这个意思，让同学们讨论，老师要求“再把我的要求看一看，这样的环境里，什么环境里？多了坐标系！”又耐心地把问题展示一遍另一个学生发言说出了“用坐标定义”的思想。

师：如何定义？该生难以纯粹地用语言表达，提出要老师把图再投影出来，利用图说明老师投影出图，学生结合图说明了自己的定义方式〔让学生选择表达的方式，而不是老师画好图，学生自己决定使用不同的语言表达你的思想，这有助于数学语言的运用〕老师反问：“为什么想到用坐标呢？”通过与这个学生的平等对话交流，让全体学生明白了用坐标定义的合理性，将学生的意思在几何画板上进一步详细说明，“他的意思-”，并进而给出三角函数的单位圆定义，并简单地在黑板的一角边〔因为黑板正中一大块被投影屏幕遮住了〕板书出：sinα=y,cosα=x,tanα=y x特色分析^p ：这个问题将学生由初中阶段的几何图形中的定义引导到坐标系环境下，打破了学生原有认知构造的平衡，让学生感受到了原来定义方式的局限性，以及学习新知识的必要性．事实上，角的范围扩大了，自然想到与之有关的概念的推广的必要性，这是数学科学内部开展的一个重要特征——数学外推在外推的过程中，一个重要的问题是注意因袭，即外推的东西与原来的概念或原理的一致性问题老师在这里很好地把握了这个问题在这里，老师让学生探究合理的定义方式[与原来定义不矛盾、协调]，不是直接给出定义，而是把定义的主动权交给学生，引导学生参与定义过程，开展思维． 考虑：假如先将锐角三角函数的定义移植到坐标系中来，把锐角三角函数做足，然后再推广到任意角，是否更好些。

4．灵敏调整预设，注重生成利用 在这里，老师备课时其实是做了两种预设的： 可能一：在角α的终边上任意画一点P〔x，y〕，|OP|＝r． yxysinα＝，cosα＝，sinα＝． rrx可能二：取r为单位长，角α终边与单位圆的交点为P〔x，y〕 ysinα＝y，cosα＝x，tanα＝． x假如出现可能一，那么再问都是这样的吗？我有另一种定义方法，你同意吗？哪种好呢？确认两种定义方法的一致性． 出现两种可能，那么问：哪种好，好处在哪里？你赞成哪一种？ 你为什么认为这样定义好？我这样定义行不行？那你的定义好在哪里呢？ 在上述单位圆定义方式产生后，老师进一步提出问题：“我任意取，用比值是否可以？”生众：“可以”师：“那么，我想问你，两种定义喜欢哪一种？”生众：“第一种”师：“为什么？”生众：“简单” 特色分析^p ：理解学生的情感，拉近与学生的间隔 5．通过应用深化概念理解，注重提醒学生思维过程 老师让学生计算一些特殊角的三角函数值，以加深对概念的理解，训练学生概念的运用才能而每当一个问题计算出来后老师都问“你是怎么算的？”〔找交点，定坐标〕，以提醒学生思维过程，发现学生在概念理解和应用中的问题。

果不其然，其中，在计算cosπ时，老师提一个学生答复结果，说0.998老师问你是怎样计算的？生说“用计算器算的”这个学生是没有关注到新概念的学习，继续在原来的思维程度根底上认为三角函数都可以使用计算器进展计算，还是关注到了新概念的学习，而不知道练习是应用概念进展计算的？不管哪种情况，都应该引起我们的考虑 特色分析^p ：核心概念的学习是离不开概念的例释〔正例和反例〕的，它们是一体的通过“你是怎么算的”来暴露学生答案背后的思维分析^p 过程是有效的，也是必要的 反思：学生出现这类直接用计算器而不运用刚学习过的概念分析^p 的问题，可能与老师在板书定义式时不是太正规、有点轻描淡写、也没有进一步从操作意义上解释这个概念有关，或许在给出定义后让学生分析^p 一下这个概念，让学生将这个陈述性的概念转换为。