《高等数学》教案.docx

《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数教学目的： 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解重 难 点 ：数学新认识，基本初等函数，复合函数教学程序 ：数学的新认识—>函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> 复合函数—>初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前 言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行 复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量 反映高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质 有深刻的理解）一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1） 文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是 现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2） 开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左 脑）有全面的作用；（3） 知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活 和工作的一种能力和技术；（4） 智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一 生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识（1） 新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思 想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2） 新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方 法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力3） 新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而 培养人的“一般素质”[见教材“序言”]二、函数概念总学时 64 学时（XRG）î1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）用变化的观点定义函数），记： y = f ( x) （说明表达式的含义）(1) 定义域：自变量的取值集合（D）2) 值 域：函数值的集合，即 {y y = f ( x), x ÎD} 例 1、求函数 y =ln(1 -x 2 ) 的定义域？2、函数的图像：设函数 y = f ( x) 的定义域为 D，则点集 {( x, y ) y = f ( x ), x ÎD} 就构成函数的图像例如：熟悉基本初等函数的图像3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集ìx2 , x <0例 2、作函数 f ( x ) =í2 x, x ³0的图像？ì例 3、求函数 f ( x) =íî三、基本初等函数x 2，x ³0 1，x <0的定义域及函数值f ( -1), f (0), f (1) ?熟记：五种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。

四、复合函数 ：设 y=f(u),u=g(x)，且与 x 对应的 u 使 y=f(u)有意义，则 y=f[g(x)] 是 x 的复合函数，u 称为中间变量说 明： (1)并非任意几个函数都能构成复合函数如： y =ln u, u =-x2就不能构成复合函数2) 复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集3) 复合函数的分解从外到内 进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可例 5、设 f ( x ) =x2, g ( x) =2x, 求f ( g ( x)), g ( f ( x)) ?例 6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？(1) y =ln(sin x2)(2) y =e-2x(3) y = 1 +arctan2x五、初等函数 ：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 个表达式所表示说 明：（ 1）一般分段函数都不是初等函数，但 y = x 是初等函数；（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算思考题 ：1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]总学时 64 学时（XRG）(2)2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性]2、 任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]探究题 ：一位旅客住在旅馆里，图 1—5 描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一 个物理量后，再叙述他的这次行动.你能给图 1—5 标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？小 结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函 数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事 物联系的多样性。

作 业 ：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）图 1—5时间【A 组】1、求下列函数的定义域？课堂练习（初等函数）(1)y = x2+1 y =ex(3)y =log2x(x-1) (4) y = +ln(4 -x 2 )x -12、判定下列函数的奇偶性？(1) y = f ( x ) + f ( -x)(2)y =ex+e-x(3)y =x2 n +1( n为自然数）3、作下列函数的图像？(1) y =x 2 -1x -1(2) y =e-x(3) y =sin x4、分解下列复合函数？(1) y = x 2 +1(2) y =esin x(3) y =11 -sin3x(4) y =ln 2 (cos x )【B 组】1、证明函数 y =ln( x + x2+1) 为奇函数2、将函数 y = x -1 +2x -1改写为分段函数，并作出函数的图像？总学时 64 学时（XRG）13 21 13、设 f ( x + ) = +xx x 22, 求f ( x ) ？4、设 f ( x ) = ，求 f [ f ( x )] ， f {f[ f ( x)]}？1 -x数学认识实验： 初等函数图像认识1、幂函数：（如 y =x, y =x 2 , y =x3）2、指数与对数函数：（如 y =ex, y =ln x ）21.510.5Y Y321X2 11 20.52 1 1 2 3 4113、三角函数与反三角函数：（ y =cos x, y =arccos x ）X14、多项式函数：（ y = x33-x2-3 x +3 ）3Yy13x x 3x 3202101422 4 6X103 2 1 1 2 32015、分段函数：（ y = x , y =sgn x ）总学时 64 学时（XRG）0f ( x )g ( x )0010.80.60.40.21 0.5 0.5 110.52 1 1 20.51第二讲导数的概念（一）、极限与导数教学目的： 复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。

重 难 点 ：求极限，导数定义及由定义求导法教学程序 ：极限的定义及求法（例）—>导数的引入（速度问题）—>导数的概念 —>导数与极限—>基本初等函数的导数（定义法）—>例子（简单）授课提要：前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数 )，本节将复习函数 的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）导数 是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用一、理论基础——极 限（复习）1、 极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、 极限的四则运算法则（略）3、 求函数的极限（几类函数的极限）（1）若 f ( x ) 为多项式，则 例 1：求下列极限lim f ( x ) = f ( x )0x ® x(1)lim( x 2 +2 x -1)(2)lim( x 2 +2 x -1)(3)lim( x 2 +2 x -1)x ®1 x ® 0 x ® 2f ( x ) f ( x )（2）若 为有理分式且 g ( x ) ¹0 ,则 lim = 0x ® x g ( x ) g ( x )0例 2：求下列极限（代入法）(1)limx ®1x +12 x -1(2)limx ® 0x2-2 x +2 x 2 +3(3)limx ®1x 2 -1x +1（3）若分式f ( x )g ( x ),当 x ® x 时， f ( x ) =g ( x ) =0 ，则用约去零因子法 求极限0 0 0总学时 64 学时（XRG）Dy0例 3：求下列极限(1)limx ®1x 2 -1x -1(2)limx ®1x +8 -3 x -1(3)limx ®1x 2 +2 x -3 x -1（4）若分式 求极限。

f ( x)g ( x),当 x ® ¥时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法例 4：求下列极限(1)limx ® ¥x 22 x 2-1-1(2)limx ® ¥x2 +2 x -1 5x 2 -1(3)limx ® ¥x -1 2 x 2 -13、两个重要极限（1）limx ® 0sin xx=1（2）1lim(1 + )x ® ¥ xx1=e或 lim(1 +x ) x =e x ® 0说明：其中 x可以是 u( x )的形式，且当 x ® 0时， u ( x ) ® 0例 5：求下列极限(1)limx ® 0sin 3 xx(2)lim。