北京邮电大学通信原理课件 第10章 正交码与伪随机码.pdf

第十章第十章 正交码与伪随机码正交码与伪随机码 10.1 利用 m 序列的移位相加特性证明双极性 m 序列的周期性自相关函数为二值函数， 且主 副峰之比等于码长(周期) 证：证：m序列的移位相加特性特性是说，单极性m序列和它的移位相加后仍然是m序列相加的结果在一个周期内 1 比 0 多一个双极性m序列是把 0、表示的m序列映射为表示，其 中 0 映射为+1，1 映射为-1对于双极性m序列，一个周期内-1 比+1 多一个在这种映射下， 模 2 加运算变成了乘法运算，如下表所示： 1±⊕ 1 0 1 0 1 0 1 0 × -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 因此 m 序列的移位相加特性特性对于双极性 m 序列表现为：m 序列和它的移位相乘后 仍然是 m 序列 周期为p的双极性m序列的周期性自相关函数定义为( )11pkkj kR jbp+ ==∑b ，其中的下标按模p运算，即 bkpkbb+=当j为p的整倍数时，kjjbb+=，1=+ jkkbb，因此( )( )01R jR==，这是自相关函数 的主峰值； 对于0jp<<，令，则m序列的移位相加特性表明序列kkkcb b+=j{ }kc也是m序列，表示一个周期内求和，由于-1 比+1 多一个，所以，从而得 1ppkkjk kkb bc+ ==∑∑ 1=11pk kc== −∑( )1mod 1jp R jelsep0=⎧⎪=⎨− ⎪⎩这就证明了周期为 p 的 m 序列的周期性自相关函数为二值函数，且主副峰之比等于码长。

10.2 已知线性反馈移存器序列的特征多项式为， 求此序列的状态转移图， 并说明它是否是m序列 1)(3++=xxxf解：解：该序列的发生器逻辑框图为： 定义状态为向量()123,,s s s=s，假设起始状态是 100，则状态转移图如下： 由于其周期为，所以此序列是m序列 7123=−10.3 已知m序列的特征多项式为，写出此序列一个周期中的所有游程 1)(4++=xxxf解：解：该 m 序列的周期为 15，一个周期为 100011110101100，共有 8 个游程： 1 000 1111 0 1 0 11 00 其中长度为 1 的游程有 4 个；长度为 2 的游程有 2 个；长度为 3 的游程有 1 个；长度为 4 的游程有 1 个 10.4 写出长度为 8 的所有瑞得麦彻序列和沃尔什序列，并比较说明它们之间的关系 解：解：长度为 8 的瑞得麦彻序列有 4 个，如下表所示 Rademacher 码编号Rademacher 码 0 00000000 1 00001111 2 00110011 3 01010101长度为 8 的沃尔什序列有 8 个，若以哈达马矩阵的行号为编号，则这 8 个码如下表所示： Walsh 码编号Walsh 码 0 00000000 1 01010101 2 00110011 3 01100110 4 00001111 5 01011010 6 00111100 7 01101001容易看到 Walsh 码的集合 W 包含了 Rademacher 码的集合 R。

Rademacher 码除去全 0 码字 外，其余三个线性不相关另外由双极性 Walsh 码对乘法封闭这个特性可知单极性 Walsh 码对模 2 加法封闭，由此可知 W 是一个线性空间，R 是其一组基因此每个 Walsh 码一定 可以表示为 R 的线性组合，即 iG=wb此处 010101010011001100001111G⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 二进制向量和Walsh码编号i的关系如下表： ()b bb=b0 1 2i b 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 也就是说，b 是 i 的自然二进制表示 10.5 已知优选对m1、m2的特征多项式分别为和，写 出由此优选对产生的所有Gold码，并求其中两个的周期互相关函数 1)(3 1++=xxxf1)(23 2++=xxxf解：解：特征多项式为1)(3 1++=xxxf的m序列的一个周期为 1110100；特征多项式为 1)(23 2++=xxxf的m序列的一个周期为 1110010由此生成的Gold码为： G1：1110100⊕1110010 = 0000110 G2：1110100⊕0111001 = 1001101 G3：1110100⊕1011100 = 0101000 G4：1110100⊕0101110 = 1011010 G5：1110100⊕0010111 = 1100011 G6：1110100⊕1001011 = 0111111 G7：1110100⊕1100101 = 0010001 再加上原有的两个 m 序列： G8：1110100 G9：1110010 一共有 9 个。

考虑 G1 和 G2 的互相关将这两个码的双极性形式为： g1：1 1 1 1 -1 -1 1 g2：-1 1 1 -1 -1 1 -1 其互相关函数为： ( )( )()61212 0iRkgi gi==+∑k ，{}0,1,2,,6k∈L其中ik+按mod7 计算通过具体计算可得 ( ){}1210,1,3,5 32 54k Rkk k−∈⎧ ⎪==⎨ ⎪−=⎩10.6 采用 m 序列测距，已知时钟频率等于 1MHz，最远目标距离为 3000km，求 m 序列的 长度(一周期的码片数) 解：解：m序列一个周期的时间长度即为可测量的最大时延值m序列收发端与最远目标的往返 时间为 3000km×2/(3×105 km/s) = 0.02s，因此m序列的周期应该大于 20ms由于序列发生 器的时钟频率为 1MHz，所以m序列长度应大于 0.02s×1MHz = 2×104 10.7 已知某线性反馈移存器序列发生器的特征多项式为， 请画出此序列 发生器的结构图，写出它的输出序列(至少包括一个周期)，并指出其周期是多少？ 1)(23++=xxxf解：解：此序列发生器的结构为 输出序列为：⋯10111001011100⋯ 周期为：7 。