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第六讲离散时间跨期套利定价理论6.1介绍本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常 并不采用均衡定价方法，而是采用套利定价方法Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利时机，那么 该系统存在一个等价鞅测度， 利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价例1:考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为 S=35,期权的执行价格为X=35,连续复利无风险利率为 9.531%,因此R er(T " 1.1,成熟期为一期假定资产价格或者上升 25%,或者下跌25%,即上升后价格为Su=43.75,下降后价格为 Sd=26.25,其资产价格变化如下列图 6.1所示由此一个看涨期权的回报如图 6.2所示下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产假定我们出售 H份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为 S-Hc,完全套期保值后的回报都是 26.25,其回报过程可以用图 6.3来刻画1、出售的期权份额 H:因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有： Su Hcu Sd Hcd 26.25, 因此我们可以求解出 H:Su SdH ;Cu Cd将相关数值代入，得 H=2o2、无套利时机时的期权价格 ：因为无套利时机存在， 无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：R(S Hc) Su Hcu整理得：c S(R u) 「HRr R d u R 、[cu cd ] / R ,-看跌平价关系u d u d此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨 得到。

3、等价鞅测度：事实上我们可以将上式改写为：1 1c CuR (1 )CdR ,… R d 其中 相当于一个概率，称为一个等价鞅测度 在该测度下，期权u d价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率例6.1.2:考虑一个四期的期权定价例子假定标的资产的价格 S=35,期权的执行价格 X=35,成熟期为一年连续复利无风险利率为 9.525%,因此 R er(T “ 1.09993 ； 如果将一年分为四季，则r er(T t) e0.09525 0.25 1.024098假定资产价格变化如下列图 6.4所示贝U u=1.10517, d=0.904837 , R=1.024098, 0.59512由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格1)在第0期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期 权价格，则个体只能在第 4期执行该期权，其价格可以表示为：44c 4 4 3 3 4c [ ° 4(Su4 X) [ 3(1 )(Su3d X)]/(1 r)4 4.37(2)计算在第一期当资产价格为 38.68时发行的、第三期成熟的、操作 价格为40的欧式看涨期权价格：c [ 2 2(38.68 u2 X)] (1 r)2以此类推。

2 .2无套利时机与等价鞅测度一、 模型的建立考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,…,T假定在该经¥中存在I位个体, i 1,2,...,I为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这 种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为 1信息结构:假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间 假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到 T期个体才能知道真正的自然状态是 中的哪一个我们可以用一个事件树来刻画信息结构图6.5描述了五个自然状态、三个交易日的信息结构在 t=0时，个体 仅知道真实的自然状态在｛ 1,.... 5｝中t=1时，部分信息被披露出来，或 者事件发生，或者事件｛ 41 5｝发生；当事件｛ 1, 2, 3｝发生时，个体知 道真实的自然状态只能是 1、 2或3；当事件｛ 4, 5｝发生时，个体知道真实的自然状态只能是 4或5t=2时，信息完全展示出来，个体就知道具体哪个自然状态发生了定义：一个事件是 的一个子集称两个事件不相交，如果这两个事件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件， 它就不属于另一个事件定义： 的一个分割是一组事件的集合 ｛a,a2,...,a3｝,如果这些事件彼此不相交，且它们的并等于 。

称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中事件的并图6.5):信息结构我们可以用—｛Ft;t 0,1,...,T｝来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个Ft都是 的一个分割，满足：如果 t s,则Ft比Fs更精细；F0 ｛匕 Ft ｛ | ｝定义：一个随机过程是一个由时间 t标识的随机变量序列定义：称一个随机过程 S ｛S(t)| t 0,1,...｝关于一适应(adapted to-),如果对于任意的t, S(t)关于Ft可测定义：称一个随机过程 S关于一可料的(predictable to -),如果对于任 意的t, S(t)关于Ft1可测资产结构：定义：一个时间事件或有权益 (time-event contingent claim)是一种证券,在交易日t 1、事件at Ft发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下没有支付定义：一个复杂证券是由时间 0消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为x {x0,xat | at Ft,t 1,2,...,T},其中x0和xa分别为以消费品衡量的时间 0和时间t、时间at下的红利定义：一个长生命证券(long-lived security)是一种在任意交易日都可以 交易的复杂证券。

