《圆的切线》ppt课件.ppt

圆的切线圆的切线第一课时第一课时.Ol特点：特点：.O叫做直线和圆叫做直线和圆相离相离直线和圆没有公共点，直线和圆没有公共点，l特点：特点： 直线和圆有唯一的公共点，直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切这时的直线叫这时的直线叫切线切线，， 唯一的公共点叫唯一的公共点叫切点切点.Ol特点：特点： 直线和圆有两个公共点，直线和圆有两个公共点，叫直线和圆叫直线和圆相交相交，，这时的直线叫做圆的这时的直线叫做圆的割线割线直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一、用公共点的个数来区分一、用公共点的个数来区分.A.A.B切点切点．Ｏ．Ｏl┐dr．ｏ．ｏl2、直线和圆相切、直线和圆相切┐d rd = r．．Ol3、直线和圆相交、直线和圆相交d < rd┐r二、用圆心二、用圆心o到直线到直线l的距离的距离d与圆的半与圆的半径径r的关系来区分的关系来区分1、直线和圆相离、直线和圆相离d > r 观察与思考观察与思考问题问题1：：下雨天，转动的雨伞上的水滴是下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向顺着伞的什么方向飞出去飞出去的的?问题问题2：：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的什么方向飞出去的?切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线径的直线是圆的切线. .aAO OaAO如图：判断下列图形中的直如图：判断下列图形中的直 线线a是否是圆的切线是否是圆的切线一般情况下，要证明一条直线为圆一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端是已知给出的切线，它过半径外端是已知给出时，只需证明该直线垂直于半径时，只需证明该直线垂直于半径. ..OlA切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端点且垂直于经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的这条半径的直线是圆的切线切线. 知识归纳知识归纳条件：条件：(1)经过圆上的一点；经过圆上的一点；(2)垂直于该点半径；垂直于该点半径；你知道如何画圆的切线吗？你知道如何画圆的切线吗？ 如果直线如果直线l是是⊙ ⊙O的切线，点的切线，点A为切为切点，那么半径点，那么半径OA与与l垂直吗？垂直吗？ 知识探究知识探究思考：思考：●OAl.OlA切线的性质定理切线的性质定理推理格式推理格式 ∵∵直线直线l是是⊙ ⊙ O 的切线的切线∴∴ OA⊥⊥l 知识归纳知识归纳圆的切线圆的切线垂直于垂直于经过切点的经过切点的半径半径. 你能证明这个定理吗？你能证明这个定理吗？OABC直线直线AB经过圆经过圆O上的上的C，并且，并且OA=OBAC=BC.求证：直线求证：直线AB是圆是圆O 的切线的切线证明一条直线是圆的切线时证明一条直线是圆的切线时:直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直.解：解：直线直线AC与与⊙ ⊙O相切相切.理由理由如下：如下：例例1 已知：如图已知：如图22-6，，AB为为⊙ ⊙O的直径，的直径，AB=1cm，，BC= cm，，AC=1cm.判断直线判断直线AC与与⊙ ⊙O是否相切，并说明理由是否相切，并说明理由.∵∵AB=1，，BC= ，，AC=1，，∴∴AB2+AC2=BC2.∴△∴△ABC为直角三角形，为直角三角形，∠∠BAC=900.∵∵AB为为⊙ ⊙O的直径的直径，，∴∴直线直线AC经过经过⊙ ⊙O半径的外端半径的外端A.∴∴直线直线AC与与⊙ ⊙O相切，相切，A为切点为切点.方法归纳：方法归纳：证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：（（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称简称“作半径，证垂直作半径，证垂直”.(2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称简称“作垂直，证半径作垂直，证半径”.如图如图AB是是⊙ ⊙O的切线，点的切线，点A是是⊙ ⊙O上的一点则上的一点则 AB ___ OA. AlO切线的性质：切线的性质： 圆的切线垂直于经圆的切线垂直于经过切点的半径过切点的半径.⊥ ⊥如果如果l是是 ⊙ ⊙O 的切线的切线，，A 为切点，那么为切点，那么AM⊥⊥OA.你能说明理由吗？你能说明理由吗？AlOM反证法：假设反证法：假设l与与OA不垂直不垂直则过点则过点O作作OM⊥⊥l，垂足为，垂足为M根据垂线段最短的性质，根据垂线段最短的性质， 得得OM＜＜OA，，即圆心即圆心O到直线到直线l的距离的距离d＜＜R∴∴直线直线l 与与⊙ ⊙O 相交相交这与已知这与已知“l是是 ⊙ ⊙O 的切线的切线”矛盾矛盾∴∴假设不成立，即假设不成立，即OA⊥⊥l例例2 如如图图所所示示，，AB是是⊙ ⊙O的的弦弦，，AC切切⊙ ⊙于于点点A，，且且∠∠BAC=54°，求，求∠∠OBA的度数的度数.解：解： 连接连接OA∵∵ AB是是⊙ ⊙O的弦的弦∴∴ OA⊥⊥AC即即∠∠OAC=90°∴∴∠∠OAB=90°－－∠∠CAB=46°又又∵∵OA=OB∴∠OBA=∠OAB=46°1、判断题、判断题：：×(1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线切线 (2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线切线 ×2.如图，如图，AB是是⊙ ⊙O的直径，的直径，∠∠B＝＝45°，，AC＝＝AB，， AC是是⊙ ⊙O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？ 解：解：AC是是⊙⊙O的切线的切线 。

