11.27初三-相似三角形.doc

相似三角形的判定相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部 分知识打下良好基础我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算一、 相似三角形的性质与判定（一） 相似三角形判定定理：（1） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似；（2） 判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似.即“两角对应相等，两三角形相似”；（3） 判定定理2如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并仕夹角 相等，那么这两个三角形相似.即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”；（4） 判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两 个三角形相似.即“三边对应成比例，两三角形相似”；（5） 若厶\sg、贝仏ls/\3；（6） 对于直角三角形相似，述有如下判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；（7） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

二） 相似一:角形的性质（1） 相似三角形的对应角相等；（2） 相似三角形的对应边成比例；（3） 相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4） 相似三角形周长比等于相似比；（5） 相似三角形面积的比等于相似比的平方二、 等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型因为这种问题变化很多，同学们常常感到 困难但是，如果我们常握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的 字母，就可找出相似三角形例1、已知：如图，ZXABC中，ZACB=90, AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线 于 F求证：CD2=DE DFo KDZ L分析：我们将此等积式变形改写成比例式得:CD _DE而一莎，山等式左边得到ACDF,山等式右边得到AEDC,这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了因为ZCDE是 公共角，只需证明ZDCE=ZF就可证明两个三角形相似二）若山求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线 段代换或等比代换。

有时述需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形例2・如图，己知AABC中，AB二AC, AD是BC边上的中线，CF〃BA, BF交AD于P点，交AC于E点求证：BP2=PE PFo分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其 他方法，因为AB二AC, D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果 我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB二PC,只需证明厶PEC-APCF,问题就能解决了三、直角三角形已学性质总结（一）如图 1,在 RtA^BCP，ZC=90 ；图1 图2（1） 三边之间的关系：a2+fe2=c2；（2） 两锐角之间的关系：ZA+ZB=90 ；（3） 边与角之间的关系：三角函数（二）如图2,若直角三角形ABC中，CD丄AB于点D,设 CD=h, AD=q, DB=p,则：由厶CBDs/\ABC,得 cT=pc；由厶CAD^/XBAC,得 =qc；由厶ACDs\CBD、得 f=pq；rflAACD^AABC 或由△ ABC 的面积，得 ab=ch在有关直角三角形的相似问题中，可以尝试运用三角函数的知识来解题，即“三角法”。

三）如图3,若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则:-AS(1) CD=AD=BD= 2R = -ABa + b-c abr — = 贝g 2 a+b+c(2)点D是RtAABC的外心，外接圆半径 2(%1) 如图4,若厂是直角三角形4BC的内切圆半径,(%1) 直角三角形的面积：=^-r(a + b + c)(1 )如图 4, Sb ABC 2=—ab = — ch = —ac^smB = — be ・ sm 4(2)如图 5, S/\血 2 2 2 2例1、如图6,正方形ABCD的边长为4, M, N分别是BC, CD上的两个动点，当M点在 BC上运动时，保持AM和MN垂直1) 求证：RtAABM^RtAMC/V；(2) 设BM=x,梯形ABCN的面积为)•，，求歹与兀之间的函数关系式；当M点运动到什么 位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；(3) 当M点运动到什么位置时，RtZ\ABMsRtZ\4MN,并求兀的值全章测试试题（一）填空：厂X1. 若 3x・7y=0,则 y ： x= , x = 2. 若a=7, b=4, c=5,则b, a, c的第四比例项d= 3. 若线段a=4, b=6,则a, b的比例中项为 。

a c 3 a + c 34. 己知：b = d=f=59 贝ij b^d= , b^2d-3f= ,5. 已矢II： a ： b ： c=3 ： 4 ： 5, a+b-c=4，则 4a+2b-3c二 2 x6. 若x二恳，则x= o7. 己知:AABC 中，DE//BC 交 AB 于 D, AC 于 E, AB=10, AD-DB=2, BC=9，贝U DE= <>8. 己知:RtAABC 中，ZACB=90,CD丄AB 于 D,AD=4,BD=2,则 CD= ,AC= 9. AABC , ZACB=90, CD 是高，AC=3, BCM,贝ij CD= , AD= ,BD= o10. AABC , AB=AC=10, ZA=36, BD 是角平分线交 AC 于 D,贝J CD= 11. 等边三角形的边长为a,则它的内接正方形的边长为 o12. AABC 中，DE//BC, DE 交 AB, AC 于 D, E, AD : DB=5 : 4,贝ij S 悌形Bced : SAADE= 13. 两个相似多边形面积比是1 ： 3,则周长比是 o14. 两个相似多边形的面积比为25 : 9,其中一个多边形的周长为45,则另一个多边形的周长为15. 如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm,它们的周长差为60cm,那么这两个多 边形的周长分别为 。

二）选择题：1. 在AABC中，DE//BC交AB于D, AC于E,若四边形DECB的面枳为△ ADE面积的3倍， 贝［J DE : BC=（）A、1 : 3； B、1 : 9； C、3 ： 1； D、1 : 22. 一个直角三角形两条直角边之比是1 ： 2,则它们在斜边上射影的比是（）A、1 ：血；B、1 ：历；C、1 ： 4； D、1 ： 53. AABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F,则下列式子中错误的是（）A、ad2=bd dc； b、cd2=cf ca； c、de2=ae eb； d、ad2=af ac4. AABC中，D, E, F分别在AB, BC, AC ,四边形ADEF是菱形，AB=a, AC=b,则菱形 ADEF的边长是（）a + b a b abA、血、；B、； C、3心；D、。