假定经济中存在 N+1种长生命证券，j=0,1,…,N假定第0种资产是面值为1的T期贴现债券，其红利流可以表示为：x0 {0,0,...,x°(T) 1}, (6.2.1)记第0种资产的除息价格过程为 {B(t)|t 0,1,2,...,T},则有B(T) 0假定其它N种资产是风险资产，第 j种资产的随机红利流可以表示为：xj {xj(t)|t 0,1,2,...,T} (6.2.2)记第j种资产的除息价格过程为 {Sj(t) |t 0,1,2,...,T},则有Sj(T) 0记 S(t) (S(t),...,SN(t))T , X(t) (x1(t),...,xN(t))T显然,xj(t)、B(t)和Sj(t)关于Ft可测，因此红利过程、价格过程都关于 一适应个体行为：假定每一位个体i的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表示， 假定个体效用函数uit (ci (t))单调增、严格凹、充分光滑，假定zin0 Uit'⑵假定个体i在各自然状态上被赋予的主观概率为：i { i | }在该主观概率下，记在给定事件 at Ft下，事件as Fs〔s t〕发生的条件概率为 ；s (at),根据Bayes公式， ；(at)可以表示为:as(at)士丁如果as atoat0 如果as a假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状态 和时间t的函数，即可以表示为 B( ,t)和Sq ,t)。

记个体被赋予的长生命证券的数量为：「，(0)「，⑼(一j(0))\｝个体的交易策略是一个 N+1维的随机过程，可以简记为：(,)｛ (t), (t)( j(t))Ni｝：0,其中(t)和j(t)代表个体在t-i期交易发生后，到t期交易发生前所持有 的第0种资产和第j种资产的数量由于(t)和j (t)是在t-i期被决定的， 它们关于Ft可测，因此交易策略关于 -适应个体的消费计划是一个随机过程，可以简记为：c ｛at)|t 0,1,2,...,T｝其中c(t)是t期消费量定义：称一个交易策略(，)是可接受的(admissible),如果存在一个消 费计划c,满足：(t 1)B(t) T(t 1)S(t) (t)B(t) T(t)(S(t) X(t)) c(t),(6.2.3)对t 0,1,...,T 1成立，且有：(T) T(T)X(T) c(T) (6.2.4)相应地，我们也称该消费计划 c是由交易策略(，)融资的，也称为上市的(marketed)二、无套利条件和等价鞅测度定义：一个套利时机是一个由可行交易策略融资的消费计划 c,满足：〔1〕c非负，且至少存在某个时期t和事件at Ft,有c(at ,t) 0;〔2〕其成本非负，即(0) B(0) T(0)(S(0) X(0)) 0。

定义：一个随机过程 Y ｛Y(t)|t 0,1,2,...,T｝被称为是一个在概率下对-适应的鞅，如果它满足:E[Y(s)| Ft] Y(t), s t, 其中E[. |F/是关于概率 、给定Ft下的条件概率定理：一个价格系统(B,S)不允许存在任何套利时机，当且仅当经济 中存在一个等价鞅证明：〔必要性〕：假定价格系统(B,S)不允许存在任何套利时机 在价格系统下，个体i的最大化问题可以表示为：Tmax Ei[ Uit (c(t)), (,)\ 0 、、“Subject to:消费计划c由交易策略(，)融资，((0), (0)) (-i(0),"i(0))o求解该最大化问题，Euler方程为：Sj (t) Ei[Uit 1'(c (t 1)) (Sj(t 1) Xj(t 1))|Ft], (6.2.5)Uit'(c (t))Ed： 1 (c (t 1》B(t i)|Ft]如果t T -2B(t) Uit '(c (t)) 0 (6.2.6)E Uit 1'(c (t 1" 如果t t-1Uit'(ci(t))此处(6.2.5)式可以改写为：Uit'(ci(t))Sj(t) Ei[Uit 1'(ci(t 1))(Sj (t 1) Xj(t 1))| Ft]; (6.2.7)X^(6.2.6)式进行前向迭代，可以改写为:Ei[Uis (c(S)) B(s)|Ft]如果t s T-1B(t)(6.2.8)Uit '(ci (t)) 1Ei[Uis(° ⑸)| Ft] 如果s TUit'(ci(t))〔1〕如果经济中存在一个风险中性的个体 i ,且该个体并不存在任何时间偏爱，则我们有：Uis'(ci (s)) Uit'(ci (t)) 常数,s, t。

代入(6.2.7)和(6.2.8)式，整理得:Sj(t) E[Sj(t 1) Xj(t 1)|Ft],B(t) 1t记口人) Xj (s) , t 0,1,...,T ,则我们有：s 0Sj(t) Dj(t) Ei[Sj (t 1) Dj(t 1)|Ft]Ei[Sj(s) Dj(s)|FJ, s t因此由资产的价格加上红利构成的随机过程是一个鞅， 鞅测度是该风险中性 个体的主观概率测度〔2〕如果经济中并不存在这样一个风险中性的个体，则我们可以构造出一个鞅测度首先对价格过程和红利过程进行归一化:_ *Sj(t)Sj (t) / B(t) 如果t T0 如果t T*B (t)1如果t T0。