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课题9 扭转变形9.19.1扭转的概念与外力偶矩的计算扭转的概念与外力偶矩的计算9.1.19.1.1扭转的概念扭转的概念 在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶等、转向相反的力偶杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生杆件的变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动杆件任意两横截面间的相对角相对转动杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角，简称转角位移称为扭转角，简称转角工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴9.1.29.1.2外力偶矩的计算外力偶矩的计算 计算公式为：计算公式为： 式中：式中：MeMe作用在轴上的外力偶矩，单位为牛作用在轴上的外力偶矩，单位为牛 顿顿米（米（N Nm m）；）； P P轴传递的功率，单位为千瓦（轴传递的功率，单位为千瓦（kWkW）；）； n n轴的转速，单位为转轴的转速，单位为转/ /分（分（r/minr/min） 9.29.2扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 9.2.19.2.1内力内力扭矩扭矩 CADBMe1（ a）qMe2Me3Me4qrrssMe1（ c）Me2Mx2Me1（ b）Mx1x1055035Mx(Nm)（ d）- -9.2.29.2.2扭矩图扭矩图 【例例9-19-1】齿轮轴如图所示。

已知轴的转速为n300r/min，齿轮A输入功率PA50kW，齿轮B、C输出功率PB30kW，PC20kW不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图 +x636.6954.9Mx(Nm)（d）- -CBAMeB（a）qMeAMeCqrrMeB（c）MeAMx2MeB（b）Mx1【分析分析】（1）计算作用在齿轮A、B、C上的外力偶矩MeA、MeB、MeC Nm Nm Nm（2）求各段截面上的扭矩（采用截面法） 首先，沿截面q-q截开，取左侧部分为研究对象，如图（b）所示，求BA间截面上的扭矩Mx1 M1x0，MeBMx10 Mx1MeB954.9 Nm 其次，沿截面r-r截开，取左侧部分为研究对象，如图（c）所示，求AC间截面上的扭矩Mx2 M2x0，MeBMx2MeA 0 Mx2MeAMeB1591.5954.9636.6 Nm（3）画扭矩图 根据以上计算的结果，按比例画扭矩图，如图（d）所示9.3 9.3 圆轴扭转变形时横截面上的应力圆轴扭转变形时横截面上的应力9.3.19.3.1平面假设平面假设 在变形微小的情况下，可以观察到下列现象：在变形微小的情况下，可以观察到下列现象： 第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表第一，两条纵向线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形；面上的小方格变成了歪斜的平行四边形； 第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的第二，轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。

距离均保持不变 根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各根据观察到的现象，我们推断，圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相个横截面在扭转后仍为互相平行的平面，只是相对地转过了一个角度这就是扭转时的平面假设对地转过了一个角度这就是扭转时的平面假设MeMe根据平面假设，可得两点结论：根据平面假设，可得两点结论：（1）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在又因半径长度不变，剪应力方向必与半径垂直2）由于相邻截面的间距不变，所以横截面 上没有正应力 9.3.29.3.2横截面上的剪应力横截面上的剪应力9.3.2.19.3.2.1横截面上剪应力的分布规律横截面上剪应力的分布规律 WW称为抗扭截面系数，其单位为称为抗扭截面系数，其单位为mm3mm3或或m3m3 maxmaxdAMx9.3.2.39.3.2.3极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数 （1 1）圆形截面）圆形截面 （2 2）圆环形截面）圆环形截面 【例例9-29-2】一轴AB传递的功率P7.2kW，转速n360r/min轴的AC段为实心圆截面，直径D32mm；CB段为空心圆截面，空心部分的直径d16mm，如图所示。

试计算AC段横截面边缘处的剪应力以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力 ABCMeMedD【分析分析】（1）计算扭矩 Nm（2）计算极惯性矩 AC段： mm4 CB段： mm4（3）计算剪应力 AC段横截面边缘处的剪应力: MPa CB段横截面外边缘处的剪应力: MPa CB段横截面内边缘处的剪应力: MPa9.4 9.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 式中: MxMx横截面上的扭矩；横截面上的扭矩； 两横截面间的距离；两横截面间的距离； G G轴材料的切变模量；轴材料的切变模量； II横截面对圆心的极惯性矩横截面对圆心的极惯性矩 圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角，用用表示，即表示，即 上式中，单位扭转角上式中，单位扭转角的单位是弧度的单位是弧度/ /米米（rad/mrad/m），工程上常用的单位是度），工程上常用的单位是度/ /米米（ / /m m），即），即 【例例 9-39-3】在【例例9-29-2】中，若轴AC段的长度是2m，并已知G80GPa试求截面A相对于截面C的扭转角分析分析】 radrad 9.59.5圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算9.5.19.5.1强度计算强度计算 此式称为圆轴扭转时的强度条件。

9.5.29.5.2刚度计算刚度计算 【例例9-49-4】在【例例9-39-3】中，已知轴的许用剪应力 40MPa，许用扭转角 0.5 /m，材料的切变模量G8104MPa试设计轴的直径分析分析】（1）最大扭矩 由【例例1 1】可知，|Mxmax|954.9Nm（2）按强度条件设计轴的直径 由 得: mm（3）按刚度条件设计轴的直径 由 得: mm 要使轴同时满足强度条件和刚度条件，取轴的直径D51.14mm52mm 【例例9-59-5】一空心传动轴的外直径D90mm，壁厚t2.5mm，轴的许用剪应力 60MPa，许用扭转角 1/m，材料的切变模量G8104MPa若传递的最大力偶矩Memax170Nm，试校核空心轴的强度及刚度若将空心轴变成实心轴，试按强度设计轴的直径，并比较两者的材料消耗 【分析分析】（1）校核强度 轴各截面上的扭矩MxMemax170Nm Mpa 因 ，所以该轴能满足强度要求2）校核刚度 /mm0.901/m 因 ，所以该轴能满足刚度要求3）若改为实心轴，按强度条件设计轴的直径 mm（4）比较材料消耗 空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比，即 该比值说明，空心轴的材料消耗仅为实心轴的32.4%，可节约材料三分之二，所以空心轴是比较经济的。

在工程实际中，用钢管代替实心轴，不仅节约材料，还可减轻构件的重量9.5.39.5.3提高圆轴扭转强度和刚度的措施提高圆轴扭转强度和刚度的措施 要提高圆轴扭转时的强度和刚度，应从以要提高圆轴扭转时的强度和刚度，应从以下几个方面进行考虑：下几个方面进行考虑： （1 1）合理布置主动轮与从动轮的位置）合理布置主动轮与从动轮的位置 （2 2）提高轴的转速）提高轴的转速 （3 3）合理选择截面形状）合理选择截面形状 （4 4）合理选择材料）合理选择材料 。