专题复习（六）——函数与导数.docx

专题复习(六)函数与导数(一)知识梳理1. 导数的概念(1) 函数y=f^c)在x=x处的导数一般地，函数y=Ax)在处的瞬时变化率是lim劣=阿 心+竽-曲 我们称它为函数夕zfLO ZIX zI.V*0 ZIX=/(x)在x=x0处的导数，记作f(Xo)或y |x=x0,BP/ (x0)=lim 辛y(X)+/x)-/(・SAx(2) 导数的几何意义函数/(x)在x=x0处的导数就是曲线y=j{x)在点(xo, /(xo))处的切线的斜率.(3) 函数金)的导函数称函数f (x)=职心+第F)为金)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数Ax)=c(c为常数)f M=o金)"gQ)f 3)=刖 gQ)/(x)=sinxf (x)=cosx/(x)=cosxf (x)=—sinxf (x)=ax[n a金)=云f (x)=金)=10討f M~x\na/(x)=lnxf W=x3. 导数的运算法则(1) lAx)g(x)]‘ =f (x)gz (x)；(2) 金)(兀)]‘ =f (x)g(x}+f(x)g, (x)；(3W)J - g)]2 g)H)・4. 函数的单调性与导数的关系已知函数在某个区间内可导，贝ij(1) 如果f (x)>0,那么函数y=J(x)在这个区间内单调递增;⑵如果f (x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减;(3) 若f (x)=O恒成立，则金)在这个区间内是常数函数.5. 理清导数与函数单调性的关系(10 (x)>0(或VO)是金)在(a, 〃)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2"“ (x)^0(或W0)是/(x)在(a, b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件『3)=0不恒成立).注意：由函数/W在区间［a, b］内单调递增(或递减)，可得f(x)“(或WO)在该区间恒成立，而不是 f(x)>0(或<0)恒成立，“=”不能少.6. 函数极值的概念函数y=flx)在点x=a的函数值/⑷比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f (“)=0；而且在点 x=a附近的左侧f (x)<0,右侧f (x)>0,则点“叫做函数y=f{x)的极小值点，弘)叫做函数y= 沧)的极小值.函数y=f(x)在点x=b的函数值人方)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f (/>)=0；而且在点 x=b附近的左侧f (x)>0,右侧f (x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，/(〃)叫做函数y= 金)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.7. 函数的最值(1) 在闭区间［“，“上连续的函数金)在［a,对上必有最大值与最小值.(2) 若函数金)在0列上单调递增，则张)为函数的最小值，张)为函数的最大值；若函数金)在 ［a,引上单调递减，则/(a)为函数的最大值，/(b)为函数的最小值.8・定积分的概念中，”，方分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,引叫做积分区间，金)叫做被积函数，x叫做积分变量，Xx)dx叫做被积式.9.定积分的运算性质10・微积分基本定理一般地，如果心)是区间［“，饲上的连续函数，并且F (x)=/(x),那么Chf(x)dx=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式.可以把尸⑹一尸⑷记为F(x)；(二)考点剖析考点一：导数的运算例1：求下列函数的导数:(4) j=ln(2x+5)； (5)y=謊7.解：(1)，=(111 x)r=eln 兀+e=e(lii x+^j；(3) y=sin2(2x+3=_*cos(4x+#7r).11 2 1设歹=空一/cos 14, w=4x+jn,贝Uyx=y“ "x=Fin i/-4=2sin u =1 2(4) 设丿=】hm, ” = 2x+5,则几=几•讥•，因此刖=百亍(2尤+5)=乔為；s^=2sinxcosx=2s.n in QS 乂\ " COSX COSX 丿 7考点释疑：(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简，然后再进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2) 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内 逐层求导.考点二：导数的几何意义例2： (1)［曲线在某点处的切线方程］设曲线y=g~ln(.Y+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2xf贝U a=因为y=lx—\与曲线y=ax2+(+2)x+1相切，所以殍0(当a=Q时曲线变为y=2x+\与已知直线平行).[y=2x—\,由] 2丄/丄补| - 消去丿，得ax +x+2 = 0.b=ax +(a+2)x+l,由/=/—8“=0,解得a=8・考点释疑：⑴求曲线切线方程的步骤：① 求出函数y=f{x)在点x=x0处的导数，即曲线y=J(x)在点P(x, /(."))处切线的斜率；② 由点斜式方程求得切线方程为丿(x0)•(X—Xo)・(2) 求曲线切线方程需注意两点：① 当曲线y=j{x)在点P(x。

