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第二节一元二次方程及应用.docx

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    • 第二节一元二次方程及应用河北8年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分2015选择12一元二次方程根的判别式考一元二次 方程无实数 根求参数的 取值范围222014解答21解一元二 次方程(1)从推导一 元二次方程 的求根公式 的步骤中找 错误,并写出 正确的求根 公式;(2)用配 方法解一元 二次方程10102012选择8解一元二 次方程判断一元二 次方程配方 后所得的方 程332010填空16一元二次方 程的应用已知一元二 次方程的一 个根,求代数 式的值(整体 代入思想)222008选择6一元二次方 程的应用以教育经费 为背景,列关于增长率的 一元二次方 程22命题规律纵观河北8年 中考只有2008、 2010、2012、 2014、2015年考查了一元二次 方程,分值2 -10分,涉及 的题型有选 择、填空、解 答,题目难度 一般,其中一元二次方程 的配方法在 选择和解答 题中各考查 了 1次,一元 二次方程的 应用在选择、 填空中各考 过一次,一元二次方程根 的判别式考 查了 1次,属 基础题.命题预测预计2016年 河北中考考 查一元二次 方程的应用 可能性较大, 应强化训练.,河北8年中考真题及模拟)命题点7解一元二次方程(2次)1. (2012河北8題3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是()A. (x+2)2=3 B. (x-2)2 = 3C. (x-2)2=5 D. (x+2)2=52. (2014阿北21題10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2 + bx+c=0(a^0)的求根公式时,对于b2- 4ac>0的情况,她是这样做的:由于aHO,方程ax2+bx+c=0变形为:,笫-步x+*+s) =-汁偿),第二步 (x+舟了二匣护’第三步x+菇灼处(44ac>0),笫四步x=-b+炉忑第五步⑴嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上当b2-4ac>0时,方程ax2 + bx+c=O(a^O)的求根公式为 .(2)用配方法解方程:x2-2x-24 = 0.命题点2 —元二次方程根的判别式(1次)3. (2015河北12题2分)若关于x的方程x2+2x + a=0不存在实数根,贝lj a的取值范围是()A. al C. aWl D. a$l命题点3 —元二次方程的应用(2次)4. (2008河北6題2分)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2013年投入5000万元,预计2015 年投入8000万元.设教育经费连续两年的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是()A. 5000(1+x)2 = 8000B. 5000x2=8000C. 5000(1+x%)2=8000D. 5000(1 +x)+5000(1 +x)2=80005. (2015河北模拟)若X|, X2是一元二次方程x2-3x+2=0的两根,则X1+x2的值是()A. ~2 B. 2 C. 3 D. 16. (2015唐山丰润区二模)方程X—x + 3=0根的情况是( )A. 只有一个实数根B. 有两个和等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根7. (2015保定博野模拟)己知关于x的一元二次方程(a—1)x2—2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范 围是()A. a>2 B. a<2C. a<2 且 aHl D. a<-28. (2015邯郸25中枝拟)某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率 为x,则可列方程为()A. 48(1-x)2=36 B. 48(l+x)2=36C. 36(1-x)2=48 D, 36(1+x)2=489. (2015石家庄十八县区重点中学一模)为落实"两免一补”政策,某市2013年投入教育经费2500万元,预计2015年要投入教冇经费3600万元.已知2013年至2015年的教冇经费投入以相同的百分率逐年增长,则2014 年该市要投入的教冇经费为 万元.10. (2015保定定兴一模)已知方程」7=1的解是x=a,求关于y的方程y+^y=0的解.X ia2 —ab (aMb)11. (2016原创预测)对于实数a, b,定义新运算“*": a*b= , 「,,、,例如:4*2, I天1为4>2,所以4*2tab—b~ (a0)的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为1, 一次项系数为偶数的这类一元二次方程,配方的关键是把方程左边化为含冇未知数的① 式,右边是一个非负常数.公式法求根公式为② ,适用于所冇的一元二次方程.因式分解法因式分解法的步骤:(1)将方程右边化为③ :(2)将方程左边分解为一次因式的乘积;(3)令每个因式等于0,得到两个一元一•次方程,解 这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = O(aHO)的解法:⑴当b = 0, chO时,x2= -7,考虑用直接开平方法解;⑵当c = 0, bHO时,用因式分解法解;(3)当a=l, db为偶数时,用配方法解简便.考点3 —元二次方程根的判别式3. 