理由如下：理由如下：又又∵∠∵∠BAC＋＋∠∠B＋＋∠∠C ＝＝ 180°∵∵ AC＝＝AB ，， ∠∠B＝＝45°( (已知已知) ) ∴∴ AC⊥⊥AB∴∴AC是是⊙ ⊙O的切线的切线∴∠∴∠C＝＝∠∠B＝＝45°(等边对等角等边对等角) ∴∠∴∠ BAC ＝＝ 180°-∠∠B-∠∠C＝＝90°O●ABC3. .PA、、PB是是⊙ ⊙O的切线，的切线，切点分别为切点分别为A、、B，，C是是⊙ ⊙O上一点，若上一点，若∠∠APB=40°，，求求∠∠ACB的度数的度数. 练习练习：：1、如何判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线；(d=r)A 、经过圆上的一点；、经过圆上的一点； B、、 垂直于半径；垂直于半径；2、圆的切线有什么性质？、圆的切线有什么性质？圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.第二课时第二课时1. .理解切线长的概念，掌握切线长定理．理解切线长的概念，掌握切线长定理．2. .学会运用切线长定理解有关问题．学会运用切线长定理解有关问题．3. .通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习 惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数 形结合的思想．形结合的思想．BA1. .如何过如何过⊙⊙O外一点外一点P画出画出⊙⊙O的切线？的切线？ 2. .这样的切线能画出几条？这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是是⊙⊙O的切线的切线. .OP OABP如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？.思考：已画出切线思考：已画出切线PA, ,PB，，A, ,B为切点，则为切点，则∠∠OAP= =90°°, ,连接连接OP，可知，可知A, ,B 除了在除了在⊙⊙O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上? ?做一做做一做O ·PABO     议一议议一议如图如图 ，，PA，，PB 是是 ⊙ ⊙O 的两条切线，的两条切线，A，，B 是切点是切点．．（（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？对称轴是什么？（（2）在这个图中你能发现相等的线段吗？说说）在这个图中你能发现相等的线段吗？说说你的理由．你的理由．PABo过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长. .·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1. .切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2. .切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量外一点和切点，可以度量. .OPAB比一比：比一比：切线与切线长切线与切线长 OABP12思考：已知思考：已知⊙⊙O切线切线PA，，PB，，A，，B为切点，把圆沿着为切点，把圆沿着直线直线OP对折，你能发现什么对折，你能发现什么? ?折一折折一折请证明你所发现的结论请证明你所发现的结论. .APOBPA= =PB∠∠OPA=∠=∠OPB证明：证明：∵∵PA，，PB与与⊙⊙O相切，点相切，点A，，B是切点，是切点，∴∴OA⊥⊥PA，，OB⊥⊥PB. .即即∠∠OAP=∠=∠OBP= =90°°，，∵ ∵ OA= =OB，，OP= =OP，，∴∴Rt△△AOP≌≌Rt△△BOP( (HL) )∴ ∴ PA = = PB，， ∠ ∠OPA=∠=∠OPB. .切线长定理切线长定理∵∵PA，，PB分别切分别切⊙⊙O于于A，，B，，∴∴PA= =PB, ,OP平分平分∠∠APB. .过圆外一点所画的圆的两条切线长相等过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. . 几何语言几何语言: :OPAB反思：反思：切线长定理为证明线段切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法相等、角相等提供新的方法PA =PB∠∠OPA=∠∠OPBAPOB若连接两切点若连接两切点A，，B，，AB交交OP于点于点M. .你又能得出你又能得出什么新的结论什么新的结论? ?并给出证并给出证明明. . OP垂直平分垂直平分ABM证明：证明：∵∵PA，，PB是是⊙⊙O的切线的切线，，点点A，，B是切点是切点，，∴∴PA= =PB，，∠∠OPA=∠=∠OPB. .