2017高中数学人教A必修1第二章2.1.2　指数函数及其性质.doc

2.1.22.1.2 指数函数及其性质指数函数及其性质1．指数函数的概念 (1)定义：一般地，函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的 定义域是 R． (2)指数函数的特征： 特征Error! 例如函数 y＝－3×4x和 y＝x4均不符合指数函数的特征，故不是指数函数．其中函数 y＝kax(kR，且 k≠0，a＞0，且 a≠1)称为指数型函数． 释疑点释疑点 指数函数的概念中为什么要规定 a＞0，且 a≠1? (1)若 a＝0，则当 x＞0 时，ax＝0；当 x≤0 时，ax无意义．(2)若 a＜0，则对于 x 的某些数值，可使 ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．1 41 2 (3)若 a＝1，则对于任何 xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0，且 a≠1．在规定以后，对于任何 xR，ax都有意义，且 ax＞0．【例 1－1】函数 y＝(a－2)2ax是指数函数，则( ) A．a＝1 或 a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0 且 a≠1解析：解析：由指数函数定义知所以解得 a＝3．2(2)1,0,1,aaa且答案：答案：C 【例 1－2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝；④y＝xx；⑤y＝；⑥y＝．2π 2x1 3x1 3x解析：解析： 序号是否理由①否()x的系数不是 12②否2x－1的指数不是自变量 x③是满足指数函数的概念④否底数是 x，不是常数⑤否指数不是自变量 x⑥[来源:www.shulihua.n et]否底数不是常数且指数不是自变量 x答案：答案：③ 2．指数函数的图象与性质 (1)指数函数的图象与性质对应关系如下： 图象特征函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的性质 ①图象都位于 x 轴上方①自变量 x 取任何实数时，都有 ax＞0 ②函数图象都过定点(0,1)②无论底数 a 取任何正数，都有 a0＝1 ③当 a＞1 时，图象在第一象限③a＞1 时，内纵坐标都大于 1；在第二象限 内纵坐标都大于 0 小于 1．而当 0＜a＜1 时图象正好相反．01,001.xxxaxa若，则若，则当 0＜a＜1 时， 001,01.xxxaxa若，则若，则④自左向右看，a＞1 时图象呈 上升趋势；当 0＜a＜1 时，图 象呈下降趋势．④当 a＞1 时，y＝ax是增函数；当 0＜a＜1 时，y＝ax是减函数．(2)指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象和性质． a＞10＜a＜1图 象①定义域 R，值域(0，＋∞) ②图象都过点(0,1) ③当 x＞0 时，y＞1；当 x＜0 时， 0＜y＜1③当 x＞0 时，0＜y＜1；当 x＜0 时，y＞1性[来源:] [来源: ] [来源: w ] 质[来源:w ]④在 R 上是增函数④在 R 上是减函数 对 称 性指数函数 y＝ax和 y＝x(a＞0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称(1a)点技巧点技巧 指数函数性质记忆口诀 指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于 0，不等于 1 已表明；底数若是大于 1，图象从下往上增；底数 0 到 1 之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．【例 2－1】函数 y＝(－1)x在 R 上是( )3 A．增函数 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数 解析：解析：由于 0＜－1＜1，所以函数 y＝(－1)x在 R 上是减函数．33因为 f(－1)＝(－1)－1＝，f(1)＝－1，则 f(－1)≠f(1)，且 f(－1)≠－f(1)，331 23所以函数 y＝(－1)x不具有奇偶性．3答案：答案：D 【例 2－2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( )A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解析：解析：(方法一)在①②中底数小于 1 且大于零，在 y 轴右边，底数越小，图象越靠近x 轴，故有 b＜a．在③④中底数大于 1，底数越大，图象越靠近 y 轴，故有 d＜c．故选B．(方法二)设 x＝1 与①②③④的图象分别交于点 A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得 c＞d＞1＞a＞b．故选 B．答案：答案：B 析规律析规律 底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于 1 时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于 y 轴，当底数大于 0 小于 1 时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于 x 轴，简称 x＞0 时，底大图象高．3．指数型函数模型(1)指数增长模型 设原有值为 N，平均增长率为 p，则经过 x 次增长，该量增长到 y， 则 y＝N(1＋p)x(xN)． (2)指数减少模型 设原有值为 N，平均减少率为 p，则经过 x 次减少，该量减少到 y， 则 y＝N(1－p)x(xN)． (3)指数型函数 形如 y＝k·ax(kR，且 k≠0；a＞0，且 a≠1)的函数称为指数型函数． 【例 3】某乡镇现在人均一年占有粮食 360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%， 粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后若人均一年占有 y kg 粮食，求 y 关于 x 的函数 解析式． 分析：分析：在此增长模型中，基数是 360，人口的平均增长率为 1.2%，粮食总产量的平均增长率为 4%，由此可列出 1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：解：设该乡镇现在人口数量为 M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M kg．