高等数学全册教案教学设计.doc

《高等数学》电子教案完整版1. 1 函数的概念教学目标：（1）掌握函数的概念，分段函数的概念.会求解函数的定义域以及值域；（2）领会函数的两个要素，掌握判断两个函数是否相同的方法；（3）了解显函数与隐函数.教学重点： 函数的概念，函数的定义域，分段函数的概念.教学难点： 如何求解函数的定义域.授课时数： 2课时.教学过程过程备注1.1.1函数的概念：观察现实世界中存在着各种各样不停地变化着的量, 它们之间相互依赖、相互联系.比如，速度与时间的关系，存款的收益与时间，存款的收益与利率，三角形的面积与其高和底的关系等.我们使用函数来抽象出各个变量之间的依赖关系.函数既是微积分研究的基本对象, 也是高等数学中最重要的概念之一.导入教学内容10′新知识函数的定义：设某一变化过程有两个变量和，和是给定的两个数集，如果对任一，按照一定对应法则，在中都有唯一确定的与之对应，则称是的函数，记作其中，称为自变量，称为因变量，为定义域，为值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的.因此，定义域和对应法则是决定函数的两个重要因素.两个函数只有在它们的定义域和对应法则都相同时，才被认为是相同的函数.教师讲授18′知识巩固例 下列各对函数是否相同？为什么？，;，;，.解 (1)因为定义域不同,故不是同一函数;(2)因为对应法则不同,故不是同一函数;(3)相同函数.教师讲授25′练习下列各对函数是否相同？为什么？，;，.解 (1)因为定义域不同,故不是同一函数;(2)相同函数.学生课上完成，教师讲评30′观察有些变化过程我们无法使用单一的表达式来表述.比如物体在某一个时间点改变了加速度，那么如何表述该过程呢？导入教学内容35′新知识为了描述函数在不同的标量取值时有不同的关系，我们引入了分段函数的概念.分段函数就是对于自变量不同的取值范围，用不同的分析式进行分段的表示的函数.教师讲授40′知识巩固例 绘制出绝对值函数的图像：分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.如，绝对值函数的定义域为.教师引领完成45′1.1.2 函数的定义域观察在不同函数的表达式中，自变量的一些取值会使得函数表达式没有意义，因此，对于自变量的取值范围进行一些限制是非常有必要的.导入教学内容50′新知识函数的定义域是指函数的自变量所有可能取到的值的集合，在没有特殊说明的情况下，函数的定义域一般是由其表达式的限制所确定，比如说分母不能够等于0，二次根号下的值不能够小于零等.对于分段函数来说，其定义域就是各段自变量取值集合的并集.我们有如下的常见的函数定义域的求法：常见函数定义域的求法函数定义域、教师讲授60′知识巩固例 确定下列函数的定义域.(1); (2);(3);(4).解 (1) ; (2) ;(3) ; (4) .教师讲授70′知识巩固练习 确定下列函数的定义域.(1); (2).解 (1);(2).学生完成80′1.1.3显函数与隐函数观察自变量与因变量已经明显分离的函数称为“显函数”.如果函数的变量没有明显分离或无法分离，也即这种函数的函数关系“隐藏”在方程之中的函数称为“隐函数”.教师讲授83′新知识显函数与隐函数的表示形式如下：显函数：隐函数：例如称为显函数,称为隐函数.教师讲授88′小结概念 函数的概念函数的定义域显函数与隐函数教师总结90′作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题一对应内容.1.2 函数的几种特性教学目标：（1）掌握判断函数奇偶性的方法；（2）了解函数有界性的概念；（3）掌握判断函数单调性的方法；（4）会求解简单的周期函数的周期.教学重点：函数的奇偶性，单调性的求解方法.教学难点：判断函数的奇偶性.授课时数： 2课时教学过程过程备注1.2.1函数的有界性观察函数的有界性是主要是用来揭示函数的变化范围，我们遇到的很多函数的变化范围始终是介于某个最大值和最小值之间，比如这样的函数我们称其是有界的.教师草绘图像，引导学生观察5′新知识函数的有界性有如下定义：对于定义在定义域内的函数，如果存在一个正数，使得对于定义域内的所有，都有成立，则称在定义域内有界.如果不存在这样的，则称在定义域内无界.教师结合草绘的图像讲解10′知识巩固常见的有界函数：注意1. 的取值不是唯一的2. 有界性是依赖于区间的教师引领完成并总结15′1.2.2函数的奇偶性概念：观察在我们的之前的学习中，我们可以发现有些比较特殊的函数，比如,等等.这些函数关于轴或者坐标原点有一些对称关系，我们称关于轴对称的函数为偶函数，关于坐标原点对称的函数为奇函数，本节我们就将来介绍函数的奇偶性.教师草绘图像并讲解20′新知识设函数定义在以原点为中心的对称区间内，如果对于任意，都有=成立，则称是奇函数，如；如果对于任意，都有=成立，则称是偶函数，如.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称.注意：l 奇+奇=奇; 2.偶+偶=偶; 3.奇+偶=非; l 奇*奇=偶; 5.