泰勒公式以及应用毕业论文.doc

泰勒公式以及应用摘要泰勒公式是微积分学中的重要内容，它建立了函数的增量，自变量增量与一 阶及高阶导数的关系利用泰勒公式可以很好的解决某些问题，使问题化繁为简 首先，本文给出了带有各种余项的泰勒公式以及证明，其次，从i元函数的微分 出发，引出一元函数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出i元函数及二元函 数的泰勒公式，以及介绍在和同条件下泰勒公式的另一种形式的推广再次，致 力于研究时间标度丄二元函数的链式法则，以其在最优控制上有广泛的应用•同 时，对一•元函数的泰勒公式给出一•种新的较为简单的证明方法最后，本文举例 介绍了泰勒公式在近似计算、极限运算、不等式的证明、判断函数极值、判定二 元函数极限存在性、求高阶导数在某些点的数值、讨论级数与广义积分的敛散性 判断、关于界的估计、计算n阶行列式、判断方程根的唯一•存在性等方面的具体 应用关键词：泰勒公式；微积分；函数极限；级数敛散性目录1 •绪论2. 泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式2. 1. 1带有Lagrange型余项的泰勒公式2. 1. 2带有Peano型余项的泰勒公式2. 1. 3带有Cauchy型余项的泰勒公式2. 1.4带有重积分型余项的泰勒公式及其证明2. 2高阶微分与泰勒公式2. 2. I二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2. 2. 2二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2. 3泰勒公式的另一种形式2.4吋间标度上的泰勒公式及链式法则2. 4.1时标下的全△可微的概念的引人2. 4. 2泰勒公式及其证明2. 4. 3 -7G函数的链式法则3. 泰勒公式的应用3. 1泰勒公式求某些未定式的极限3. 2多项式的泰勒展开式的应用3. 3泰勒公式在近似计算中的应用3. 4利用中值定理和泰勒公式证明函数极限3. 5泰勒公式证明不等式3. 6泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用3. 7泰勒公式在n阶行列式计算中的应用3. 8泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用3. 9泰勒公式关于界的估计3.10判断方程根的唯一•存在性问题3. 11用泰勒公式研究函数凹凸性的一-种再拓广2. 泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式2. 1. 1带有Lagrange型余项的泰勒公式（2. 2拉格朗口定理证明泰勒公式 （18））泰勒定理：若函数/在上存在直至n阶的连续导函数，在S"）内存在（" + 1） 阶导函数，则对任意给定的圮心丘“"],至少存在一点歹丘（。

方），使得/（X）= /（兀）+ 广（xj（x_兀）+ （x-xJ +... + / 計匕-兀）"+ [” + f）（x_兀）""（7）证 作辅助函数_ f何（八 '尸（'）=/（兀）_ /（'） +广（?）（兀_『）+…+ .（兀_'），，n\G（x（-

存在，所以在点兀0的某邻域〃（兀0）内/存在〃 j阶导函数/（X）于是，当XEU（%）且X T Ao时，允许接连使用洛必达法则n-1次，得到 Rn（x） Rn\x） Rn（"~］）（x）xf巾 W(x) 心必——= lim =…=lim ——…Hm /"T（X）一 （%）一 严）（％）S-X定理所证的（4）式称为函数/•在点无）处的泰勒公式，恥⑴可⑴一"⑴称为泰勒公式的余项，形如7 "旳余项称为佩亚诺型余项所以（4）式乂称为带有佩亚诺型 余项的泰勒公式2. 1.3带有Cauchy型余项的泰勒公式2.1.4带有重积分型余项的泰勒公式及其证明定理:设函数f（x）在存在直到门阶的连续导函数，在（a, b）内存在 （门+1）阶导函数，则对任意给定的x,xe （a, b） , f （x）可表示为一个门次多项式 与一 个余 项 Rn （x）之和，即/（x） = /（x0） + 广 （x o ）（兀一兀0）+，（"%（兀一无o）?+・+广（九一兀o）"+Rz?（x） 其 中Rn（x）= £ ...£ f 小（心+1））九+i …曲血证明：应用Newton-leibniz积分公式易知/（x） — /（几二『广（西旳即/（x） = /（》o +f广Ox】皿］ 同理有广（和=广（兀0）+ ^f\x2\lx2厂也）=八兀。

f 7WU3X 3•兀严）（兀）*叫兀0）+ £7曲）（％“）〃曲故/⑴ *（%）+ ［广r 于（坯+广（Xo）（x-兀o）+『f广©2）曲血于（兀0）+［广（勺）+［广勺皿2*1 +门:［八5 广"（必〃兀彳*1?"尤1= /<^o +广（勺）0-兀0）+「「厂（左）此为=/（勺）+广（勺）（兀-勺）=/（兀0）+广（兀0）（兀一兀0）'°%+（兀一兀尸+…+‘ °°%（X7o）"+血（兀）其中 /?©）=］：［…］：任幽 结论：时"%_ =o 即 W）“［（r）"］；事实上由 ^hospital 法则lim g% “］荷门〉£/叫网）叽…必/（.f ", lim "3•if 巾 / （兀一兀0）= .t->x0 / Xf 巾%1 其他余项中只知道E e （a, b）,这里xn-xO（11-*+°°）;%1 由①可知，重积分型余项可以推导出Peano 型余项，当然也能推导出其他各种余项形式,这里不再赘述.2. 2高阶微分与泰勒公式二阶微分的定义定义1设函数"/⑴在点兀的某邻域〃（切内有定义，给变量兀在兀处 一个增量心，且勺+心丘〃（观）吋，相应地函数有增量 Ay = /（x0+x）-/（x0） 如果其增量可表示为Ay = AAx + 三（Ax）? -o其中4〃不依赖于心，则称函数）=/（»在点兀。

