自然数的序数理论与基数理论.ppt

初初等等数数学学专专题题研研究究第一讲 自然数的基数理论与序数理论1.1、自然数的基数理论1.2、自然数的序数理论初初等等数数学学专专题题研研究究第一讲 自然数的基数理论与序数理论1.1、自然数的基数理论一、自然数的概念1、集合的对等自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础在集合论中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B对等，记作A∽B集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足（1）反身性：A∽A；（2）对称性：A∽B，则B∽A；（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样的集合叫无限集；否则叫做有限集初初等等数数学学专专题题研研究究2、集合的基数定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具有相同的基数，集合A的基数记为若则规定集合A的基数不小于集合B的基数即定义3：有限集的基数叫做自然数3、冯·诺伊曼的自然数体系定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即其余的自然数按下列规则构造：初初等等数数学学专专题题研研究究…………………………依照上述规则，全体自然数就构造出来：0，1，2，……，n，……4、自然数的大小定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，如果B∽C，则称按照这个定义，自然数有下列大小关系全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示即初初等等数数学学专专题题研研究究二、自然数的四则运算定义6：设A、B是两个有限集，并且(由所有不属于C但属于A的元素作成的集合）则称集合 的基数是集合A与B的基数的和，记为1、自然数的加减法定义7：设A、B是两个有限集，并且集合C是集合A中与B对等的子集，用符号表示集合C在集合A中的余集则称集合 的基数是 与 的差，记为初初等等数数学学专专题题研研究究定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意有（1） (a+b)+c = a+(b+c)（2） a+b = b+a（证明略）2、自然数的乘除法定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的的基数笛卡尔直积叫做 与 的乘积，记为初初等等数数学学专专题题研研究究定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意有结合律交换律乘法对加法的分配率证明略定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使则称c是a除以b的商，记为初初等等数数学学专专题题研研究究1.2、自然数的序数理论一、自然数的皮亚诺公理一、自然数的皮亚诺公理定义定义10：：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及这个关系满足下面五条公理:（1）（2）对任意（3）对任意有且仅有唯一的后继元 即（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继， （5）（归纳公理）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足那么这个集合的元素叫做自然数。

即初初等等数数学学专专题题研研究究二、序数理论下的自然数四则运算二、序数理论下的自然数四则运算定义定义11：：设定义对于定义其中的叫做加数，叫做它们的和1、加法、加法这个定义实质上给出了加法的具体步骤例1：求3+7解：按定义11 如此一步一步做下去，直到初初等等数数学学专专题题研研究究定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意有（1） (a+b)+c = a+(b+c)（2） a+b = b+a（证明略）2、自然数的大小、自然数的大小则称a小于b，记为也称b大于a，记为在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）如果存在使定义定义12：：对于也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：初初等等数数学学专专题题研研究究证明从略定理定理4：：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且只成立一个：除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；则若若（或），则（或）在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：定理定理5：设是三个自然数，（2）若那么（3）若那么那么（1）若初初等等数数学学专专题题研研究究推论推论：设是四个自然数，并且定理定理6：设是三个自然数，（2）若那么（或），那么（或）。

自然数的加法还满足加法消去律：那么（1）若（3）若那么使 成立的自然数c叫做a减b的差3、减法、减法当时，必存在自然数c，使记为定理定理7：对于任意两个自然数定义12对于任意两个自然数并且初初等等数数学学专专题题研研究究4、乘法、乘法（2）设定义定义定义定义13：：（1）设例2：求 解 跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述初初等等数数学学专专题题研研究究、定义定义14：对于任意两个自然数如果存在自然数c，使那么c叫做a被b除得的商，记作5、除法、除法三、自然数集的性质三、自然数集的性质性质性质8：：自然数集是全序集这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下比较大小性质性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个自然数a，b，一定存在自然数 c，使 性质性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 之间都不存在第三个自然数）初初等等数数学学专专题题研研究究性质性质11：(最小数原理最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在一个最小数三、数学归纳法三、数学归纳法设 是一个与自然数有关的命题，那么，对一切不小于的自然数命题都成立。

定理定理12：（第一归纳法原理）：：（第一归纳法原理）：（2）假设命题对自然数成立时，如果：（1）命题对某个自然数成立；对也成立命题)(np初初等等数数学学专专题题研研究究设 是一个与自然数有关的命题，定理定理13：（第二归纳法原理）：：（第二归纳法原理）：如果：（1）命题对某个自然数成立；假设命题成立，此时如果命题（2）对满足条件的一切自然数对也成立那么，对一切不小于的自然数命题都成立初初等等数数学学专专题题研研究究定理定理14（第三归纳法）：（第三归纳法）：设 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题 对无穷多个自然数成立（2）假设命题对自然数成立时，命题对也成立那么，对一切自然数不小于n0的自然数n，命题 都成立 第三归纳法也叫柯西归纳法初初等等数数学学专专题题研研究究证明： 用反证法：如果命题不能对一切不小于n0的自然数都成立那么将所有使命题不成立的自然数作成一个集合M，那么这个集合必有一个最小数k，则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有r>k,使命题在r时成立，反复应用条件（2），那么命题必然在这些自然数处成立，由于r>k，故上面的自然数必有一个等于k，从而导致矛盾初初等等数数学学专专题题研研究究思考与练习1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律2、利用最小数原理证明定理13.3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把平面分割成个互不相通的平面区域。