水文统计基本原理与方法.ppt课件
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水文统计基本原理与方法水文统计基本原理与方法 § §3-1 3-1 3-1 3-1 水文统计基本概念水文统计基本概念水文统计基本概念水文统计基本概念 § §3-2 3-2 3-2 3-2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差 § §3-3 3-3 3-3 3-3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 § §3-4 3-4 3-4 3-4 水文频率计算方法水文频率计算方法水文频率计算方法水文频率计算方法 § §3-5 3-5 3-5 3-5 相关分析相关分析相关分析相关分析Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics Chapter 3 Basic Principles and Methods of Hydrological Statistics §3-1 §3-1 水文统计基本概念水文统计基本概念 3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 水文统计水文统计水文统计水文统计 3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 事件与随机变量事件与随机变量事件与随机变量事件与随机变量 3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 总体、个体与样本总体、个体与样本总体、个体与样本总体、个体与样本 3.1.4 3.1.4 3.1.4 3.1.4 概率与频率概率与频率概率与频率概率与频率 3.1.5 3.1.5 3.1.5 3.1.5 随机变量概率分布随机变量概率分布随机变量概率分布随机变量概率分布 3.1.6 3.1.6 3.1.6 3.1.6 累积频率与重现期累积频率与重现期累积频率与重现期累积频率与重现期 3.1.1 3.1.1 水文统计水文统计n水文统计意义：水文统计意义：水文统计意义：水文统计意义：n n水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；水文现象具有必然性、偶然性（随机性）；n n利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的利用概率论和数理统计的理论和方法，研究和分析水文的随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统随机现象（已经观测到的水文现象），找出水文现象的统计规律性；计规律性；计规律性；计规律性；n n以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意以此为基础，对水文现象未来可能的长期变化做出概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。
期间的需要期间的需要期间的需要3.1.2 事件与随机变量 3.1.2 事件与随机变量 ◆ ◆ ◆ ◆ 事件事件事件事件 ( ( ( (EventsEventsEventsEvents) ) ) ) ：是指在一定组合条件下，在：是指在一定组合条件下，在：是指在一定组合条件下，在：是指在一定组合条件下，在实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情实验结果中所有可能出现或可能不出现的事情 必然事件必然事件不可能事件不可能事件随机事件随机事件随机事件：随机事件：随机事件：随机事件：在一定组合条件下，可能发生也可能不在一定组合条件下，可能发生也可能不在一定组合条件下，可能发生也可能不在一定组合条件下，可能发生也可能不发生的事情发生的事情发生的事情发生的事情◆ 随机变量(Random variables) ： ◆ ◆ 随机变量随机变量( (Random variablesRandom variables) ) ：：随机事件的数量化表征随机事件的数量化表征随机变量随机变量离散型离散型连续型连续型相邻两个随机变量之间，不存在中间值相邻两个随机变量之间，不存在中间值相邻两个随机变量之间，不存在中间值相邻两个随机变量之间，不存在中间值随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值随机变量的一个有限区间内可以取得任何数值3.1.3 总体与样本 3.1.3 3.1.3 总体与样本总体与样本 ( (collectivity and collectivity and samplesample) ) : : 总总 体体 有有 限限 无无 限限样样 本本 容量一定容量一定 容量无限容量无限 容容 量量● ● ● ● 水文特征值系列的总体是无限的。
水文特征值系列的总体是无限的水文特征值系列的总体是无限的水文特征值系列的总体是无限的●●●● 样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映样本是总体的一部分，样本的特征在一定程度上反映 出总体的特征出总体的特征出总体的特征出总体的特征概率与频率 3.1.4 概率与频率(Probability and frequency)(1) (1) (1) (1) 概率（机率）概率（机率）概率（机率）概率（机率）: : : :随机事件在客观上可能出现的机会随机事件在客观上可能出现的机会随机事件在客观上可能出现的机会随机事件在客观上可能出现的机会 基本性质：基本性质： 0≤P(A)≤1 0≤P(A)≤1 (2) (2) 频率：频率：在具体重复试验中，随机事件在具体重复试验中，随机事件A A出现的次数出现的次数与试验总次数之比值与试验总次数之比值概率和频率的关系 (3) (3) 概率与概率与频率频率关系：关系：n频率是经验值，概率是经验值；频率是经验值，概率是经验值；n可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性；率特性；n样本容量越大，结果越准确；样本容量越大，结果越准确；n对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样本系列，推求频率作为概率的近似值。
