2022年第八章二元一次方程组和消元;解二元一次方程组.pdf

年级初一学科数学版本人教新课标版课程标题第八章 8.1－8.2 二元一次方程组和消元－解二元一次方程组编稿老师高静一校林卉二校黄楠审核路子华一、考点突破本讲主要学习二元一次方程和它的解，二元一次方程组及其解法，在中考试题中这两个考点时有出现与二元一次方程组有关的试题一般难度不大，以选择题居多， 与二元一次方程有关的问题常以填空题的形式出现，难度中等， 可能会出现难题，学习以上内容时应注意“化归”思想的运用二、重难点提示重点： 二元一次方程组的解法难点： 消元思想在解方程组中的运用，二元一次方程的特殊解知识脉络图二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程组二元一次方程组的解法方程组代入消元法加减消元法知识点一：二元一次方程和二元一次方程组要点精讲：方程二元一次方程方程组二元一次方程组典例精析：例题 1已知x＝12y＝－ 1是方程组ax－3y＝152x＋by＝1的一个解，求 4（a－4b）－ 3b2的值思路导航： 把x＝12y＝－ 1代入方程组ax－3y＝152x＋by＝1得出一个关于 a、b的方程组，求出方程组的解，再代入4（a－4b）－ 3b2进行计算即可答案： 因为x＝12y＝－ 1是方程组ax－3y＝152x＋by＝1的一个解， 所以代入得：1115321ba，解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页a＝ 24b＝ 0。

所以 4（a－ 4b）－ 3b2＝ 4×（ 24－4× 0）－ 3×02＝96－ 0＝96点评： 这是一道求值问题，所求式子中字母的值是通过解方程组得到的，正确理解方程组的解的定义是解答本题的关键例题 2写出方程 3x＋4y＝－ 20的非正的整数解思路导航： 二元一次方程的解可以从不同的角度进行探究一般情况下， 应用一个未知数表示另一个未知数，然后猜测验证方程的特殊解答案： 移项，得 4y＝－ 20－3x，将 y的系数化为 1，得 y＝－ 5－34x，由此可得 x必须是 4的倍数时， y才可能是整数令x＝0、－ 4、－ 8、⋯，则 y＝－ 5、－ 2、1、⋯所以原方程的非正的整数解为x＝0y＝－ 5或x＝－ 4y＝－ 2点评： 要求二元一次方程的特殊解（如本题要求方程的解必须是零和负整数），需将方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后根据代数式的特点，经过多次检验，才能得到符合要求的解知识点二：用代入消元法解二元一次方程组要点精讲： 用代入法解二元一次方程组的一般步骤用一个未知数表示另一个未知数代入转化成一元一次方程得一元一次方程的解代入求另一个未知数的值典例精析：例题 1解方程组x＋y＝3①5x－3（ x＋y）＝ 1②。

思路导航： 把①代入②即可求得x，然后把 x的值代入①即可求得y的值答案： 把①代入②得：5x－3×3＝1，解得， x＝ 2把x＝2代入①得： y＝1所以方程组的解是x＝2y＝1点评：用代入法解二元一次方程组时，一般情况下应选择系数较为简单的一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，将其代入另一个方程但有的时候应根据方程组的特点，采取灵活的代入方法，如本题可将 x＋y做为一个整体代入，而不必用一个未知数表示另一个未知数再代入例题 2用代入消元法解方程组x2＋y3＝132x3－y4＝32思路导航： 先将两个方程化简，再根据题目要求用代入消元法求解答案： 原方程化简得3x＋ 2y＝39 ①4x－ 3y＝18 ②，由①得 y＝39－3x2③把③代入②中得4x－3×39－3x2＝18，解得 x＝9把x＝9代入③中得 y＝6所以原方程组的解为x＝9y＝6点评： 方程组中的方程不是最简方程时，最好先将其化成最简方程，再选择合适的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页解方程 注意： 用代入消元法解方程组时，由一个方程得出的表示式必须代到另一个方程中去，稍有不慎就容易将其代到原方程中去。

