数学归纳法与数列的极限(答案).doc

1第十二讲：数学归纳法与数列的极限第十二讲：数学归纳法与数列的极限 知识小结： 1,,,(1)(12,);()(2)(1,2,),1;()(3) (1) (2)*,.nnnk knknNLL、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题即通过对有限个正整数证明命题成立推广到对一切正整数命题都成立的思想方法主要步骤为证明起始命题成立即或命题成立这是证明的基础假设时命题成立由假设条件推出当时命题成立这是递推的关键由、可知对于命题均成立注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理2(2),,1.3,.,,.nknk就像多米勒骨牌！、证题的关键在于用好归纳假设在一般的情况下，由假设时命题成立为出发点推出命题成立即可、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论再用数学归纳法证明那么要求能正确地归纳4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数 A，那么 naA 叫做数列的极限，或叫做数列收敛于 A，记作 na nalimnnaA 注意点：1）只有无穷数列，当趋近于无穷大时，无限趋近于某一常数；nna2）对于数列，当无穷增大时，无限趋近于某一定值时，是通过无限趋近于零来描述的。

 nannacnac这里无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定） ，总可以通过取充分大以后，nacn使充分接近于零，如果这个任意小的正数用来表示，那么当充分大时，总有nacnnac3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限 5.极限的运算性质性质： lim,lim,(1)lim()limlim.(2)lim()limlim.lim (3)lim(0,0).limnnnxnnnnnnxnnnnnnxnnn nnnnxaAbBababABababA BaaABbbbB 1)如果则注意：我们只研究极限存在的运算2）几个重要极限： 0 lim;lim0;lim1nnnnCCCqn 不存在1 1 11q q    或21 110 1 110lim0klkk kk llnlla ba nana na bnb nblb      L L不存在lk lk lk  6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把的无穷等比数列前项和，当无穷增大时的极限叫做无1q nnSn穷等比数列各项的和，并用符号表示，即S1(1)1aS注意点：1）只有当且时，才能代入上述公式；1q 0q 2）实际上可推出：；limnnSS 3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如；90.919 ；12 1110.129090111113(1),1,1224 ______. 111111 (1)(1)1111111111112 111 23kknnnnABCkkkkkkkkkkkDnknkkkkkkkKLK例题、选择题用数学归纳法证明不等式的过程中由推导时不等式左边增加了（）；（）；（）（）（）（）（）（）以上均错解：当时，不等式左边为；当时，不等式左边为11 111 111.1111 2““,1,______.( )()( )()( )21()()21(nnkkkkkkBkkkkk nxyxynAnk kNBnk kNCnkkNDnk   ，那么不等式的左边增加了，故选（）（） （）用数学归纳法证明命题当为正奇数时，能被整除在验证正确后归纳假设应写成假设时命题成立 假设时命题成立假设时命题成立 假设):,1,21(),.(3),(),,1,,5,,______.( )6( )6( )4()4kNnnnkkNDnnk kNnknAnBnCnDnQ时命题成立解为正奇数在验证后归纳假设应写成时命题成立故选某个命题与正整数有关若当时该命题成立则可推出时该命题成立现已知当时该命题不成立那么当时该命题不成立 当时该命题成立当时该命题不成立 当时该命题成立 n kn k提示：逆否命题为“ 已知= +1不成立，推出= 不成立” 。

3:,.C解显然选否则不符合题设 例 2、求极限：111(1),______.2:,lim;,lim;21,lim,1,(), (), ,().nnnnnnnnnnnnnabababbabaaabaabaab aaabbabb a baab abab bab     n已知、均为正数那么l i m解当时原式当时原式当时原式当时 故原式或当时 当时|| 1,lim||0.nnq 提示:则极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出值22222221321(2)lim.1111 3(21)1:limlimlim1.1111nnnnn nnnnn nn n  LL求解原式注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的2222(3)lim(243)1,______.3 32434324324nnnknkkknknnnknknnkn nn Q则的值等于解；，2lim243,1444nkknnknk 即得，提示：分子有理化。