料组成样本系列，推求频率作为概率的近似值随机变量的概率分布 随机变量与其概率一一对应的关系，称为随随机变量与其概率一一对应的关系，称为随随机变量与其概率一一对应的关系，称为随随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量的概率分布规律，简称概率分布机变量的概率分布规律，简称概率分布机变量的概率分布规律，简称概率分布机变量的概率分布规律，简称概率分布3.1.5 3.1.5 随机变量随机变量概率分布概率分布（（3-3））√ √ 对于连续性随机变量，实际工程更关注对于连续性随机变量，实际工程更关注：：水专业图-工程例 【【【【例题例题例题例题3-13-13-13-1】】】】已知某站已知某站已知某站已知某站62626262年年年年实测年降水量资料（下表）实测年降水量资料（下表）实测年降水量资料（下表）实测年降水量资料（下表） 题的图年雨量年雨量年雨量年雨量 / / / / mmmm组距组距组距组距 △△△△x x=200=200=200=200频数频数频数频数 / / / / 年年年年频率频率频率频率 / / / / % % % %组内平均频率密度组内平均频率密度组内平均频率密度组内平均频率密度△△△△p p/ / / /△△△△x x (10(10(10(10-4-4-4-4) ) ) )组内组内组内组内mmi i累积累积累积累积∑ ∑mmi i组内组内组内组内△△△△p p累积累积累积累积P P2099209920992099～～～～19001900190019001899189918991899～～～～17001700170017001699169916991699～～～～15001500150015001499149914991499～～～～13001300130013001299129912991299～～～～11001100110011001099109910991099～～～～900900900900899899899899～～～～700700700700699699699699～～～～5 5 5 500000000499499499499～～～～3003003003001 1 1 12 2 2 23 3 3 37 7 7 71313131318181818151515152 2 2 21 1 1 11 1 1 13 3 3 36 6 6 61313131326262626444444445959595961616161626262621.61.61.61.63.23.23.23.24.84.84.84.811.311.311.311.321.021.021.021.029.129.129.129.124.224.224.224.23.23.23.23.21.61.61.61.61.61.61.61.64.84.84.84.89.69.69.69.620.920.920.920.941.941.941.941.971.071.071.071.095.295.295.295.298.498.498.498.4100.0100.0100.0100.00.800.800.800.801.601.601.601.602.402.402.402.405.655.655.655.6510.5010.5010.5010.5014.5514.5514.5514.5512.1012.1012.1012.101.601.601.601.600.800.800.800.80总总总总 计计计计62626262————100.0100.0100.0100.0———————— 将左式进行积分频率密度直方图频率密度直方图f(x) 频率密度曲线频率密度曲线P(X≥xi) 累积频率曲线累积频率曲线累积频率直方图累积频率直方图 （（3-4））水文学中的概率分布 概率密度函数概率密度函数 概率分布函数概率分布函数 水文统计中常用的概率分布水文统计中常用的概率分布水文统计中常用的概率分布水文统计中常用的概率分布 —— 正态分布正态分布正态分布正态分布概率密度函数为：概率密度函数为：概率密度函数为：概率密度函数为： 正态分布密度曲线特征：正态分布密度曲线特征：正态分布密度曲线特征：正态分布密度曲线特征：特点：特点：特点：特点：1 1 1 1）单峰；）单峰；）单峰；）单峰；2 2 2 2）以均值为对称轴；）以均值为对称轴；）以均值为对称轴；）以均值为对称轴；3 3 3 3）曲线两端趋于）曲线两端趋于）曲线两端趋于）曲线两端趋于± ±∞∞∞∞，，，，且以且以且以且以x x x x轴为渐近线。
轴为渐近线轴为渐近线轴为渐近线3.1.6 累积频率与重现期 频率特性3.1.6 3.1.6 累积频率与重现期累积频率与重现期(1)(1) 累积频率（累积频率（累积频率（累积频率（Accumulated frequencyAccumulated frequency）：）：）：）： 等量或超量值的累积频数等量或超量值的累积频数等量或超量值的累积频数等量或超量值的累积频数( ( ( (mm) ) ) )与总观测次数与总观测次数与总观测次数与总观测次数( ( ( (n n) ) ) )之比3-6））有：有：频率频率频率频率 累积频率累积频率累积频率累积频率※※ √ 累积频率特性：累积频率特性：√累计频率分类：累计频率分类：年频率年频率年频率年频率(P)(P)(P)(P)次频率次频率次频率次频率(P(P(P(P’ ’ ) ) ) )重现期？？ （（（（2 2））））重现期重现期重现期重现期（（（（Reoccurrence periodReoccurrence period））））: : 指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现 一次（多少年一遇）。
一次（多少年一遇）一次（多少年一遇）一次（多少年一遇）表示方法※ ※ ※ ※ 重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期重现期则是平均若干年出现一次，而不是固定的周期 √√√√重现期表示方法：重现期表示方法：重现期表示方法：重现期表示方法： ① ① ① ① 实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准实测水文系列由最大值组成时，设计频率标准<50%<50%<50%<50%或：或：或：或：（（3-8））设计频率标准>50% 重现期分类② ② ② ② 实测水文系列由最小值组成时，设计频率标准实测水文系列由最小值组成时，设计频率标准实测水文系列由最小值组成时，设计频率标准实测水文系列由最小值组成时，设计频率标准>50%>50%>50%>50% 或：或：或：或：（（3-8）） 年重现期年重现期年重现期年重现期( ( ( (T T ) ) ) )次重现期次重现期次重现期次重现期( ( ( (T T ’ ’) ) ) )√ √ 重现期分类：重现期分类：重现期分类：重现期分类：设计频率标准 3.1.7 3.1.7 3.1.7 3.1.7 设计频率标准（设计频率标准（设计频率标准（设计频率标准（Design standard of frequencyDesign standard of frequency）））） 以以以以工程的规模工程的规模工程的规模工程的规模、、、、工程的重要性工程的重要性工程的重要性工程的重要性以及以及以及以及工程失事后果工程失事后果工程失事后果工程失事后果作为制定作为制定作为制定作为制定设计标准的依据设计标准的依据设计标准的依据设计标准的依据 。