知识点三：用加减消元法解二元一次方程组要点精讲： 用加减法解二元一次方程组的一般步骤将某个未知数的系数变得相同或相反两方程相加或相减转化成一元一次方程得一元一次方程的解求另一个未知数的值典例精析：例题 1解方程组4（ x－y－1）＝ 3（1－y）－ 2x2＋y3＝2思路导航： 首先对原方程组化简，然后运用加减消元法求解答案： 原方程组可化为：4x－y＝ 5①3x＋2y＝12②，①× 2＋②得： 11x＝22，所以 x＝2，把 x＝ 2代入①得 y＝ 3所以方程组的解为x＝2y＝3点评： 可用加减消元法来解的二元一次方程组，一般来说， 某个未知数的系数应成整数倍，并且要将它们变得相同或相反，所乘的数应尽量小，如果所乘的这个数非常大，则不建议用此法例题 2若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是关于 x、y的二元一次方程，求（n＋1）2013＋m的值思路导航： 本题是应用二元一次方程的概念来解的一道题其中x、y为元，当然其次数应为 1，于是可以列出关于m、n的二元一次方程组，进而可以求出m、n答案： 由3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是关于 x、y的二元一次方程，得2m＋5n＋9＝14m－2n－7＝1，即2m＋5n＝－ 8 ①4m－2n＝ 8 ②，①× 2－②， 12n＝－ 24，解得 n＝－ 2。

代入①式或②式中可求得m＝1所求（ n＋1）2013＋m＝（－ 2＋1）2014＝（－ 1）2014＝1点评： 本题主要考查二元一次方程的定义，m、n的值是通过方程组求得的，用加减法解二元一次方程组时，应根据两个未知数的系数的特点灵活运用，如本题也可用①－②×12例题 1在下列三个二元一次方程中，请你选择合适的两个方程组成二元一次方程组，然后求出方程组的解可供选择的方程：①y＝2x－3，② 2x＋y＝5，③ 4x－y＝7思路导航： 根据二元一次方程组的定义（组成二元一次方程组的两个方程为各含两个未知数， 且未知数的项的最高次数都是一次的整式方程）来组方程组， 再选择合适的方法解方程组即可答案： 若选方程①②，得y＝2x－ 3，①2x＋y＝ 5，②将①代入②得4x＝ 8，解得 x＝2，将 x＝2代入①，解得 y＝ 1，故方程组的解是：x＝2y＝1点评： 本题主要考查了二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解法解答此题时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页采用了“代入消元法”解二元一次方程组若选择②③，用加减法较为合适。

例题 2已知：不论 k取什么实数，关于x的方程2kx＋a3－x－bk6＝ 1（a、b是常数）的根总是 x＝1，试求 a、b的值思路导航： 首先把根 x＝1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据“方程与k无关”的应满足的条件即可得a、b的值答案： 把x＝1代入原方程并整理得（b＋4）k＝7－ 2a，要使等式（ b＋4）k＝ 7－2a不论k取什么实数均成立，只有满足b＋4＝ 07－2a＝0，解之得 a＝72，b＝－ 4点评： 解答这类问题时应注意两点，一是正确理解“不论k取什么实数”，说明原方程与k无关，或 k的系数为 0；二是方程中字母较多，应注意分清已知数和未知数1. 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想2. 运用代入消元法解二元一次方程组的技巧和方法：（1）用代入法解题时，先比较两个方程的特点，选出一个系数比较简单的方程，并用一个未知数表示另一个未知数2）将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程（在代入时， 要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的） 。

3）当求出一个未知数的值后，通常把这个值代入用这个未知数表示另一个未知数的那个方程， 去求另一个未知数的值它远比把这个值代入原方程组中的任意一个方程去求另一个未知数的值要简便得多3. 运用加减消元法解二元一次方程组的技巧和方法：运用加减消元法解方程组时，要观察两个方程同一个未知数的系数，如果系数相等， 将这两个方程直接相减；如果系数互为相反数，则将两个方程相加，消去该未知数，得到一个一元一次方程4. 一般来说，任何一个二元一次方程组都可以用代入法和加减消元法来解，但应根据方程组的特点灵活运用第八章 8.3－8.4实际问题与二元一次方程组和三元一次方程组的解法一、预习新知1. 小颖用 36 元买了两种邮票共40 枚，其中一种面值1 元，另一种面值0.8 元，则小颖买了面值 1 元的邮票 __________枚，面值0.8 元的邮票 __________枚2. 某单位申请了甲乙两种贷款共35 万元，每年需付利息2.2 万元，甲种贷款的年利率为6%，乙种为 6.5%，若设甲、乙两种贷款的数额分别为x、y 万元，则根据题意，可列方程组为__________3. A 、 B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从A、B 两地出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5 小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为__________。