偶*偶=偶; 6.奇*偶=奇;l 奇复奇=奇; 8.偶复偶=偶; 9.奇复偶=偶;l 奇函数的导数=偶函数; 11.偶函数的导数=奇函数.教师讲授40′知识巩固例 讨论的奇偶性解 为奇函数， 为偶函数例 试讨论的奇偶性解 ，当为奇数时为奇函数，为偶数时为偶函数.教师引领完成45′例 （1）是奇函数;（2）为非奇非偶函数;（3）是偶函数.例 证明是奇函数证 设,故函数是奇函数学生课上完成,教师讲评60′1.2.3函数的单调性概念：观察我们可以发现，某些变化过程是一直增加或者一直减少的，为了研究这样的变化过程我们引入了函数单调性的概念，接下来我们介绍函数的单调性.教师讲授62′新知识设函数定义在区间内，,若时有,则称在内单调递增，图像上升；若时有,则称在内单调递减，图像下降.教师讲授65′知识巩固用定义法证明在内单调递增.证：设且则 , 即在内单调递增.注意：1.在整个区间上单调递增或单调递减的函数称为单调函数；2.判断函数单调性的方法通常有图像法、定义法、判定定理法.教师引导学生完成并讲解70’1.2.4函数的周期性概念：观察观察，，以及的图像我们可以发现，他们的图像每经过一个固定的周期就重复一次,这样的周期变化的现象在现实生活中也比较多见，比如月亮的阴晴圆缺，太阳的升起落下等等，为了研究这种周期变化的过程，我们引入了周期函数的概念.教师讲授73′新知识对于函数，如果存在一个非零常数,对于定义域内的所有,都有,则称为周期函数，使等式成立的最小正数称为函数的周期.1.，；2.，；3.若、的周期均为，则的周期也为；4.若、的周期分别为、，则的周期为和的最小公倍数.教师讲授80′知识巩固例. (1)， 解 ；(2) ， 解 .教师引导学生完成并总结82′练习例 求以下函数的周期：（1）; （2）.解 （1）; （2）. 学生课上完成，教师讲解并总结85′小结教师总结90′作业 1. 梳理本节知识内容;2. 完成练习题一对应内容.1.3 反函数与基本初等函数教学目标：（1）理解反函数的概念，掌握常见的反三角函数及其定义域与值域，会求解简单的函数的反函数；（2）掌握基本初等函数及其性质；（3）掌握函数的复合运算的方法.教学重点：（1）求解简单的反函数；（2）掌握常见的反三角函数及其定义域与值域；（3）掌握基本初等函数的性质.教学难点：（1）求解简单的反函数，基本初等函数的性质.授课时数： 2课时教学过程过程备注1.3.1反函数观察经过前面的学习，我们知道，函数就是揭示自变量和因变量之间关系的表达式，我们已经掌握了由自变量求因变量的方法，那么如何根据因变量来求自变量呢？这就是我们这一节需要学习的内容，反函数.教师导入新知识3′新知识设函数的定义域是,值域是,如果对于任意一个，都有唯一的使得成立,这时也是的函数,称它为的反函数,记作,而称为直接函数.习惯上常用表示自变量,表示因变量,因此,经常把反函数写成.1.反函数的定义域是直接函数的值域,反函数的值域是直接函数的定义域；2.单调函数必存在反函数；3.函数与其反函数是互为反函数的关系，且图像关于直线 对称.4. 求反函数的步骤：①解出 ②互换、 ③写出定义域教师讲授15′知识巩固例 求函数的反函数.解 由解得,互换和,得函数的反函数为.教师引导完成20′1.3.2反三角函数观察在高等数学的三角函数中，我们是通过角度值来求对应的三角函数值，但是如何通过三角函数值来求对应的角度值呢？这就用到了反三角函数，反三角函数是高等数学中最常见，最常用到的反函数.教师讲授23′新知识l 正弦函数在区间上的反函数称为反正弦函数,记作.定义域为,值域为,为奇函数.l 余弦函数在区间上的反函数称为反余弦函数,记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.l 正切函数在区间上的反函数称为反正切函数, 记作.定义域为,值域为,为奇函数.l 余切函数在区间上的反函数称为反余切函数, 记作.定义域为,值域为,为非奇非偶函数.名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数符号定义域值域(主值区间)有界性有界有界有界有界单调性单调递增单调递减单调递增单调递减奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数教师讲授并总结45′知识巩固例 求下列反三角函数的值.（1）;（2）;（3）；（4）.解 （1）因为，且，所以；（2） 因为，且，所以；（3） 因为，且，所以;（4） 因为，且，所以.教师引导学生完成50′练习求下列反三角函数的值.（1）；（2）.解 （1）因为=，且，所以；（2）因为，且，所以.学生课堂完成，教师讲解55′1.3.3基本初等函数观察回顾之前学到的一些函数，我们可以发现，一些较复杂的函数都是由一些较为基本的，较为简单的函数经过四则运算或者复合运算得到的，我们将这些基本的，简单的函数称为基本初等函数，接下来我们详细介绍高等数学里面的基本初等函数.教师讲授57′新知识所谓基本初等函数就是指如下函数：常数函数：(为常数)；幂函数：；指数函数：；对数函数：；三角函数：；反三角函数：.教。