路桥的工工工工 程程程程 类类类类 别别别别设计标准设计标准设计标准设计标准规范名称及代号规范名称及代号规范名称及代号规范名称及代号地表水取水构筑物设计地表水取水构筑物设计地表水取水构筑物设计地表水取水构筑物设计最高水位重现期最高水位重现期最高水位重现期最高水位重现期 T T100100室外给水设计规范室外给水设计规范室外给水设计规范室外给水设计规范GBJ13-86GBJ13-86GBJ13-86GBJ13-86以地表水为水源的城市以地表水为水源的城市以地表水为水源的城市以地表水为水源的城市设计枯水流量保证率设计枯水流量保证率设计枯水流量保证率设计枯水流量保证率P(%)P(%)90 ~ 9790 ~ 97室外给水设计规范室外给水设计规范室外给水设计规范室外给水设计规范GBJ13-86GBJ13-86GBJ13-86GBJ13-86农业灌溉保证率农业灌溉保证率农业灌溉保证率农业灌溉保证率P(%)P(%)75 ~ 9575 ~ 95水利水电工程水利水利水电工程水利水利水电工程水利水利水电工程水利动能设计规范动能设计规范动能设计规范动能设计规范SDJ11-77SDJ11-77SDJ11-77SDJ11-77设计频率标准示例设计频率标准示例设计频率标准示例设计频率标准示例 总体思路工程类别工程类别工程类别工程类别设计标准设计标准设计标准设计标准规范名称及代号规范名称及代号规范名称及代号规范名称及代号公路桥涵设计公路桥涵设计公路桥涵设计公路桥涵设计洪水频率洪水频率洪水频率洪水频率P(%)P(%)P(%)P(%)高速公路特大桥高速公路特大桥高速公路特大桥高速公路特大桥1/3001/3001/3001/300公路工程技术标准公路工程技术标准公路工程技术标准公路工程技术标准JTJ01-88JTJ01-88JTJ01-88JTJ01-88二级一般公路二级一般公路二级一般公路二级一般公路大、中桥大、中桥大、中桥大、中桥1/1001/1001/1001/100铁路桥涵设计铁路桥涵设计铁路桥涵设计铁路桥涵设计洪水频率洪水频率洪水频率洪水频率P(%)P(%)P(%)P(%)I I、、、、IIII级铁路桥梁级铁路桥梁级铁路桥梁级铁路桥梁1 1 1 1铁路桥涵设计规范铁路桥涵设计规范铁路桥涵设计规范铁路桥涵设计规范TBJ02-85TBJ02-85TBJ02-85TBJ02-85I I I I、、、、IIIIIIII级铁路涵洞级铁路涵洞级铁路涵洞级铁路涵洞2 2 2 2水电站设计保证率水电站设计保证率水电站设计保证率水电站设计保证率( ( ( (电力系统中电力系统中电力系统中电力系统中水电容量比重水电容量比重水电容量比重水电容量比重<25%)P(%)<25%)P(%)<25%)P(%)<25%)P(%)80808080～～～～90909090水利水电工程动能设水利水电工程动能设水利水电工程动能设水利水电工程动能设计规范计规范计规范计规范DL/T5015-1996DL/T5015-1996DL/T5015-1996DL/T5015-1996雨水管渠设计雨水管渠设计雨水管渠设计雨水管渠设计重现期重现期重现期重现期T(aT(aT(aT(a) ) ) )一般地区，干道一般地区，干道一般地区，干道一般地区，干道0.50.50.50.5～～～～3 3 3 3室外排水设计规范室外排水设计规范室外排水设计规范室外排水设计规范GBJ14-87GBJ14-87GBJ14-87GBJ14-87重要地区，干道重要地区，干道重要地区，干道重要地区，干道2 2 2 2～～～～5 5 5 5 ◆ ◆ ◆ ◆ 本节本节本节本节水文频率水文频率水文频率水文频率计算的基本思路：计算的基本思路：计算的基本思路：计算的基本思路：实测水文系列资料为样本实测水文系列资料为样本实测水文系列资料为样本实测水文系列资料为样本分析不同测值出现频率分析不同测值出现频率分析不同测值出现频率分析不同测值出现频率( ( ( (且考虑抽样误差且考虑抽样误差且考虑抽样误差且考虑抽样误差) ) ) )总体规律性总体规律性总体规律性总体规律性预测水文情势，确定合理设计值预测水文情势，确定合理设计值预测水文情势，确定合理设计值预测水文情势，确定合理设计值Hydrological Statistics资料要求 X X（（（（mmmm））））f fi i（（（（a a））））△△△△P=f P=f i i / n / n(%)(%)△△△△P/P/△△△△X X（（（（%%））））mm（（（（a a））））P=P=mm/n/n(%)(%)△△△△X = 4X = 4X = 4X = 4组内频数组内频数组内频数组内频数组内频率组内频率组内频率组内频率组内平均频率组内平均频率组内平均频率组内平均频率累积频数累积频数累积频数累积频数累积频率累积频率累积频率累积频率（一）（一）（一）（一）（二）（二）（二）（二）（三）（三）（三）（三）（四）（四）（四）（四）（五）（五）（五）（五）（六）（六）（六）（六）780780780780～～～～776776776776776776776776～～～～772772772772772772772772～～～～768768768768768768768768～～～～764764764764764764764764～～～～760760760760760760760760～～～～7567567567562 27 711115 53 32 26.676.6723.3323.3336.6736.6716.6716.6710.0010.006.676.671.671.671.671.675.835.835.835.839.179.179.179.174.174.174.174.172.52.52.52.51.671.671.671.672 29 920202525282830306.676.6729.9929.9966.6666.6683.3383.3393.3393.33100.00100.00【【【【例题例题例题例题3-13-13-13-1】】】】已知湘江某站已知湘江某站已知湘江某站已知湘江某站1947-19761947-19761947-19761947-1976年实测年降水年实测年降水年实测年降水年实测年降水量资料（见下表）。
量资料（见下表）量资料（见下表）量资料（见下表） §3-2 统计参数与抽样误差 § §3-2 3-2 3-2 3-2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差 （（（（Statistical parameters & Statistical parameters & Sampling errorSampling error ））））3.2.1. 3.2.1. 3.2.1. 3.2.1. 统计参数统计参数统计参数统计参数 能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为统计参数统计参数统计参数统计参数，或，或，或，或特征参数特征参数特征参数特征参数，有时称为，有时称为，有时称为，有时称为分布参数分布参数分布参数分布参数特征参数 位置特征参数位置特征参数位置特征参数位置特征参数均值（平均数）均值（平均数）均值（平均数）均值（平均数）众值（众数）众值（众数）众值（众数）众值（众数）中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数）离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数均方差均方差均方差均方差变差系数变差系数变差系数变差系数CvCvCvCv对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数偏态系数偏态系数偏态系数偏态系数CsCsCsCs1.2.3.无偏估计 均值无偏估计量：无偏估计量：无偏估计量：无偏估计量：有偏估计量：有偏估计量：有偏估计量：有偏估计量： ▲ ▲ ▲ ▲ 对于对于对于对于有偏估计有偏估计有偏估计有偏估计量，大量样本平均的结果都不等于总量，大量样本平均的结果都不等于总量，大量样本平均的结果都不等于总量，大量样本平均的结果都不等于总体的相应参数，体的相应参数，体的相应参数，体的相应参数，需要进行修正，需要进行修正，需要进行修正，需要进行修正，以得到对总体的无偏估以得到对总体的无偏估以得到对总体的无偏估以得到对总体的无偏估计值公式。