1131lim,.3(1)33111: limlim,11.3(1)33133,42.nnnnnnnnnnaaa aaa  Q(4)已知求的取值范围解解不等式得4 1 2121212 123.,(1),,lim.11:1,,lim.(2 )22(1) 111,.(1)1 1n nnnnnnnnnnn nn nSaaq qnSSSSa nqSanSaq SaqSq q   例已知等比数列的首项为公比为前项和为求解当时当时2211,0,limlim1.11 11,limlimlim0111n nnnnnn nnnnnnSSSqS 当时当时2.1,(1);2 ,lim1,(1,0);0,(1).nnnq SSq  当时综上所述当时当时11.1,1,1.nq关键点：（1）等比数列中的一定要分情况讨论，或（2）求含有的极限，也要分三种情况讨论:例 4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列的首项、公比均为. na1 2（1）试求无穷等比子数列（）各项的和；31ka*Nk（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出所有满足条件的子数列 na1 7的通项公式；若不存在，请说明理由；解：（1）依条件得： 则无穷等比数列各项的和为： ；* 31311(N )2kkak31{}ka2231 22 177128a （2）解法一：设此子数列的首项为，公比为，由条件得：，1aq102q5ABlC则，即 1112q 1121 q1111(1)[, )714 7aq而 则 .* 11(N )2mam111,88aq所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，其通项公式为，.1 81 8nna*Nn解法二：由条件，可设此子数列的首项为，公比为.1a1 2mq *(N )m由………… ①*Nm10112m 1 11 1712maa  又若，则对每一都有………… ②11 16a *Nm111 111616 11187111222mma 从①、②得；111 167a11 8a 则；11 18 1171122mma 1711288mq  因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为无穷等比子数列，通项公式为1 8，.1 8nna*Nn例 5：（1） （03 年上海数学高考）已知其中为正整数，设表示外)0 ,24(),2, 0(),2, 0(nCnBnAnnSABC接圆的面积，则 。

 nnSlim解：此题一般地考虑方法是先求出的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得的结果，但ABCnnS lim整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错 但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当时这三个点的变化的位置，趋于原点，点趋nBA,C于然后看得圆的半径为 2，从而所求圆的面积为)0 , 4(C4（2） （07 年上海数学高考卷（文）第 12 题）如图，是直线 上的两点，且．两个半径相等的动AB，l2AB圆分别与 相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与lAB，CACCB线段围成图形面积的取值范围是 ． ABS解：当两圆半径时，点 C 趋向直线 ABr  6当两圆相外切时， ， 0.S1.r 2114S扇形222.42S0,22S 例 6、 （09 上海高考题）已知是公差为 d 的等差数列，是公比为 q 的等比数列}{na}{nb找出所有数列和，使对一切，并说明理由；}{na}{nbn nnbaaNn1,[解法一]若,即 （*）n nnbaa111 1 1(1)nandbqand（i）若，则0d.11 1nnbqb当为非零常数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求 }{na}{nb（ii）若， （*）式等号左边取极限和，0d11lim1(1)aand and（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于 1,此时等号左边是常数，1q 矛盾。

0d综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于 1 的常数列，满足要求 }{na}{nb[解法二]设若，对都成立，且为等比数列，, cndann nnbaa1*Nn}{nb则，对都成立，即qaa aannnn112/*Nn2 12nnnqaaa都成立， 2*()(2)()dnc dndcq dndcnN对22qdd（i）若，则，0d0 can*, 1Nnbn（ii）若，则（常数）0d, 1qmbn即，则，矛盾mcdncddn0d综上所述，有,使对一切 1, 0nnbcan nnbaaNn1*,例 7、在数列中,若是正整数,且则称为“绝对差数列” na21,aa,5 , 4 , 3,21Lnaaannn na(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”.(只要求写出前十项); 解:(答案不唯一). 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 310987654321aaaaaaaaaa 提示：周期数列(2) 若“绝对差数列”中,数列满足分别判断当 na, 0, 32120aa nb,3 , 2 , 1,21Lnaaabnnnn 时,与的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;nnanb 提示：考查极限概念解:因为在绝对差数列中,所以自 20 项开。