等腰三角形中的分类讨论问题归类.doc

v1.0 可编辑可修改初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论那么在什么情况下应该分类讨论呢本文分以下几种情形讲述一、遇角需讨论例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75°简析：75°角可能是顶角，也可能是底角当75°是底角时，则顶角的度数为180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°故应选D说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解二、遇边需讨论例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。

故这个等腰三角形的周长等于16或17说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论三、遇中线需讨论例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理四、遇高需讨论例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数简析：依题意可画出图1和图2两种情形图1中顶角为45°，图2中顶角为135°例5. 为美化环境，计划在某小区内用的草皮铺设一块一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长简析：在等腰ΔABC中，设AB=10，作CD⊥AB于D，由，可得CD=6如下图，当AB为底边时，AD=DB=5，所以如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，，所以，如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，，，所以。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外五、遇中垂线需讨论例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以∠B=∠C=（180°－40°）=70°如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得∠BAC=140°，所以∠B=∠C=（180°－140°）=20°故这个等腰三角形的底角为70°或20°说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题六、和方程问题的综合讨论例7. 已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于的一元二次方程 的两个实数根，第三边BC长为51）为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形（2）为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长简析：（1）略2）若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。

方程可化为，即，，显然，即当AB=BC或AC=BC时，5是方程的根当时，代入原方程可得，解得，当时，原方程的解为，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14当时，原方程的解为，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16所以当或时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。