收费亭个数设计模型.doc

1 -收费亭个数设计模型收费亭个数设计模型沙敏 陈海燕 李璇1．摘要：．摘要：本题要求在一个容易造成阻塞的高速公路通行税收费广场，确定其应部署的最优收费亭数量首先定义最优的标准：在车辆逗留时间最小的前提下，总费用（服务成本与等待费用之和）最少我们把整个进出收费广场过程分成收费排队系统和离开排队系统两个连续的等待制排队系统，并将后一系统的服务时间定义为车辆加速到正常速度所需的时间，并合理假设车辆收费时间和加速时间均服从正态分布首先我们在不讨论广场内部设计的情形下，设计收费亭个数，对两个排队系统都建立批量到达排队模型，其中表示负指数分布，表示正态分布接着我们SNMx//MN进一步考虑广场内部设计来改进模型，将其设计成单道单出多亭（综合其它车道时可能样式有别） ，如下图：图 1 单车道设计概略图则只需考虑单车道，对收费排队系统建立排队模型，对离开排队系统建立批SNM//量到达排队模型为了求解模型，我们将型推广到型，将1// NMx1// NMSNM//型推广到型其余车道同样考虑排队系统中逗留时间最短，总费1// NMxSNMx//用最小是我们追求的，为此用层次分析方法来建立排队系统的最优化模型，并且逗留时间加重权，总费用加轻权，同时将两者同单位化，并以收费亭个数为决策变量。

在模型求解中我们还提供如经验值法、平均值法、数据拟合等方法来选取参数同时也讨论了实际中采用的模型，并与我们建立的模型进行比较 2 -2 2．问题重述．问题重述在多行道的长途高速公路上每隔一定的间隔会设立一个通行税收费广场因为征收通行税通常不受欢迎，所以应该尽量减少通过通行税收费广场引起的交通混乱给汽车司机带来的烦恼当交通拥挤时，拥挤也会在收费广场上增加，并且因为每辆车辆付通行费的时间要求，阻塞也会出现在通行税收费广场的入口处不能很好地解决拥挤时的阻塞问题，势必会引起司机的抱怨，也会降低高速公路上的通车效率从而我们要解决的问题如下：在最优的标准下，建立一个模型来确定在一个容易造成阻塞的通行税收费广场中应该部署的最优的收费亭的数量，并与实际中的单车道单收费亭的情形进行对比3．问题分析．问题分析本题要求设计最优收费亭个数，需要解决的问题是提出最优化方案，是一优化问题，解决优化问题可用线性规划和网络规划，排队论模型等目标既要减少车辆逗留时间，又要兼顾服务成本考虑到等待收费与收费后等待离开是一排队问题，可用排队论模型求解为设计收费亭个数，可以统计出每一天每一车道的车流量，尤其是车流高峰期的车流量，这对有效，合理建设收费亭具有重大作用。

了解收费服务时间，安全行驶车距，以及高速公路车道分布，并基于此设计收费亭个数，才能使模型具有较强的现实意义为使所建模型尽可能贴近现实，具有使用性，在采用数据必须符合实际情况的前提下，尽可能了解它们之间的关系同时为了求解问题的方便，进行了大胆合理的假设，如假设离场排队系统的服务时间为车辆的加速时间等等 3 -4．模型假设．模型假设1．车流高峰期到达收费亭的车流服从 Poisson 分布2．收费亭对每辆车的收费时间分布服从正态分布3．每辆车从启动行驶到安全车距所用时间服从正态分布4．司机都遵守交通规则5．收费广场附近路段不出现交通事故、车辆故障、道路施工等影响道路通畅的异常6．两个排队系统都是等待制，并遵循先到先服务原则7．高速公路收费制采用开放式5．名词定义和符号说明．名词定义和符号说明等待制排队系统： 当顾客到达服务机构时，如果所有的服务台被顾客占用无空闲，这时该顾客就自动加入队尾排队等待服务，服务完才离开开放式收费制： 收费站建在主线上, 长距离收费公路可能建有多个主线站, 每个站按控制路段的距离不同而取不同的收费标准队长： 系统中的顾客数(包括正在接受服务和等待服务的顾客)等待队长： 系统中等待服务的顾客数。

逗留时间： 顾客从到达系统起直到接受服务后离开为止所用的时间等待时间： 顾客从到达系统起到开始接受服务时所花费的时间变异系数： 一测量值的标准差与它的平均值的比值收费亭的个数S收费方向的车道数m等待收费的车辆数的数学期望1L等待离开的车辆数的数学期望2L车辆在整个收费广场逗留时间的期望值W车辆进入收费系统的逗留时间的期望值1W车辆进入离开系统的逗留时间的期望值2W- 4 -车辆进入收费亭的平均来到率1车辆进入排队离开序列的平均到达率2车辆来到的平均时间间隔i12 , 1i单个收费亭收费的平均服务时间11 每辆车从启动到 120 米所用平均时间21 收费排队系统服务时间分布的变异系数1b离开排队系统服务时间分布的变异系数2b批量到达数目（为一随机变量）x某一随机变量的方差2 某一随机变量的数学期望 E收费排队系统的服务强度1离开排队系统的服务强度2收费排队系统中一辆车的服务时间（为一随机变量） 1t离开排队系统中一辆车的服务时间（为一随机变量）2t稳态时单位时间总费用的期望值（）E12EEE稳态时单位时间收费排队系统总费用的期望值1E稳态时单位时间离开排队系统总费用的期望值2E收费排队系统中车辆批量到达辆1x1x离开排队系统中车辆批量到达辆2x2x每个收费亭单位时间的成本sC每个司机在系统停留单位时间的费用wC- 5 -6 6．模型建立与求解．模型建立与求解6.16.1 确定排队模型类型确定排队模型类型（1） 输入过程不管是收费排队系统，还是离开排队系统，进入系统的车辆流在不相交的时间区间内到达的数目是相互独立的；其概率分布不会因时间的推移而发生改变；在足够小的时间区间里最多进入一辆车。

