随机变量的分布函数随机变量的分布函数1. 定义定义:设设X是任意一个随机变量是任意一个随机变量,称函数称函数 F(x)=P(X≤x), －－∞＜＜x＜＋＜＋∞ 为随机变量为随机变量X的分布函数的分布函数. (1) 0≤F(x)≤1, －－∞＜＜x＜＋＜＋∞, (2) F(x)是是x的单调不减函数的单调不减函数; (3) (4) F(x)有至多可列个间断点有至多可列个间断点, 且在间断点处右连续且在间断点处右连续, 即即: F(x+0)=F(x) (5) P(aa)=1-P(X≤a)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0)2. 分布函数的性质分布函数的性质:一、分布函数一、分布函数湍副十质酱试眯谋扁评耳蹬囱秸茵组诈嘱慕寡赁近崇狄上粹图须诡帛衅葡06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 例例1. 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为0.7的的0-1分布分布,即即: X 0 1 P 0.3 0.7 , 求求X的分布函数的分布函数.解解: (1) 当当x<0时时, = 0 (2)当当0≤x<1时时, = P(X=0) = 0.3 (3)当当1≤x时时, = P(X=0)+P(X=1) = 13. 离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数柜扰刨舒娄韵劝济宽阅突厕翰梳供踏仇投垫驻涯贯靠定拟牺貌晰嚣盗拯寐06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的性质的分布函数的性质 (1)分布函数是分段函数分布函数是分段函数, 分段区间是由分段区间是由X的取值点划分成的的取值点划分成的 左闭右开区间左闭右开区间; (2)函数值从函数值从0到到1逐段递增逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是函数值跳跃高度是x取值区间中新增加点的对应概率值取值区间中新增加点的对应概率值; (4)分布函数是右连续的；分布函数是右连续的；X的分布函数为的分布函数为:分布函数图形如下分布函数图形如下:0.3xF(x)110襟狸璃皋畜怕蹦基柏队戒契酬链绒瘩芋叫耘仕矛顿善云什搅喧避夹溯娶卑06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 例例2. 设设X的分布函数为的分布函数为求求X的概率分布及的概率分布及P(1
对应概率值为对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2 解解: X的取值为的取值为 X 0 1 2(5) P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0) P(1-2), P( 1-2)=1-P(X≤-2) =1-F(-2)=1 或或 P(X>-2)=P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)+ P(X=4)=1 P(1
的分布函数解解: X~如图如图:分析分析:F(-2)==0F(1)==2/3F(3)==1-12-213F(1)xf(x)F(3)所以所以,(1) x<-1时时, F(x)==0(2) -1≤x<2时时, F(x)=(3) 2≤x时时, F(x)==1洁玉顽建嵌邻井代蒂寻秸锻胸剩恩震址泥巾祖折冻薛何迫镀蒲缄徘碑尘脏06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 xF(x)-11210可见可见: (1) F(x)为从为从0到到1单调递增的连续函数单调递增的连续函数; (2) F(x)为分段函数为分段函数, 区间划分与区间划分与f(x)的区间划分相同的区间划分相同, 区间区间 划分点可以属于该点左右的任何一个区间划分点可以属于该点左右的任何一个区间.X的分布函数为的分布函数为:分布函数图形如下分布函数图形如下:回虱缮壤圈逛葵社奖苗陀菏斟调勿僳滔怨垃勋酗闲回恐匣絮询真嫉个烩崎06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 (3)P{a
的分布函数垦鹅寸寐傣卉换朗支嗅狰天轴丢相抑铝眩昼愤昂抵皖冀埠舷关乃忻讶饶粕06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 例例6. 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求: (1) A; (2) P(0.3a)=1-F(a); P(X=a)=F(a)-F(a-0)4. P(x∈∈A)=5. F(x)有可列个间断点有可列个间断点,且右连续且右连续5. F(x)连续连续, 且且f(x)=P(X=a)=0P(X=xi)=F(xi)-F(xi-0) 沮磅裁酱矫睁舞独阶滴彪险瓢詹曾勋孩掂俏那召仆涪籽豺沏浓椭阉紧腊磺06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 课堂练习课堂练习1. 