1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M(1＋4%) kg，人口数量为 M(1＋1.2%)，则人均一年占有粮食为kg，360(14%) (1 1.2%)M M 2 年后，人均一年占有粮食为kg，22360(14%) (1 1.2%)M M ……x 年后，人均一年占有粮食为 y＝kg，360(14%) (1 1.2%)xxM M 即所求函数解析式为(xN*)．1.043601.012x y点技巧点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为 N，平均增长率为 p，则对于经过时间 x 后的总量 y 可以用 y＝N(1＋p)x来表示．这是非常有用的函数模型．4．利用待定系数法求指数函数的解析式 已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利 用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式． 在指数函数的概念中，只有形如 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的函数才是指数函数，除此之外 的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的形 式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数 a，由此只需一个条件 就可确定指数函数的解析式． 例如：若指数函数 f(x)的图象经过点(2,9)，求 f(x)． 解：解：设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，因为函数 f(x)的图象经过点(2,9)，代入可得 a2＝9，解得 a＝3 或 a＝－3(舍去)．故 f(x)＝3x．【例 4－1】指数函数 y＝f(x)的图象经过点(π，e)，则 f(－π)＝__________． 解析：解析：设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，∵y＝f(x)的图象过点(π，e)，∴aπ＝e．∴a＝．∴f(x)＝()x．πeπe∴f(－π)＝()－π＝e－1＝．πe1 e答案：答案：1 e【例 4－2】已知指数函数 f(x)的图象经过点，试求 f(－1)和 f(3)．12,16分析：分析：设出函数 f(x)的解析式，利用待定系数法求出．解：解：设 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)，∵函数 f(x)的图象经过点，∴a－2＝，解得 a＝±4．12,161 16又 a＞0，则 a＝4，∴f(x)＝4x．∴f(－1)＝4－1＝，f(3)＝43＝64．1 4 点技巧点技巧 关于 a 的方程 am＝n 的解法 方法一：可以先把 n 化为以 m 为指数的指数幂的形式 n＝km，即 am＝km，则可得 a＝k．方法二：由 am＝n 得到，即，11 ()mmman1 man再利用指数幂的运算性质化简．1 mn 5．与指数函数有关的定义域、值域问题 指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．与指数函 数有关的复合函数的定义域和值域的求法如下： (1)求定义域的方法 ①函数 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)的定义域与函数 y＝f(x)的定义域相同．②函数 y＝f(ax)的定义域与函数 y＝f(x)的定义域不一定相同．例如，函数 f(x)＝的x定义域为[0，＋∞)，而函数 f(x)＝的定义域则为 R．求函数 y＝f(ax)的定义域时，可由xa 函数 f(x)的定义域与 g(x)＝ax的等价性，建立关于 x 的不等式，利用指数函数的相关性质求 解． (2)求值域的方法 ①求函数 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)的值域时，先求函数 y＝f(x)的值域，再根据指数函数 的单调性确定函数 y＝af(x)的值域． ②求函数 y＝f(ax)的值域时，可用换元法求解，但换元后应注意引入的新变量的取值范 围． 【例 5－1】求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)．1 2xy 2231 2xx y解：解：(1)∵由 1－2x≥0 可得 2x≤1，∴x≤0．∴函数的定义域为 x(－∞，0]．1 2xy 由 0＜2x≤1 可得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1．∴函数的值域为 y[0,1)．1 2xy (2)定义域为 R．∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴≤＝16．2231 2xx41 2又∵＞0，∴函数的值域为(0,16]．2231 2xx2231 2xx y【例 5－2】求下列函数的值域：(1)；(2)．1 15xy21 21xxy解：解：(1)∵≠0，∴≠1．1 1x1 15x∴函数 y＝的值域为{y|y＞0，且 y≠1}．1 15x(2)，2121 221212121xxxxxy  ∵2x＞0，∴2x＋1＞1．∴0＜＜1，－2＜－＜0．1 21x2 21x∴－1＜1－＜1．故函数的值域为{y|－1＜y＜1}．2 21x21 21xxy 6．指数函数的图象及定点问题 (1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题 指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)过定点(0,1)，即对任意的 a＞0，且 a≠1，都有 a0＝1．这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键． 一般地，对于函数 y＝kaf(x)＋b(k≠0)，可令 f(x)＝0，解方程得 x＝m，则该函数的图象 恒过定点(m，k＋b)．方程 f(x)＝0 解的个数就是该函数的图象恒过定点的个数． (2)指数函数的图象变换的问题 根据函数图象的变换规律，有以下结论： ①函数 y＝ax＋b(a＞0，且 a≠1)的图象，可由指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象向 左(b＞0)或向右(b＜0)平移|b|个单位长度而得到； ②函数 y＝ax＋b 的图象，可由指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的。