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页4. 有一些苹果及苹果箱，若每箱装25 千克，则剩余40 千克无处装，若每箱装30 千克，则余 20 只空箱，那么共有苹果__________千克，苹果箱 __________只5. 方程组x＋ y＝3y－ z＝22x＋3y＋z＝6的解为 __________二、问题思考1. 列方程组解应用题的基本思路是什么？2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤是怎样的？3. 什么是三元一次方程组，怎样解三元一次方程组？（答题时间： 60 分钟）一、选择题1. 若x＝1y＝2是关于 x、y 的二元一次方程ax－3y＝1 的解，则 a 的值为（）A. －5 B. －1 C. 2 D. 7 2. 已知a＋2b＝ 43a＋2b＝8，则 a＋b 等于（）A. 3 B. 83C. 2 D. 1 3. 二元一次方程x－2y＝1 有无数多个解，下列四组值中，不是．．该方程的解的是（）A. x＝ 0y＝－12B. x＝1y＝1C. x＝1y＝0D. x＝－ 1y＝－ 14. 由方程组x＋ m＝ 6y－ 3＝m，可得出x 与 y 的关系式是（）A. x＋ y＝9 B. x＋y＝3 C. x＋y＝－ 3 D. x＋y＝－ 9 5. 楠溪江某景点的门票价格：成人票每张70 元，儿童票每张35 元。

小明买20 张门票共花了 1225 元，设其中有x 张成人票， y 张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（）A. x＋y＝2035x＋70y＝1225B.x＋y＝2070x＋35y＝1225C. x＋y＝122570x＋ 35y＝20D. x＋y＝122535x＋70y＝206. 解方程组3m－ 4n＝7 ①9m－ 10n＝3 ②的最好方法是（）A. 由①得 m＝7＋4n3再代入②B. 由②得 m＝10n＋39再代入①C. 由①得 3m＝ 4n＋7 再代入②D. 由②得 9m＝10n＋3 再代入①*7. 若︱ 3x＋y＋ 5︱＋︱ 2x－2y－2︱＝ 0，则 2x2－3xy 的值是（）A. 14 B. －4 C. －12 D. 12 *8. 已知x＝4y＝－ 2与x＝－ 2y＝－ 5都是方程 y＝kx＋b 的解，则k 与 b 的值为（）A. k＝12，b＝－ 4 B. k＝－12，b＝ 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页C. k＝12，b＝4 D. k＝－12，b＝－ 4 **9. 若使方程组3x＋5y＝a＋42x＋3y＝a的解 x 与 y 的和为 3，则 a 的值是（）A. 7 B. 4 C. 0 D. －4 **10. 若 4x－3y－ 6z＝0，x＋2y－7z＝0（xyz≠0） ，则式子5x2＋2y2－z22x2－3y2－10z2的值等于（）A. －12B. －192C. －15 D. －13 二、填空题11. 已知－ 2xm－1y3与12xnym＋n是同类项，那么（n－m）2012＝__________。

12. 若有理数x、y 满足方程（ x＋y－2）2＋︱ x＋2y︱＝ 0，则 x2＋y3＝ __________13. 已知方程组2a－ 3b＝133a＋ 5b＝30.9的解为a＝8.3b＝1.2，则方程组2（x＋2）－ 3（y－ 1）＝ 133（x＋2）＋ 5（y－ 1）＝ 30.9的解是 __________14. 一个两位质数，它的个位数字与十位数字之差的绝对值等于5，这样的两位质数是__________三、解答题15. 解下列二元一次方程组：（ 1）x＝3y－5 ①3y＝8－2x ②； （2）4x－3y＝ 11 ①2x＋y＝13 ②16. 解方程组3x＋6y＝ 116x＋3y＝ 19，并求xy的值17. 儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8 折优惠，能比标价省13.2 元已知书包标价比文具盒标价的3 倍少 6 元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？**18. 已知 m 为整数，方程组4x－3y＝66x＋my＝26有整数解，求m 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页1. D 解析：根据题意把x＝1y＝2代入 ax－3y＝1，得 a－3×2＝1，解得 a＝7。