设设X~, 求求F(x).2. 设设X~, 求求(1)P(-23); (2) P(X≤2) (3)f(x)4. 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)=A+Barctanx,求求:(1)A, B; (2)X的概率密度的概率密度 f(x).侮掸魁辐掠周络庶估泵喳泰逞橱萧胀岸茬逗但汝菩喝忠衔芯抢年菠最庸底06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 5.（（934）设）设X~f(x)，且，且f(-x)=f(x)，，F(x)是是X的分布的分布 函数，则对函数，则对 任意实数任意实数a，有，有( ) ①①F(-a)=1- ②②F(-a)= ③③F(-a)=F(a) ④④F(-a)=2F(a)-1 6.(895）设）设 r.v X的分布函数为的分布函数为则则P{|X|<π/6}=（（ ）） 7.设设X~求求(1)A,(2)F(x),(3)P{0a)=P(X≥a)=1-Φ(a); (4)P(a-1.96) P(|X|<1.96)=1-Φ(-1.96)= 1-(1-Φ(1.96))= 0.975= 2Φ(1.96)-1= 0.95= Φ(1.96)解解: P(X>-1.96)P(|X|<1.96)欺傲更蔓间扑唤浅苗菠跃乖凡猿庄绞医截邯革淘饱秤镊崇营载扛刻盯焙织06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 例例8. 设设X~N(0,1), P(X≤a)=0.95154, P(X≤b)=0.04947, 求求a, b.解解:Φ(a)=0.95154>1/2, 所以所以,a>0, 反查表得反查表得: Φ(1.66)=0.95154, 故故a=1.66而而Φ(b)=0.04947<1/2,所以所以,b<0,Φ(-b)=1- Φ(b)=1-0.04947 =0.95053,-b>0,反查表得反查表得: Φ(1.65)=0.95053,即即: -b=1.65,故故, b=-1.65楷屈座漳哦悸怀螺省撤欢幕渊胳粘鲜求庶衷摘研柒海植耙茎跺耶冉蝉犀亮06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 称称 随机变量随机变量 X服从参数为服从参数为 μ,σ2的正态分布的正态分布, σ>0，，μ是任意实数，若是任意实数，若正态分布正态分布定义定义:性质性质:(1)(2) 概率密度图形是以概率密度图形是以 x=μ为对称轴的为对称轴的R上的连续函数上的连续函数,f(x)x0μ在在 x=μ点点 f(x) 取得最大值取得最大值;(3) 若若σ固定固定,μ改变改变,密度曲线随对称轴左右移动密度曲线随对称轴左右移动,形状保持不变形状保持不变;若若μ 固定固定, σ改变改变,σ越大越大,曲线越平坦曲线越平坦,σ越小越小,曲线越陡峭曲线越陡峭.σ小小σ大大一般正态分布一般正态分布X ~N(μ,σ2)俯哼谍烹乐擂忠资梗陪退坷侈搞邑医膏害惰丙拌哈眩相均戈细撮索莆享诊06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 2.一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系定理定理 设设X~N(μ,σ2),则则Y~N(0,1).推论推论: 若若X~N(μ,σ2), 则则证明证明:F(x)=P(X≤x)=Y~N(0,1)所以所以, 若若X~N(μ,σ2), 则则P(Xa) =P(a
分之间的概率解解:设设X为考生的外语成绩为考生的外语成绩,则则 X~N(72,σ2),由题意得由题意得:P(X>96)=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]=1-Φ(24/σ)所以所以 ,Φ(24/σ)=1-0.023=0.977反查表得反查表得:24/σ=2,故故:σ=12所求所求P(60C}=P{X≤C} 则则C=（（ ）例例2（（935）设）设X~N(μ，，42),Y~N(μ，，52),记记 p1=P{X≤μ-4}，，p2=P{Y≥μ+5}则则( ) ①①对任意实数对任意实数μ，都有，都有p1=p2 ②②对任意实数对任意实数μ，都有，都有p1p2例例3（（954）设）设X~N(μ，，σ2),则随则随σ的增大，概率的增大，概率P{|X-μ|<σ} （（ ）） ①①单调增大单调增大 ②②单调减少单调减少 ③③保持不变保持不变 ④④增减不定增减不定图示图示3①①③③练习练习宰纷鳖釉脚剃头刑聘牌拥维煽祷苗荧浮傍坪捉半工暗仿询让季恒笑珍藤藏06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 图示图示:f(x)x0μP(X≤μ)P(X≥μ)例例4.(881)设设 X ~ N(10，，0.0004),Φ(2.5) = 0.9938，则，则 X 落在区间（落在区间（9.95，，10.05）内的概率为）内的概率为( ).例例5(911) 设设 X ~ N(2,σ2), 且且P{2
的分布密度憾幕矗铣独别琳抠彼海行爱余柑辜代情狼彻贬劝畔等帘沼胚聘髓该朗锌烛06-随机变量的分布函数06-随机变量的分布函数 。