计值公式计值公式计值公式 (1)(1) 均值（数学期望）均值（数学期望）均值（数学期望）均值（数学期望）◇◇◇◇ 算数平均值算数平均值算数平均值算数平均值◇◇◇◇ 加权平均值加权平均值加权平均值加权平均值1.1.位置特征参数位置特征参数位置特征参数位置特征参数均值图示均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均水平3-11 我国我国多年平均年降水量多年平均年降水量分布图（单位：分布图（单位：mm））Y图 湖北省部分地区湖北省部分地区多年平均年径流深多年平均年径流深等值线图（等值线图（mm））众值 （（2 2）） 众值（众数）众值（众数）众值（众数）众值（众数）概率密度曲线峰值在概率密度曲线峰值在概率密度曲线峰值在概率密度曲线峰值在x x坐标上相应的位置值坐标上相应的位置值坐标上相应的位置值坐标上相应的位置值3 3 3 3））））中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数） 对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为两个相等部分所对应的两个相等部分所对应的两个相等部分所对应的两个相等部分所对应的 x x 值为中值。
即中值是该系列频值为中值即中值是该系列频值为中值即中值是该系列频值为中值即中值是该系列频率率率率 P=50% P=50% P=50% P=50% 时的时的时的时的 x x 值，有值，有值，有值，有 x50%50%. .示意图 均方差 2.2.离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数（（1 1））均方差均方差均方差均方差◇◇◇◇ 描述概率分布离散趋势的特征参数随机变量分布越分散，描述概率分布离散趋势的特征参数随机变量分布越分散，描述概率分布离散趋势的特征参数随机变量分布越分散，描述概率分布离散趋势的特征参数随机变量分布越分散， 均方差越大；分布越集中，均方差越小均方差越大；分布越集中，均方差越小均方差越大；分布越集中，均方差越小均方差越大；分布越集中，均方差越小◇◇◇◇ 限于比较限于比较限于比较限于比较均值相同均值相同均值相同均值相同的系列的系列的系列的系列☆☆☆☆ 总体的总体的总体的总体的☆☆☆☆ 样本的样本的样本的样本的变差系数 n n（（2）变差系数）变差系数Cvn n比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值之比值，用于衡量系列差与均值之比值，用于衡量系列差与均值之比值，用于衡量系列差与均值之比值，用于衡量系列相对离散程度相对离散程度相对离散程度相对离散程度。
n n对于总体对于总体对于总体对于总体 对于样本：对于样本：对于样本：对于样本：n n引入模比系数引入模比系数引入模比系数引入模比系数n n对于总体对于总体对于总体对于总体 对于样本对于样本对于样本对于样本变差系数图 湖北省部分地区年径流量湖北省部分地区年径流量变差系数变差系数CvCv等值线图等值线图Cv的曲线形状影响 CvCvCvCv越大，频率密度曲线矮而宽越大，频率密度曲线矮而宽越大，频率密度曲线矮而宽越大，频率密度曲线矮而宽, , , ,系列数值相对系列数值相对系列数值相对系列数值相对 分布越分散分布越分散分布越分散分布越分散CvCvCvCv越小越小越小越小, , , ,频率密度曲线瘦而高频率密度曲线瘦而高频率密度曲线瘦而高频率密度曲线瘦而高, , , ,系列数值相对系列数值相对系列数值相对系列数值相对 分布越集中。
分布越集中分布越集中分布越集中偏态系数 3. 3. 对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数 偏态系数偏态系数偏态系数偏态系数反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布对称或不对称（偏态）程度的系数称或不对称（偏态）程度的系数称或不对称（偏态）程度的系数称或不对称（偏态）程度的系数3-16））总体：总体：总体：总体：样本：样本：样本：样本：（（3-17））Cs影响形状图 当当当当Cs>0Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏密度曲线峰顶在均值的左边，叫做左偏或正偏当当当当Cs<0Cs<0Cs<0Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏密度曲线峰顶在均值的右边，叫做右偏或负偏当当当当Cs=0Cs=0Cs=0Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布。
密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布密度曲线峰顶在均值处，叫做对称分布或正态分布◇◇◇◇ 水文现象大多属于正偏，水文现象大多属于正偏，水文现象大多属于正偏，水文现象大多属于正偏，Cs>0Cs>0图总结 位置特征参数位置特征参数位置特征参数位置特征参数均值（平均数）均值（平均数）均值（平均数）均值（平均数）众值（众数）众值（众数）众值（众数）众值（众数）中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数）中值（中位数）离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数离散程度特征参数均方差均方差均方差均方差变差系数变差系数变差系数变差系数CvCvCvCv对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数对称程度特征参数偏态系数偏态系数偏态系数偏态系数CsCsCsCs※※※※ 统计参数物理意义；统计参数物理意义；统计参数物理意义；统计参数物理意义； 统计参数对频率密度曲线形状的影响统计参数对频率密度曲线形状的影响统计参数对频率密度曲线形状的影响统计参数对频率密度曲线形状的影响复习：矩的概念 矩矩▲ ▲ 随机变量随机变量 x 对原点离差的对原点离差的 k 次幂的数学期望次幂的数学期望 E(xk)，，称为随机称为随机 变量变量 x 的的 k 阶原点矩。
阶原点矩▲ 随机变量随机变量 x 对中心分布对中心分布 E (x) 离差的离差的 k 次幂的数学期望次幂的数学期望 E {[x – E ( (x) )]k}，，则称为随机变量则称为随机变量 x 的的 k 阶中心矩阶中心矩√ 统计参数：统计参数： 均值均值 称为称为一阶原点矩；一阶原点矩； 变差系数变差系数 Cv 称为称为二阶中心矩；二阶中心矩； 偏态系数偏态系数 Cs 称为称为三阶中心矩；三阶中心矩； 各统计参数的计算公式亦称为各统计参数的计算公式亦称为矩法公式矩法公式3.2.2抽样误差 3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 抽样误差抽样误差抽样误差抽样误差 ( (Sampling errorSampling error) ) 1 1 1 1 抽样误差抽样误差抽样误差抽样误差 2 2 2 2 抽样误差分布抽样误差分布抽样误差分布抽样误差分布 ※※※※ 3 3 3 3 抽样误差计算公式抽样误差计算公式抽样误差计算公式抽样误差计算公式公式 1.1.1.1.抽样误差抽样误差抽样误差抽样误差: : : : 由随机抽样而引起的误差。
