CH173方向导数与梯度.ppt

第17章 第第3 3节节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度1引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热到冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数一、方向导数在一些实际问题中，需要研究函数在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数2若函数则称此极限为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数方向导数.记作在点 的某邻域表示P与P0的距离,若存在下列极限: 内有定义, l为从点出发的射线,为l上且含于内的任意一点.定义定义:3注意注意若l的方向角为记则4定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明: 由函数且有在点 P 可微 ,得故5对于二元函数向角为,  ) 的方向导数为特别特别: :• 当 l 与 x 轴同向• 当 l 与 x 轴反向6方向导数存在• 可微反例见教材P126例27例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向导数 .解解: 向量 l 的方向余弦为8指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A例例2. 函数提示提示:则9二、梯度二、梯度 方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率(即方向导数)最大的方向 模 : f 变化率的最大值方向导数取最大值：设函数在点可微,其沿着不同方向的方向导数是不同的，101. 定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 注意注意:函数沿某方向的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量112. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式12例例1. 函数在点处的梯度解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性13例例2： 求函数在点M（1，0，－1） 处的最大方向导数。

解：解：在点M（1，0，－1）处的最大方向导数为：同理14解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故例例315例例4.证证:试证处矢径 r 的模 ,16内容小结内容小结1. 方向导数方向导数• 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为• 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为172. 梯度梯度• 三元函数 在点处的梯度为• 二元函数 在点处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在• • 可微梯度在方向 l 上的投影.18P127 1, 2，3，4.作业作业19。