则车辆流满足独立增量性、平稳性、普通性，即其为泊松流，从而输入过程为泊松过程另外，当整体考虑收费广场时，因公路有多车道，则车辆是批量进入收费排队系统，也是批量进入离开排队系统；当考虑每一车道时，车辆是单道进入收费排队系统，却是批量进入离开排队系统2） 排队规则众所周知，不管是收费排队系统，还是离开排队系统，都是采用等待制，并且遵循先到先服务的原则3） 服务机构本题中收费排队系统的服务机构是收费亭，离开排队系统的服务机构是车道当整体考虑收费广场时，两者的服务机构一般要大于 1；当考虑每一车道时，收费亭个数大于 1，而进入和离开时的车道只有一个4） 到达间隔分布和服务时间分布因车辆流为泊松流，则车辆到达系统间隔的分布为负指数分布，即为： 0tef t  00tt0,常数（1）在此指出概率论中的一个结论：随机变量的概率密度在某点处的值虽然 f xx不等于取该点值的概率，但是可以反映取该点附近值的概率大小按常理，收费亭的收费时间和车辆的加速时间主要集中在某个时间区间内，很短或很长的收费时间或加速时间的概率都是很小的，这与正态分布的“3原则”很符合，而负指数分布是取 0 附近的值的概率较大。

因而假设它们服从正态分布是合理的即为： 2221 2t a f te - 6 -（2）如下给出负指数分布和正态分布的图像，更容易表明假设的合理性图 2 负指数分布和正态分布的图像（5） 排队模型类型由上面的分析，我们在本题中建立的排队模型有 型，SNMx//1S 型和型，其中表示正态分布它们的图示如下：1// NMxSNM//1S N┇┇图 3 型示意图SNM//┇┇┇┇图 4 型示意图1// NMx┇┇┇ ┇ 11 s1S- 7 -图 5 型示意图SNMx//6.26.2 简单模型简单模型在简单模型中，我们整体考虑收费广场，而不讨论收费广场内的具体设计6.2.16.2.1 收费排队系统收费排队系统因为是整体考虑收费广场，则车辆是批量进入收费排队系统，则我们为收费排队系统建立排队模型SNMx//因直接讨论排队模型是相当复杂，应用中常采用近似方法来讨论这种模SNMx//型。

我们先来讨论排队模型，再将其推广到排队模型1// NMxSNMx//对于排队模型，我们有以下结果：1// NMx[1]平均队长为：       222212 12 1bxExE xLE x （3）平均逗留时间为：      2221 21xbExE xWE x （4）其中：，（ 为一顾客服务时间） E x   bD tE tt将型推广到型时，可近似地把个收费亭看成整体“1” ，只是1// NMxSNMx//S此时平均服务时间变为原来的，即为，或者平均服务率变为应用到此收费1 S1 SS排队系统的排队模型就为：SNMx//， ，  11 1 1E xS   1 11bD tE t 1 11E t（5）平均队长为：       12222 1111 11 11112 12 1xbExE xLE x- 8 -（6）平均逗留时间为：      1222 1111 1 11111 21xbExE xWSE xS（7）总费用为： 11swEC SC L（8）6.2.26.2.2 离开排队系统离开排队系统因为车辆也是批量到达，只是此时的服务机构个数为车道数，则我们为离开排m队系统建立排队模型。

//xMN m完全类似收费排队系统的讨论，可得到离开排队系统的模型为：， ，  22 2 2E xm   2 22bD tE t 2 21E t（9）平均队长为：       22222 22222 22 22212 12 1xbExE xLE x（10）平均逗留时间为：      2222 2222 2 22221 21xbExE xWmE xm（11）由前面假设，此时车辆的服务时间即为其加速时间，而车辆加速时其所用时间已不再属于其在整个收费广场的停留时间，则可认为司机在该段时间内并没有额外损失则此离开排队系统的总费用为： 22wEC L（12）6.2.36.2.3 整个收费广场系统的最优化模型整个收费广场系统的最优化模型每辆车在整个收费广场系统中的平均逗留时间为： 12WWW- 9 -（13）单位时间总费用的期望值为： 12EEE（14）若收费广场中能消除阻塞，则其服务强度约束为： 121,1（15）同时我们主要解决的收费广场出现拥搞挤的情形，则其服务强度应大于某个值：1102200,0（16）另外收费亭个数要大于车道数： Sm（17）因为我们既希望平均逗留时间最短，又希望总费用最少，这也是司机与收费广场的利益冲突所。