由随机抽样而引起的误差由随机抽样而引起的误差由随机抽样而引起的误差误差分布图均方误均方误均方误均方误差差差差[ [ [ [标准误差标准误差标准误差标准误差] ] ] ]以均值为例：以均值为例：以均值为例：以均值为例： （（3-14）） 误差计算公式2.2.2.2.抽样误差分布抽样误差分布抽样误差分布抽样误差分布：服从正态分布：服从正态分布：服从正态分布：服从正态分布 绝对误差：绝对误差：绝对误差：绝对误差：相对误差公式（（3-18））3.3.3.3.抽样误差计算公式抽样误差计算公式抽样误差计算公式抽样误差计算公式————随机变量服从皮尔逊随机变量服从皮尔逊随机变量服从皮尔逊随机变量服从皮尔逊IIIIII型分布型分布型分布型分布 相对误差：相对误差：相对误差：相对误差：Xp误差公式（（3-19）） C Cv vC Cs s1001005050252510101001005050252510101001005050252510100.10.11 11 12 23 37 7101014142222126126 178178 252252 3993990.30.33 34 46 610107 710101515232351517272102102 1621620.50.55 57 7101016168 81111161625254141585882821301300.70.77 71010141422229 91212171727274040565680801261261.01.010101414202032321010141420203232424260608585134134 参数参数误误 差差 n Cv以以以以 Cs Cs = 2= 2CvCv 为例：为例：为例：为例：样本统计参数的标准误差（样本统计参数的标准误差（样本统计参数的标准误差（样本统计参数的标准误差（%%））））Cs 与 Cv 经验关系 Cs Cs 与与与与 Cv Cv 经验关系经验关系经验关系经验关系设计暴雨量设计暴雨量设计暴雨量设计暴雨量 CsCs = 3.5 Cv = 3.5 Cv设计最大流量设计最大流量设计最大流量设计最大流量 Cv < 0.5Cv < 0.5，，，， CsCs = (3~4)Cv = (3~4)Cv Cv >0.5Cv >0.5，，，， CsCs = (2~3)Cv = (2~3)Cv设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量 CsCs = 2Cv = 2Cv√ √ 偏态系数依据上述关系式给定初始值。
偏态系数依据上述关系式给定初始值偏态系数依据上述关系式给定初始值偏态系数依据上述关系式给定初始值 § §3-3 3-3 3-3 3-3 经验（累积）频率曲线和理论频率曲线经验（累积）频率曲线和理论频率曲线经验（累积）频率曲线和理论频率曲线经验（累积）频率曲线和理论频率曲线（（（（Empirical and Empirical and TheoreticalTheoretical curves of curves of cumulative frequencycumulative frequency ））））3.3.1 3.3.1 经验频率及其计算公式经验频率及其计算公式经验频率及其计算公式经验频率及其计算公式 1. 1. 经验经验经验经验( (累积累积累积累积) )频率频率频率频率 累积频率累积频率累积频率累积频率 2. 2. 经验频率计算公式经验频率计算公式经验频率计算公式经验频率计算公式 经验经验经验经验频率频率频率频率计算公式计算公式计算公式计算公式1 1）））） 定义式：定义式：定义式：定义式： P P = = m / nm / n (%) (%) 2 2 2 2）））） 海森公式：海森公式：海森公式：海森公式：3 3 3 3）中值公式：）中值公式：）中值公式：）中值公式：4 4 4 4））））维泊尔（维泊尔（维泊尔（维泊尔（WeibullWeibull）公式：）公式：）公式：）公式：P为大于等于为大于等于xi的经验频率；的经验频率；m为水文变量从大到小排列的序号；为水文变量从大到小排列的序号；n为样本的容量，即观测资料的总项数。
为样本的容量，即观测资料的总项数3.3.2 经验频率曲线 1 1 1 1、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤： ① ① ① ① 据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小 排列，统计排列，统计排列，统计排列，统计m m m m，，，，确定确定确定确定n n n n；；；； ② ② ② ② 计算（查表）计算（查表）计算（查表）计算（查表） P = m/(n+1)P = m/(n+1)P = m/(n+1)P = m/(n+1)（（（（% % % %）；）；）；）； ③ ③ ③ ③ 以实测值以实测值以实测值以实测值x x x x为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，P(%)P(%)P(%)P(%)为横坐标，点绘为横坐标，点绘为横坐标，点绘为横坐标，点绘 ，连线；，连线；，连线；，连线； ④ ④ ④ ④ 若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准[P][P][P][P]，，，，在该在该在该在该 曲线上求出设计值曲线上求出设计值曲线上求出设计值曲线上求出设计值x xp p。
曲线图经验频率计算：经验频率计算：经验频率计算：经验频率计算：a.a.a.a.查表；查表；查表；查表；b.b.b.b.用用用用Excel Excel Excel Excel 计算；计算；计算；计算；c.c.c.c.自编程自编程自编程自编程计算3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 经验频率曲线经验频率曲线经验频率曲线经验频率曲线 1 1 1 1、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤：、曲线绘制步骤： ① ① ① ① 据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小 排列，统计排列，统计排列，统计排列，统计m m m m，，，，确定确定确定确定n n n n；；；； ② ② ② ② 计算（查表）计算（查表）计算（查表）计算（查表） P = m/(n+1)P = m/(n+1)P = m/(n+1)P = m/(n+1)（（（（% % % %）；）；）；）； ③ ③ ③ ③ 以实测值以实测值以实测值以实测值x x x x为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，为纵坐标，P(%)P(%)P(%)P(%)为横坐标，点绘为横坐标，点绘为横坐标，点绘为横坐标，点绘 ，连线；，连线；，连线；，连线； ④ ④ ④ ④ 若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准若资料充分，可据设计频率标准[P][P][P][P]，，，，在该在该在该在该 曲线上求出设计值曲线上求出设计值曲线上求出设计值曲线上求出设计值x xp p。
