泛函分析中的定理.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑泛函分析中的定理 第四章 习题课 根本内容 1．线性有界泛函 f:D?X??得志f(?x??y)??f(x)??f(y)，线性． 若?x?D，|f(x)|?M||x||．——称f有界． 2．线性有界泛函的范数 ||f||?supx??|f(x)|． ||x||||x||?1 ||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|． ||x||?1共轭空间（Banach空间）(Rn)*?Rn，(lp)*?lq，(Lp[a,b])*?Lq，H*?H． 根本定理： ①延括定理：G?X是线性子空间，f:G?X??是线性有界泛函，那么?F?X*，使（ⅰ）当x?G时，F(x)?f(x)； （ⅱ）||F||X?||f||G． ②两个推论： ?x0?X，x0??，||f||?1， （Ⅰ）（Hahn—Banach定理）设Xl.n.s，那么?f?X*，f(x0)?||x0||． （Ⅱ）设Xl.n.s，G?X是线性子空间，x0?X，d(x0,G)?0，那么?f?X*，得志（ⅰ）?x?G，f(x)?0； （ⅱ）f(x0)?d； （ⅲ）||f||?1． 3．线性有界算子 X1，X2——l.n.s，D?X1线性子空间，T:D?X2得志 T(?x??y)??T(x)??T(y)． 4．线性有界算子，算子范数． 5．根本定理 引理：（开映射原理）：若X1，X2是Banach空间，T?B(X1?X2)，且 R(T)?X2，那么T为开映射． ① 逆算子定理：设X1，X2都是Banach空间，T:X1?X2满射，可逆的线 性有界算子，那么T的逆算子T?1是有界算子． ② 闭图像定理：设X1，X2都是Banach空间，T:D(T)?X1?X2是闭算子， 其中D(T)是X1的闭子空间，那么T是线性有界算子． ③ 共鸣定理：设X1是Banach空间，X2是l.n.s.{Xi|i?A}是一族X1?X2的线性有界算子，那么 {||Ti|||i?A}有界??x?X1，{||Tix|||i?A}有界． 6．强收敛与弱收敛 ① l.n.s中的点列的强、弱收敛． （ⅰ）若||xn?x||?0，称{xn}强收敛于x，记为xn?x； （ⅱ）若?f?X，|f(xn)?f(x)|?0，称xn?x（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件） xn?x?（ⅰ）{||Xn||}有界；（ⅱ）?M*?X*（稠密），使?f?M*， |f(xn)?f(x0)|?0． ***④ 算子列的各种收敛性： （ⅰ）一致收敛：||Tn?T||?0； （ⅱ）强收敛：||Tnx?Tx||?0； （ⅲ）弱收敛：||f(Tnx)?f(Tx)||?0，?f?X2*，x?X1． 更加泛函列fn： （ⅰ）强收敛：||fn?f||?0（对应一致收敛）； （ⅱ）弱*收敛：||fn(x)?f(x)||?0（对应算子列强收敛）． 7．共轭算子 设X1，X2是同一数域?上的l.n.s.T?B(X1?X2)， T*:X2*?X1*，假设对任何x?X1，f?X2*，都有 (T*f)(x)?f(Tx) 或 (x,T*f)?(Tx,f) 成立，就称T*是T的共轭算子（也称伴随算子）． 共轭算子的范数： 定理（共轭算子的范数）：设T?B(X1?X2)，T*是T的共轭算子，那么T*是 X2*?X1*的线性有界算子，且有 ** T X1 X1 T * X2 X2 ||T*||?||T||． 定理（共轭算子的性质）： （1）(aT)*?aT*； （2）(T2?T1)*?T1*?T2*； （3）(T1?T2)*?T1*?T2*； （4）I:X1?X2,那么I*:X1*?X2*． 8．自共轭算子 H是Hilbert空间，若?x,y?H，(Tx,y)?(x,Ty)．T——自共轭算子． Th．（自共轭算子的充要条件）：H是复的Hilbert空间，T为自共轭算子??x?H， (Tx,x)为实数． 性质：（1）特征值为实数； （2）不同特征值的特征向量正交． 投影算子：Px?x0.（x?x0?z，x0?M，z?M?）． 举 例 例1．设X1,X2是l.n.s，T?(X1?X2)，那么T?B(X1?X2)?T应某个内部非空的有界集为有界集。

证：(?)设A?X1,A0??（A0是A的内部） TA?X2有界，取O(a,r)?A（?A0??），r?0,令??sup||Tx||??， x?A?x?X1,x?0,有a?r||x||?1x?O(a,r)，因此 ||T(a?r||x||?1x)||?? 可以推出 ||Tx||?||T(a?因此T有界 (?)鲜明成立 rx)?Ta||||x||/r?2?||x||/r ||x|| 例2．设T?B(A?Y)，A是X的稠密子空间，Y完备，那么?唯一的T?B(X?Y)，使得TA?T,||T||?||T|| 证：?x?X，取{xn}?A,使xn?x(n??)因 ||Txm?Txn||?||T||||xm?xn|| 故 {Txn}是Y中的Cauchy列；由于Y完备，必存在limTxn，记为Tx，这 n????x(xn??A)，?,?}，与{xn}的选取无关（事实上，若xn取{yn}?{x1,x1?,x2,x2??Tx）y?x，那么{Tyn}为Cauchy列，Tyn?Tx，那么Txn，这样就定义了 一个算子T:X?Y，T鲜明是线性的，且TA?T。

由 ||Txn||?lim||T||||xn||?||T||||x|| ||Tx||?limn??n??故 ||T||?||T||，故T?B(X?Y) 因 ?x?A,||Tx||?||Tx||?||T||||x||， 故||T||?||T||， 因此 ||T||?||T|| 若有某S?B(X?Y)亦得志SA?T,那么?x?X，取{xn}?A,，使 xn?x，那么Sx?limTxn?Tx，因此S?T（唯一性得证） n??例3．设X,Y?????l.n.s.，dimX??，Y?{0}，那么存在无畛域性算子T:X?Y 证： ?dimX??，?可取线性独立的可数集A?{xn}?X,可设 ||xn||?1,取y?0,y?Y，定义算子T：Tx?ny T可以自然的扩张到SpanA（如y??x???x???SpanA,Ty??Tx???Tx???Y)那么X可以表示X?SpanAA?B，?x?B定义Tx?0，那么 T是一线性算子，T?(X?Y)，因 sup||Tx||?sup||Txn||?sup||ny||??? ||x||?1nn故T是无界算子。

例4．设Tnx?(x1,x2,?,xn,0,0,?)，?x?{xn}?l2证明 Tn?B(l2?l2)，求||Tn|| 证： Tn?B(l2?l2)鲜明Tnx||?||(x1,x2,?,xn,0,0,?)||?||x||,因此 ||Tn||?1 另一方面，设{ei}是l2的标准正交基，那么||en||?1，Tnen?en，故 1?||en||=||Tnen||?||Tn||||en||?||Tn||， 故 ||Tn||?1，故||Tn||?1 例5．给定a?X(l.n.s.)，令?(T)?Ta（T?B(X?X))，证明 ??B(B(X?X),求||?|| — 6 —。