金0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x=x0；② 当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再利用两点连线的斜率等于切点的导数值求解.(3) 求两条曲线的公切线的方法：方法1：利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解.方法2：利用公切线得岀关系式.设公切线/在y=f(x)上的切点Pjxv力),在y=g{x)上的切点卩2(冷,力)，则f M)=g‘仅2)=勒它凹 X] —X2考点三：利用导数求函数的单调区间例3：已知函数金)=亍+：—111 x—号，其中aWR,且曲线y=f{x)在点(1, /(!))处的切线垂直于直线y=2 4? q —4x—4 ⑵由⑴知金)=二+哀一12—刁 则f (x)=—衣L 令尸(x)=0,解得x= —1或x=5. 因为兀=一1不在金)的定义域(0, +8)内，故舍去. 当xG(0,5)时，/ (x)<0,故金)在(0,5)内为减函数； 考点释疑：利用导数求函数单调区间的一般步骤： ・⑴求“的值；⑵求函数/3)的单调区间.解：⑴对/(X)求导得/r(-v)=|-p-p由/(x)在点(1, /(I))处的切线垂直于直线y=^x知3 5f (1)= 一扌_"=一2,解得① 确定函数金)的定义域；② 求导数f (x)；③ 在函数.心)的定义域内解不等式f (x)>0和f (x)<0；④ 根据③的结果确定函数/(x)的单调区间.考点四：导数在证明函数单调性中的应用 例4： 已知函数fix)=1 nx—ax + (2—a)x,讨论/(x)的单调性.解： 心)的定义域为(0, 4-oo). f (x)=_2ax+(2_“)=_x+iyx_l)① 若穴0,f (x)>0,所以金)在(0, +8)上单调递增.② 若“>0,则由f (x)=0得当心o,訓, f (x)>0,当 x>|时，f1 (x)<0. 所以金)在((I, 上单调递增，在+<)上单调递减. 考点释疑：利用导数证明(或判断)函数在区间上单调性的步骤：① 正确求出函数的导数，并注意函数的定义域；② 利用等价转化思想，转化成关于导函数的不等式；③ 解导函数的不等式.考点五：利用函数的单调性求参数范围例5：若函数金)=kx-\nx在区间(1, +8)单调递增，则&的取值范围是 解：由于f (x)=A—pf(x)=kx—\nx在区间(1, +8)单调递增of (x)=Zr—在(1, +8)上恒成立.由于哄 而0<^<1,所以Q1,即％的取值范围为［1, +8).考点释疑：利用函数的单调性求参数范围的方法：① 利用集合间的包含关系处理，即夕=/00在(a, b)上单调,则区间(a,方)是相应单调区间的子集；② 转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f (x)M0；若函数单调递减，则f (x)W0”・ 考点六：函数的极值点与极值例6： 已知函数金)=(1)求函数/(x)的极值；⑵设g(x)=x/(x)-ax+lf若g(x)在(0, +8)上存在极值点，求实数“的取值范围.pa —1)解：X丘(一8, 0)U(0, +8), ・・・f (x)=、・当/ 3)=0时，x=i.f (x)与随x的变化情况如下表:X(一 8, 0)(0,1)1(1, +)f 3)—0+fix)X\极小值/故金)在x = 1处取到极小值0,无极大值・(2)g(x)=ef x+1, xG(0, +8),・・& (x)=ef,① 当 aWl 时，g (x)=eA—0,即g(x)在(0, +8)上递增，此时g(x)在(0, +8)上无极值点.② 当 ”>1 时，令以(x)=ev—=0,得x=\n a;令(x)=ev—>0,得xE(ln at +);令 (x)=ev-<0,得 xW(0, In a).故g(x)在(0, ln)上递减，在(In a, +8)上递增，・・・g(x)在(0, +8)有极小值无极大值，且极小值点为x=ln仏故实数a的取值范围是“>1・考点释疑：⑴运用导数求可导函数y=J{x)极值的步骤：① 先求函数的定义域，再求函数丿=Ax)的导数f (x)；② 求方程f 3)=0的根；③ 检查卢(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么金)在这个根处取得极大值，如果左 负右正，那么/(x)在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值点.⑵可导函数y=f(x)在点xo处取得极值的充要条件是/W=0,且在xo左侧与右侧/(X)的符号不同. (3剧用x=x0是极值点可得r(xo)=O,求解相关问题.考点七：函数在给定区间上的最值问题例7：设函数f(x)=a\n x—bx2(x>0)f若函数冗丫)在x=l处与直线丿=—*相切.(1)求实数a,方的值； ⑵求函数/(x)在［, e上的最大值.解：(\)f (x)=f—2加，•・•函数金)在x=l处与直线丁=一*相切,f (1)=“一2方=0,解得］1b==(2)Ax)=lnx-|x2, f当xWe 时，令f (x)>0,得*Wxvl；(2)［利用几何意义计算］J4 (yj 1 —x2 +x)dx 的值为,(2—x)6x=tx：+(2x_*2)X2dx+jxdx,根据定积分的几何意义可知dx等于半-1 -1径为1的半圆的面积,:.「(yj 1 —x2+x) dx= 丿-1考点释疑：(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利 用微积分基本定理求解.(2)对函数图象和与圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解.考点九：定积分求平面图形面积及几何概型例9： (1) |平面图形面积］曲线j=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为(2)［几何概型］如图，点/的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数/(x)=x2,若在 矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 •解：。