例题经验频率计算：经验频率计算：经验频率计算：经验频率计算：a.a.a.a.查表；查表；查表；查表；b.b.b.b.用用用用Excel Excel Excel Excel 计算；计算；计算；计算；c.c.c.c.自编程自编程自编程自编程计算3.3.2 3.3.2 3.3.2 3.3.2 经验频率曲线经验频率曲线经验频率曲线经验频率曲线 年份年份年份年份洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量（（（（m3/sm3/s））））年份年份年份年份洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量（（（（m3/sm3/s））））1945194515401540195619561270127019461946980980195719571200120019471947109010901958195817401740194819481050105019591959883883194919491860186019601960126012601950195011401140196119614084081951195198098019621962105010501952195227502750196319631520152019531953762762196419644834831954195423902390196519657947941955195512101210 ◇◇◇◇某水文站年最大流量实测值某水文站年最大流量实测值某水文站年最大流量实测值某水文站年最大流量实测值表整理 频率值计算表 序号序号序号序号洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量 序号序号序号序号洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量1 1 1 127502750275027501212121210901090109010902 2 2 223902390239023901313131310501050105010503 3 3 318601860186018601414141410501050105010504 4 4 41740174017401740151515159809809809805 5 5 51540154015401540161616169809809809806 6 6 61520152015201520171717178838838838837 7 7 71270127012701270181818187947947947948 8 8 81260126012601260191919197627627627629 9 9 912101210121012102020202048348348348310101010120012001200120021212121408408408408111111111140114011401140m 序号序号序号序号(m)(m)洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量（（（（m3/sm3/s））））P=m/(n+1)P=m/(n+1)(%)(%)序号序号序号序号( (mm) )洪峰流量洪峰流量洪峰流量洪峰流量（（（（m3/sm3/s））））P=m/(n+1)P=m/(n+1)(%)(%)1 1275027504.54545454.545454512121090109054.545454554.54545452 2239023909.09090919.090909113131050105059.090909159.09090913 31860186013.636363613.636363614141050105063.636363663.63636364 41740174018.181818218.1818182151598098068.181818268.18181825 51540154022.727272722.7272727161698098072.727272772.72727276 61520152027.272727327.2727273171788388377.272727377.27272737 71270127031.818181831.8181818181879479481.818181881.81818188 81260126036.363636436.3636364191976276286.363636486.36363649 91210121040.909090940.9090909202048348390.909090990.909090910101200120045.454545545.4545455212140840895.454545595.45454551111114011400.50.5 n=21n=21经验频率计算 延长普通坐标普通坐标普通坐标普通坐标 x1% =? x99% =?100%成倒成倒成倒成倒S S形，上下两端变化较大，若求（形，上下两端变化较大，若求（形，上下两端变化较大，若求（形，上下两端变化较大，若求（1%1%、、、、99%99%））））设计水位，要徒手延长频率曲线，增大误差，设计水位，要徒手延长频率曲线，增大误差，设计水位，要徒手延长频率曲线，增大误差，设计水位，要徒手延长频率曲线，增大误差，延长方法延长方法延长方法延长方法 2.2.2.2.经验频率曲线的延长经验频率曲线的延长经验频率曲线的延长经验频率曲线的延长经验频率曲线经验频率曲线延长方法延长方法海森机率格纸海森机率格纸理论频率曲线理论频率曲线 P363机率格纸 纵坐标等分，表示随机变量纵坐标等分，表示随机变量纵坐标等分，表示随机变量纵坐标等分，表示随机变量理论线P364图横坐标中间密，两边疏不均匀分格，横坐标中间密，两边疏不均匀分格，表示频率表示频率将曲线两端的将曲线两端的将曲线两端的将曲线两端的频率的间隔拉频率的间隔拉频率的间隔拉频率的间隔拉大，使曲线平大，使曲线平大，使曲线平大，使曲线平缓，可目估曲缓，可目估曲缓，可目估曲缓，可目估曲线两端变化趋线两端变化趋线两端变化趋线两端变化趋势势势势 运用理论频率曲线对经验频率曲线延长运用理论频率曲线对经验频率曲线延长运用理论频率曲线对经验频率曲线延长运用理论频率曲线对经验频率曲线延长√ √皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊IIIIII型曲线型曲线型曲线型曲线克里茨基克里茨基克里茨基克里茨基- -闽凯里闽凯里闽凯里闽凯里曲线曲线曲线曲线f(xf(x) )频率密度曲线的数学模型：频率密度曲线的数学模型：频率密度曲线的数学模型：频率密度曲线的数学模型：End…… 1 1 1 1 皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊IIIIII型曲线的数学方程式型曲线的数学方程式型曲线的数学方程式型曲线的数学方程式 ※※※※ 2 2 2 2 理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线 3 3 3 3 统计参数对理论频率曲线形状的影响统计参数对理论频率曲线形状的影响统计参数对理论频率曲线形状的影响统计参数对理论频率曲线形状的影响3.3.3 3.3.3 3.3.3 3.3.3 理论（累积）频率曲线理论（累积）频率曲线理论（累积）频率曲线理论（累积）频率曲线 1. 1. 皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊IIIIII型曲线的方程式型曲线的方程式型曲线的方程式型曲线的方程式f (x)表达式特点：曲线单峰，只有一个众数、曲线是一条一端有限、特点：曲线单峰，只有一个众数、曲线是一条一端有限、另一端无限且以横轴为渐近线的不对称曲线。