根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c = 0(a^0)的根的情况可山 來判定,我们将 称为根的判别式.4. 判别式与根的关系:⑴当b2-4ac>00方程有 的实数根;⑵当b2-4ac<00方程没有实数根;⑶当b2-4ac=00方程有 的实数根.【易错提示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b2-4ac^0.⑵当a、c异号时△>(). 考点* 一元二次方程的应用5. 列一元二次方程解应用题的步骤:①审题;②设未知数;③列方程;④解方程;⑤检验;⑥做结论.6. 一元二次方程应用问题常见的等量关系:(1) 增长率中的等量关系:增长率=增量十棊础量;(2) 利率中的等量关系:本息和=本金+利息,利息=本金X利率X时间;⑶利润中的等量关系:毛利润=售出价一进货价,纯利润=售岀价一进货价一其他费用,利润率=利润十进货 价.【方法点拨】利用方程根的意义,把方程的根代入方程中,是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法,我 们可以把这种方法称为让根回家.,中考重难点突破类型Z —元二次方程的概念及解法【例1] (1)(2014匂很中考)若方程(m-l)xm2+l+mx-5 = 0是关于x的一元二次方程,则m= .⑵解方程:(x—l)(2x—l)=3(x—l).【解析】方程两边都含有因式X・1,如果在方程两边同时约去X- 1,就会导致方程失去一个根x= 1,本题可 先移项,利用因式分解法求解.【学生解答】【点拨】解一元二次方程时,不能随便在方程两边约去含未知数的代数式,否则,可能导致方程失去一个根.C针对训练:1. (2015河北中考)若n(nHO)是关于x的方程x2+mx+2n=0的根,则m+n的值为( )A. ~2 B. -1 C. 1 D. 22. (2015唐山路北一妁用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可变形为( )A. (x+2)2=9 B. (x—2)2 = 9C. (x+2)2=1 D. (x—2尸=13. 用公式法解方程:(1)(2015 r 东中考)x2-3x+2=o;(2)(2015 兰州中考)解方程:x2-1=2(x+1).类型2 —元二次方程根与系数关系和判别式【例2】(2015河北中考)已知关于x的一元二次方程x2+2(m+l)x+m2-l=0.(1) 若方程有实数根,求实数m的取值范围;(2) 若方程两实数根分别为xi、X2,且满足(x1-x2)2=16-x1x2,求实数m的值.【学生解答】【点拨】通过根与系数关系求得的m值必须满足△$().C针对训练:4. (2014黄冈中考)若a, B是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,则a2+p2=( )4. -8 B. 32 C. 16 D. 405. (2015重庆中考)己知一元二次方程2x2-5x+3 = 0,贝9该方程根的情况是()A.有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 两个根都是白然数D. 无实数根类型3 —元二次方程的应用【例3] (2015成字中考)随着市民环保意识的增强,烟花爆竹销售量逐年下降.咸宁市2013年销售烟花爆竹 20万箱,到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱.求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率.【解析】先设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x,那么把2013年烟花爆竹销售量 看作单位1,在此基础上可求2014年的年销售量,以此类推可求2015年的年销售量,而2015年的年销售量为9.8 万箱,据此列方程即可.【学生解答】C针对训练:6. (2015武威中考)近年来某县加大了对教育经费的投入,2013年投入2500万元,2015年将投入3600万元.设 该县投入教育经费的年平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是()4. 2500x2=3600B. 2500(1+x)2 = 3600C. 2500(1+x%)2=3600D. 2500(1 +x)+2500(l +x)2=36007. (2016原创预测)唐山市某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时, 可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响, 每批次进货个数不得超过180个,若商店准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?中考备考方略1. (2015衡阳中考)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为一1,则另一个根为()A. -2 B. 2 C・ 4 D. -32. (2015保定二檢)用配方法解关于x的方程x2+mx + n = 0,此方程可变形为(m、2B. (x+yX=9 -rrT—4n~~4-C. (x+护中… …m ? 4n —m2D. (x+y)2=——3. (2015石家庄28中枝拟)关于x的一元二次方程kx?+2x— 1 =0有两个不相等实数根,则k的取值范围是()4. k>-l B. k^-1C. kHO D. k>—l 且 kHO4. (2015全华中考)一元二次方程x2+4x-3=0的两根为X]、x2,则x/x?的值是()4. 4 B. -4 C. 3 D. -3。

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