∴△∴△PAB是等腰三角形，是等腰三角形，PM为顶角的平分线为顶角的平分线. .∴∴OP垂直平分垂直平分AB. .探一探探一探.PBAO（（3）连接圆心和圆外一点）连接圆心和圆外一点（（2）连接两切点）连接两切点（（1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点反思：反思：在解决有关圆的在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形. .探究：探究：PA，，PB是是⊙⊙O的两条切线，的两条切线，A，，B为切点，直为切点，直线线OP交交⊙⊙O于点于点D，，E，交，交AB于点于点C. .BAPOCE（（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OA⊥⊥PA OB⊥⊥PB AB⊥⊥OP（（2）写出图中与）写出图中与∠∠OAC相等的角相等的角∠∠OAC= =∠∠OBC= =∠∠APC= =∠∠BPCD△△AOP≌△≌△BOP，，△△AOC≌△≌△BOC，，△△ACP≌△≌△BCP（（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形△△ABP，，△△AOB（（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形BAPOCED三角形内切圆三角形内切圆．．O内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三角形三个内角平分线的交三个内角平分线的交点点内切圆的半径：内切圆的半径：交点交点到三角形任意一边的到三角形任意一边的垂直距离垂直距离ABC这个三角形称为这个圆这个三角形称为这个圆的的外切三角形外切三角形.内切圆圆心叫做三角形内切圆圆心叫做三角形的的内心内心.例例3 如图，如图，Rt△△ABC 的两条直角边的两条直角边 AC = 10，，BC = 24，，⊙ ⊙O 是是△△ABC 的内切圆，切点分别为的内切圆，切点分别为D，，E，，F，求，求 ⊙ ⊙O 的半径．的半径．解：连接解：连接 OD，，OE，，OF，，设设 OD = = r．．　　在　　在 Rt△△ABC 中中，，AC = = 10，，BC = = 24, ,　　　　∵∵ ⊙ ⊙O 分别与分别与 AB，，BC，，CA 相切于点相切于点 D，，E，，F，，∴∴ OD⊥⊥AB，，OE⊥⊥BC，，OF⊥⊥AC，，BE = =BD，， AF = =AD，， CE = =CF.又又∵∵ ∠∠C = = 90° ，，∴∴ 四边形四边形OECF 为正方形为正方形. .∴∴EC = = FC = = r. BE = = 24 ––r，，AF = = 10 - - r.∴∴AB = =BD + + AD = = BE + + AF = = 34 - - 2r = = 26. .∴∴ r = = 4, ,即即 ⊙ ⊙O半径为半径为4. .例例4 △△ABC的内切圆的内切圆⊙⊙O与与BC，，CA，，AB分别相切于点分别相切于点D，，E，，F，且，且AB= =9cm，，BC= =14cm，，CA= =13cm，求，求AF，，BD，，CE的长的长. .【【解析解析】】设设AF= =x, ,则则AE= =x∴∴CD= =CE= =AC- -AE= =13- -x，，BD= =BF= =AB- -AF= =9- -x. .由由BD+ +CD= =BC可得可得13- -x+ +9- -x= =14，，解得解得x= =4. .∴∴ AF= =4 cm, , BD= =5 cm, , CE= =9 cm.如图如图 ，四边形，四边形 ABCD 的四条边都与的四条边都与 ⊙ ⊙O 相切，图中相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．证明：证明：由切线长定理得由切线长定理得AL= =AP，，LB= =MB，，NC= =MC，，DN= =DP, ,∴∴AP+ +MB+ +MC+ +DP= =AL+ +LB+ +NC+ +DN, ,即即AD+ +BC= =AB+ +CD，，补充：圆的外切四边形的两组对边补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．的和相等．NDLMABCOP1. .如图，如图，PA, ,PB是是⊙ ⊙O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A, ,B，如果，如果∠∠P＝＝60°°, ,那么那么∠∠PAB等于（等于（ ）） A. .60°° B. .90°°C. .120°° D. .150°°A2. . PA，，PB是是⊙ ⊙O的两条切线，的两条切线，A，，B为切点，直线为切点，直线OP交交⊙ ⊙O于点于点D，，E，交，交AB于点于点C.如果如果PA= =4cm, ,PD= =2cm, ,求半径求半径OA的长的长. .【【解析解析】】设设OA= =xcm；；在在Rt△△OAP中，中，OA= =xcm，，OP= =OD+ +PD= =（（x+ +2））cm，，PA= =4cm, ,由勾股定理，得由勾股定理，得PA2+ +OA2= =OP2，，即即42+ +x2=(=(x+ +2) )2, ,整理，得整理，得x= =3. .所以，半径所以，半径OA的长为的长为3cm. .通过本课时的学习，我们学会了？通过本课时的学习，我们学会了？。