2017年高考模拟试卷(7).doc

2017年高考模拟试卷(7)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．5 6 80 1 2 2 689（第3题）1． 已知集合A={2，3，5}，B={}，则= ▲ ．2． 若复数z满足 (i为虚数单位)，则z= ▲ ．3． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩（第4题）的平均分为 ▲ ．4． 如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．5． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条准线的方程为，则实数的值是 ▲ ．6． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有1个球的概率为 ▲ ．7． 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知奇函数在上为单调减函数，则不等式的解集为 ▲ ．9． 已知各项均为正数的数列满足（，），若，且成等差数列，则的值为 ▲ ．（第10题）10．如图，在扇形中，，°，为弧上的一点，与相交于点，若，则的值为 ▲ ．11．定义在区间上的函数的图象与的图象的交点横坐标为，则的值为 ▲ ．12．已知定义在上的函数则方程的实数解的个数为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy中，已知动直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，则的最大值为 ▲ ．14．若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，内角的对边分别为，已知．（1）求证：；（2）若△ABC的面积，求角的大小．16．（本小题满分14分）（第16题）ABCDPOEG如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD // 平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD. 17．（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽m（从拐角处，即图中处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；（2）若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．（第17题）4 mm东m北18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：为定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R． 19．（本小题满分16分）已知函数，．（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，求函数零点的个数；（3）若不等式对任意都成立，求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列，满足：对于任意正整数n，当n≥2时，． （1）若，求的值； （2）若，，且数列的各项均为正数．① 求数列的通项公式；② 是否存在，且，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.第II卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.ABFCDE（第21A题）A.（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形是圆的内接四边形，，的延长线交 的延长线于点．求证：是四边形的外角的平分线． B．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵，其中均为实数，若点在矩阵的变换作用下得到点，求矩阵的特征值．C．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系中，若直线（为参数）与圆 （为参数）相交于两点，求的长度．D．（选修4-5：不等式选讲） 已知关于的不等式的解集为，其中，求函数的最大值．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.( 第22题 )ABCDFE22．如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．23．已知函数．（1）解关于的不等式； （2）请用数学归纳法证明：当时， ．2017年高考模拟试卷(7)参考答案一、填空题1． {2，3} 2． 3． 90 4． 245．12 .由双曲线的一条准线的方程为，则，所以．6． .所有的基本事件的总数为，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为．7． .由条件，易知正四棱锥的高为，底面边长为，所以体积为．8． .由条件，不等式即为，所以，解得．9． 3 .由条件，，所以，所以，因为，，所以．10． 4 .由，得，所以，所以．11． .令，即，所以，因为，所以，即，从而．12． 7.如图所示，函数与的图象有7个不同的交点，所以原方程有7个不同的解．13． 18.直线过定点恰为曲线的对称中心，所以为的中点，由，得，所以动点满足，所以的最大值为18．14． .由，得，当时，不等式为恒成立，；当时，不等式为，设，，则，当且仅当时取“=”，再设，则，设，由于，所以在上单调增，因为，所以当时，，即；当时，，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得最小值，且最小值为2．综上，当且时，取最小值为2，所以． 二、解答题 15．（1）由正弦定理得， 则，所以． 因为，所以，所以或，即或（舍），所以． （2）由，得，所以， 由（1）知，，因为，所以． 因为，所以，即为锐角，若为锐角，则，即，可知； 若为钝角，则，即，可知．综上，或． ABCDPOEG16. （1）连接，由四边形ABCD是正方形知，为中点， 因为PD // 平面ACE，面，面面， 所以. 因为为中点，所以E为PB的中点. （2）在四棱锥P－ABCD中，AB＝PC， 因为四边形ABCD是正方形，所以， 所以. 因为G为PO中点，所以. 又因为PC⊥底面ABCD，底面ABCD，所以PC⊥BD. 而四边形ABCD是正方形，所以，因为平面，，所以平面， 因为平面，所以.因为平面，，所以CG⊥平面PBD. 17. （1）由题意，，， 所以，即（）． （2）设，．由，令，得． 且当，；当，，所以，在上单调递减；在上单调递增，所以，当时，取得极小值，即为最小值． 当时，，，所以的最小值为，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m． 因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． 18.（1） 由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），∴直线AP的方程为y=（x+2），得M（0，），∴=（2，）．同理可得N（0，），=（2，），∴•=4+．又点P在椭圆C上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0．∴﹣2+x1=，x1=，y1=，∴P（，）．∵k1•k2=﹣1，∴Q（，）．当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ的方程为y﹣=（x﹣），令x=﹣得： =0．∴直线PQ过定点R（﹣，0）．19． （1）， 由题意，，，解得，，， 所以． （2）由（1）知，，，令，得，且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．因为，，，函数在区间[]和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数有两个零点． （3）设，即，．，当时，，所以函数在单调递减，所以最小值为，不合题意； 当时，，令，得．若，即时，函数在单调递减，所以最小值为，只需，即，所以符合； 若，即时，函数在上单调减，在上单调增，所以的最小值为，所以符合．综上，的取值范围是． 20． （1）由条件，，，，，，，所以. （2）①由，，，，…，.将上面的式子相加，得，所以.因为{an}的各项均为正数，故.因为也适合上式，所以（）. ② 假设存在满足条件的k ,不妨设， 所以， 平方得，（*） 所以， 所以， 即 由（1）得，，即， 若，代入（*）式，求得不合，舍去； 若，结合（2）得， 所以，即，又且， 所以的可能取值为2，3，4，代入（*）式逐一计算，可求得. 第II卷（附加题，共40分）21.A. 因为是圆的内接四边形，所以，． 因为，所以，所以，所以是四边形的外角的平分线． B． 由题意，，即， 解得，所以． 设， 解得或，所以矩阵的特征值为和4． C． 由消参数，得． 由消参数，得． 所以圆心到直线的距离， 所以． D． 因为不等式的解集为，所以可得，，． 又函数，由柯西不等式可得，，当且仅当，即时取等号．所以，当时, 函数取得最大值． ( 第22题 )ABCDFEyxz22． 因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以． （1）建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，所以，，．设平面的法向量，则，即，令，则，所以， 设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为． （2）假设线段上是否存在点满足题意，设，则，所以．设。