2. A 解析：把两个方程相加得4a＋ 4b＝12，方程的两边都除以4 即可得出答案3. B 解析：将 x、y 的值分别代入x－2y 中，看结果是否等于1，判断 x、y 的值是否为方程 x－2y＝1 的解4. A 解析：把m＝y－3 代入 x＋m＝6，得 x＋y－3＝6，即 x＋y＝95. B 解析：根据“小明买20 张门票”可得方程x＋ y＝20；根据“成人票每张70 元，儿童票每张35 元，共花了1225 元”可得方程70x＋35y＝1225，把两个方程组合即可6. C 解析：从答案上看，此题用代入法求解A、B 都带有分数计算，D 代入时 9m 不能取代 3m，需除以3，也带有分数计算，而C 的代入只需在方程两边乘3，即 9m＝12n＋21，后代入②即可可见方法C 最简捷，最好计算，应选C7. B 解析：根据题意可得3x＋y＋5＝02x－ 2y－2＝0，解得x＝－ 1y＝－ 2，所以 2x2－3xy＝2×（－ 1）2－3×（－ 1）×（－ 2）＝－ 48. A 解析：根据题意可得4k＋ b＝－ 2－2k＋b＝－ 5，解得k＝12b＝－ 49. A 解析：解方程组3x＋5y＝a＋42x＋3y＝a得x＝2a－12y＝－ a＋8，所以 x＋y＝（ 2a－12）＋（－ a＋8）＝3，解得 a＝7。

10. D 解析：把 z 看成已知数，解关于x、y 的方程组4x－3y－6z＝0x＋2y－ 7z＝0，解得x＝3zy＝2z因为xyz≠0，所以 z≠0，所以5x2＋2y2－ z22x2－3y2－10z2＝5（3z）2＋2（2z）2－ z22（3z）2－ 3（2z）2－10z2＝52z－4z＝－ 1311. 1 解析：由于－ 2xm－1y3与12xnym＋n是同类项，所以有m－1＝n3＝m＋n，由 m－1＝n 得－ 1＝n―m，所以（ n―m）2012＝（－ 1）2012＝1注意本题不必求出m、n的值12. 8 解析：由题意得x＋y－2＝0x＋2y＝0，解得 x＝4，y＝－ 2，则 x2＋y3＝813. x＝ 6.3y＝0.2解析：根据题意可知x＋ 2＝ay－ 1＝b，即x＋2＝8.3y－1＝1.2，所以x＝6.3y＝0.214. 61 或 83 解析：设个位数字是x，十位数字是y，则︱ x－y︱＝ 5 即 x－y＝5 或 y－x＝5满足题意的解是x＝6y＝1和x＝8y＝3，所以这样的两位质数是61 或 8315. 解： （1）把①代入②得：3y＝8－2（3y－5） ，解得y＝2，把 y＝2 代入①可得： x＝3×2－5，解得 x＝1，所以二元一次方程组的解为x＝1y＝2。

（2）①＋②× 3 得 10x＝50，解得 x＝5，把 x＝5 代入②，得2×5＋ y＝13，解得 y＝3所以方程组的解是x＝5y＝316. 解：解方程组3x＋6y＝116x＋3y＝19得x＝3y＝13，所以xy＝3×13＝1＝117. 解：设书包和文具盒的标价分别为x 元和 y 元，根据题意，得（x＋y）（ 1－0.8）＝ 13.2x＝3y－6，解得x＝48y＝18答：书包和文具盒的标价分别为48 元和 18元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页18. 解：4x－3y＝6 ①6x＋my＝26 ②，②× 2－①× 3 得（ 2m＋9） y＝34，即 y＝342m＋9，因为原方程组的解是整数，所以只有当2m＋9＝± 1、± 2、± 17、± 34 时 y 才能是整数，又因为m 也是整数，所以2m＋9 一定是奇数，所以2m＋9＝± 1 或± 17，解得 m＝－ 4、－5、4、－13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页。