处的二阶微分，并称 AAx,B（Aa）-为函数y = f（x）在点勺处的一阶微分、二阶微分，依次分别记作： 如心,即叽=比=AAx^2y\x=x. =B（Ar）2,可以证明：人二广⑷』= /©）•从而记号心 L =fffM（dx）2 = f,,Mdx2入一•巾与导数是微商的记号一致，并且可推广到高阶微分注记若记无二无）+心，即心=兀—也 于是△y * （兀）- / （勺）=广（兀x -兀o）+ 即 /（*） = /（勺）+ 广（勺）（—勺）+ 4^（—勺『+—勺）2）这就是泰勒公式的雏形，将其推广到〃阶泰勒公式有水到渠成Z作用AAx + —（Zkx）2 人若用 2!' '作®的近似，即V = / （兀（）+心）- / （兀Q 广（无））山 + '-|丁）3）2 其精发大为提咼一元函数的九阶泰勒公式下面给出基于高阶微分形式的〃阶泰勒公式定理1若函数/（兀）在点X处的某邻域〃（心）内有直到”+1阶的微分，则在该邻 域内任意一点x处有公式•/■（小二几切+ 峠』（兀-兀0）+严'心（x° + 6>（x-x（J） （^）!\卄1一心）这里OvOvl此公式称为函数/（兀）在点“0的〃阶泰勒公式用微分记号，〃阶泰勒公式可写 成心歼叽+竽2!+・・・+£Zfc}n\X=XO+^（X-AQ）这里d）lf =/（"）,其中OvOvl二元函数的〃阶微分类似于一元函数的二阶微分，可定义二元函数的二阶微分及高阶微分。

为了行文 方便，这里引入二元函数的〃阶微分定义2设函数 W（M）在点“°（忑，儿）处〃阶微分存在，且有类似于一元函数的二阶微分，在定义二元函数的二阶微分后，同理推出二兀函数 的近似计算公式/（必+山，儿+ 4）= /（比，儿）+ /；（心，儿）心+人（心，儿）3 +右［几（心，九）（山）2 + 2人（兀,儿）山分+几（必,儿）（3）［ 二元函数的〃阶泰勒公式定理2设函数込=/（兀丿）在点”观，儿）的某邻域"（"J内有直到比+ 1阶微分,则在该邻域内任意一点M （兀，刃处有如下公式md心叽+扫心，叽+”2/（s）i…+扫心叽+击宀W x-%）」o+0（y-yo））这里,（圮叽=/（心儿），其中0<0<1证明：令0（0 = /（如+心-兀0）*0+心」儿））则由定理1知,-元函数则在刖上有"⑴心）1=0 0<0<应用复合微分法可知〃"0（/）Lo =〃"/（九）讥，加= 0，l，2,…,n,旷0（/）|* = d^f（兀,y ）爲~“如）又 0（1）=心 y） 故 f（xty） = d°f{X,y）\Mi> +”心呱 + 討心『）|地+•••+£叭心叽+詁『网/（3）|（皿知吨如）注记从一兀函数到二兀函数甚至到多兀函数，〃阶泰勒公式的形式是统一的，但具体 内容有所差异，如设Z=/W,当满足泰勒小值定理条件时，有Z = d°zd2zH 叫2!+…+ w n\Mo丿"1 rd z% W + l)!其中％在M与Mo之间当 Z = / (%),即 X = x, Mq = Xo 时2.3泰勒公式的另一种形式若函数/（兀）土㈤］是加次连续可微的，则有m-l(1)其中,余项心 ri!这是大家熟悉的泰勒公式（1）本文对此公式在相同条件下，有下式成立定理：在与（1）完全相同条件下，有下式成立加_1 I 厂 -1f(bH) + ££[(i)"严)⑷-(7)1•何⑷ +K心山 」式（2）中的字母r是一个可以自由选择的参数（与兀无关），它的引入使我 们应用（2）式时变得灵活方便。

显然，在（2）式中取『二〃就可以直接得到通常的泰勒公式（Do下面证明（2）式证：由不等式积分定义和分部积分法可得/(w) + C = J广("M 片 J广(/与u无关)=(M-r)/，(M)-2\~ /"(")+”"(")〃3 J =(—，)广(“)-气当厂(小時 厂(“)-(-If罟?严T⑷+劣J(“ -0-严"(« >(加一 1)! (加一 1)! J再根据牛顿一莱布尼茨公式，有/少）7（山f广（训心£芒严-旷严（）|>(-1)心 仙一 1)!(方-f 厂/(T (方)-(6/- 旷/(T (°)（-1严『（加―1）!丄(w •伽)(u)血再略加变形，得/(&)-/ (a) = £ [a - ay /w (a) - (f - 6)n /w (&)]+f (r - x)w_，/(w) (x。