另一端无限且以横轴为渐近线的不对称曲线 a0 ：：起点到坐标原点的距离起点到坐标原点的距离 （（3-18））皮尔逊III型曲线参数与统计参数的关系： （（3-19））皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊IIIIII型曲线参数与统计参数的关系：型曲线参数与统计参数的关系：型曲线参数与统计参数的关系：型曲线参数与统计参数的关系：于是：于是：于是：于是：2 理论曲线2.理论频率曲线 推公式2.2.2.2.理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线令：令：令：令：（（3-29））称称称称ΦΦ为为为为离均系数离均系数离均系数离均系数 附录得：得：得：得：（（3-30）） √ √ √ √ 对积分变量对积分变量对积分变量对积分变量ΦΦ（（（（离均系数离均系数离均系数离均系数）还原，有：）还原，有：）还原，有：）还原，有：P365P365理论曲线纵横标CsΦΦ 理论频率曲线理论频率曲线纵坐标：纵坐标：纵坐标：纵坐标： 横坐标为理论点横坐标为理论点横坐标为理论点横坐标为理论点P(%)P(%)P(%)P(%)或或或或绘制曲线步骤 绘制理论频率曲线步骤：绘制理论频率曲线步骤：绘制理论频率曲线步骤：绘制理论频率曲线步骤：① ① ① ① 已知已知已知已知CsCsCsCs，查附录，查附录，查附录，查附录B B B B，得，得，得，得 P = 0.01, 0.1, 1,… 99.9%P = 0.01, 0.1, 1,… 99.9% ΦΦp p = … , = … , … , …, … , …… , …, … , … ②②②②已知已知已知已知 、、、、CvCvCvCv值值值值，代入，代入，代入，代入 （或（或（或（或 ））））；；；； ③ ③ ③ ③ 以以以以QpQp ( (或或或或 KpKp ) )为纵坐标，以为纵坐标，以为纵坐标，以为纵坐标，以P(%)P(%)为横坐标，绘出一为横坐标，绘出一为横坐标，绘出一为横坐标，绘出一条与三个统计参数相符的理论曲线；在曲线上求出设计条与三个统计参数相符的理论曲线；在曲线上求出设计条与三个统计参数相符的理论曲线；在曲线上求出设计条与三个统计参数相符的理论曲线；在曲线上求出设计频率对应的设计值。
频率对应的设计值频率对应的设计值频率对应的设计值例题 解：解：解：解： 1 1 1 1）绘制理论频率曲线）绘制理论频率曲线）绘制理论频率曲线）绘制理论频率曲线【【【【例题例题例题例题】】】】 已知某河洪峰流量实测系列均值已知某河洪峰流量实测系列均值已知某河洪峰流量实测系列均值已知某河洪峰流量实测系列均值 偏态系数偏态系数偏态系数偏态系数 ，，，，变差系数变差系数变差系数变差系数 求理论频率曲线和百年一遇的设计洪峰流量值求理论频率曲线和百年一遇的设计洪峰流量值求理论频率曲线和百年一遇的设计洪峰流量值求理论频率曲线和百年一遇的设计洪峰流量值328m3/s 曲线计算表2）） Q1% =？？ 参数对曲线影响0.010.010.10.11 15 5……97979898999999.999.99.079.075.455.456.456.456446446.426.423.853.854.854.854854853.83.82.282.283.283.283283282.012.011.211.212.212.21221221…… ………… …… ……ΦpCvΦpKp=1+CvΦpQp= Kp理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表 P P(%)(%)项目项目项目项目Excell // 反回上页反回上页Cs=2.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 3.3.4 统计参数对频率曲线形状的影响统计参数对频率曲线形状的影响统计参数对频率曲线形状的影响统计参数对频率曲线形状的影响均值：均值：均值：均值：随着随着随着随着均值的增大，均值的增大，均值的增大，均值的增大，概率密度曲概率密度曲概率密度曲概率密度曲线成比例地线成比例地线成比例地线成比例地向右移动，向右移动，向右移动，向右移动，曲线的形状曲线的形状曲线的形状曲线的形状随之发生改随之发生改随之发生改随之发生改变。
变理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线参数Cv 变差系数：变差系数：变差系数：变差系数： CvCvCvCv越大，系列数值离散程度加大，累计频越大，系列数值离散程度加大，累计频越大，系列数值离散程度加大，累计频越大，系列数值离散程度加大，累计频率曲线越陡率曲线越陡率曲线越陡率曲线越陡理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线理论频率曲线参数Cs 偏态系数：偏态系数：偏态系数：偏态系数：当当当当Cs>0Cs>0Cs>0Cs>0，累积频率曲线为向下凹曲线累积频率曲线为向下凹曲线累积频率曲线为向下凹曲线累积频率曲线为向下凹曲线当当当当Cs<0Cs<0Cs<0Cs<0，概率分布曲线为向上凸曲线概率分布曲线为向上凸曲线概率分布曲线为向上凸曲线概率分布曲线为向上凸曲线 当当当当Cs=0Cs=0Cs=0Cs=0，概率分布曲线为一直线概率分布曲线为一直线概率分布曲线为一直线概率分布曲线为一直线 §3-4 水文频率计算方法 频率计算推求频率计算推求 xp参数初估参数初估适线法适线法§3-4 3-4 水文频率计算方法水文频率计算方法( The methods of calculating frequency on hydrology )( The methods of calculating frequency on hydrology )3.4.1. 统计参数初估方法 3.4.1. 3.4.1. 3.4.1. 3.4.1. 统计参数初估方法统计参数初估方法统计参数初估方法统计参数初估方法 1 1 1 1 矩法矩法矩法矩法 2 2 2 2 经验关系法经验关系法经验关系法经验关系法 3 3 3 3 三点法三点法三点法三点法 4 4 4 4 权函数法权函数法权函数法权函数法 5 5 5 5 概率权重矩法概率权重矩法概率权重矩法概率权重矩法矩法 1.1.1.1.矩法矩法矩法矩法 依据实测系列计算三个统计参数：依据实测系列计算三个统计参数：依据实测系列计算三个统计参数：依据实测系列计算三个统计参数： 经验法 2. 2. 2. 2. 经验关系法经验关系法经验关系法经验关系法设计暴雨量设计暴雨量设计暴雨量设计暴雨量 Cs = 3.5 Cs = 3.5 CvCv设计最大流量设计最大流量设计最大流量设计最大流量 Cv < 0.5Cv < 0.5，，，， Cs = (3~4)CvCs = (3~4)Cv Cv >0.5Cv >0.5，，，， Cs = (2~3)CvCs = (2~3)Cv设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量设计年径流量及年降水量 Cs = 2CvCs = 2Cv三点法CsCs初值：初值：初值：初值： 3. 3. 3. 3. 三点法三点法三点法三点法 目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线）目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线）目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线）目估一条与经验频率点据呈最佳的配合线（理论线） 线上选定三点，则有：线上选定三点，则有：线上选定三点，则有：线上选定三点，则有：（（3-22））三点的取法：三点的取法：三点的取法：三点的取法： 1 1 1 1～～～～50505050～～～～99%99%99%99% 或或或或 3 3 3 3～～～～50505050～～～～97%97%97%97% 或或或或 5 5 5 5～～～～50505050～～～～95%95%95%95% 或或或或 10101010～～～～50505050～～～～90% 90% 90% 90% 参数计算公式 （（3-34））（（3-35））（（3-33）） =S 偏度系数偏度系数偏度系数偏度系数S 表 S S0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 90 00 0…………………………………………………… ………… …………0.290.290.3270.3270.10.10.3640.364…………………………………………………… ………… …………0.650.650.6870.6870.20.20.7230.723…………………………………………………… ………… …………1.011.011.0421.0420.30.3…………………………………………1.2171.217………… ………… ………………………………0.40.4……………………………………………………………… ………… ………………………………0.50.5……………………………………………………………… ………… ………………………………0.60.62.1332.133…………………………………………………… ………… ………………………………0.70.72.5292.529…………………………………………………… ………… ………………………………0.80.83.0093.009…………………………………………………… ………… ………………………………0.90.93.7143.714…………………………………………………… ………… ………………………… 附录附录C P-III曲线三点法曲线三点法 S 与与 Cs 关系表关系表P = 5 ~ 50 ~ 95%P368P368求参步骤 √ √ √ √ 三点法估求参数步骤：三点法估求参数步骤：三点法估求参数步骤：三点法估求参数步骤： ① ① 据据(3-35)(3-35)式左端计算得式左端计算得S S值，且已知值，且已知P P1,1,P P2,2,P P3,3,查查 附录附录C,C,求得参数求得参数Cs；； ② ② 据据Cs查附录查附录B,B,得得φφp p1 1、、φφp p2 2，代入，代入(3-33)(3-33)、、 (3-34)(3-34)式式, ,求得求得 。
适线法 3.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 适线法适线法适线法适线法 以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合以经验频率点数据为基础，给它选配一条拟合最佳的频率曲线最佳的频率曲线最佳的频率曲线最佳的频率曲线[ [理论曲线理论曲线理论曲线理论曲线] ]，以此来确定合适的统计，以此来确定合适的统计，以此来确定合适的统计，以此来确定合适的统计参数，将其作为总体参数估计值参数，将其作为总体参数估计值参数，将其作为总体参数估计值参数，将其作为总体参数估计值 1 1 目估适线法目估适线法目估适线法目估适线法 2 2 优化适线法优化适线法优化适线法优化适线法1 1. 1. 1. 1. 目估适线法目估适线法目估适线法目估适线法步骤— 表格绘制经验累积频率点据绘制经验累积频率点据绘制经验累积频率点据绘制经验累积频率点据确定样本统计参数的初值确定样本统计参数的初值确定样本统计参数的初值确定样本统计参数的初值选定线型选定线型选定线型选定线型, , 绘制理论曲线绘制理论曲线绘制理论曲线绘制理论曲线适线，调参适线，调参适线，调参适线，调参推求设计频率对应的设计值推求设计频率对应的设计值推求设计频率对应的设计值推求设计频率对应的设计值 误差计算误差计算误差计算误差计算 √ 实际计算水文频率时，通过制表完成上述的步骤实际计算水文频率时，通过制表完成上述的步骤 。
mm( (序号序号序号序号/ /频数频数频数频数) )X X( (实测值实测值实测值实测值) )KKi i( (KKi i -1) -1)( (KKi i -1) -1)2 2P = m / (n+1)P = m / (n+1)(%) (%) 递递递递减减减减排排排排序序序序合计合计合计合计n n0.000.00经验频率及统计参数计算表经验频率及统计参数计算表理论线 表 项项 P%P%CvCv/ /CsCs 目目目目0.010.010.010.010.10.10.10.1 1 1 1 1 5 5 5 5 10101010 ………… 959595959999999999.999.999.999.91 1XpXp= (1+C= (1+Cv vφ φp p) )2 2XpXp= (1+Cvφp)= (1+Cvφp)3 3XpXp= (1+Cvφp)= (1+Cvφp) 理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表理论频率曲线计算表例题 【【例题例题3.3—目估适线法目估适线法目估适线法目估适线法】】 求：最大洪峰流量求：最大洪峰流量Q1% = ？？ 1%1% = 31114 m3/s = 31114 m3/s （经验法初估参数（经验法初估参数（经验法初估参数（经验法初估参数 ）））） 1%1% = 30450 m3/s = 30450 m3/s （三点法初估参数）（三点法初估参数）（三点法初估参数）（三点法初估参数）计算表题计算表题 P66P66 年份年份年份年份最大流量最大流量最大流量最大流量Q Q(m(m3 3/s)/s)序号序号序号序号mm递递减排序减排序减排序减排序Q Q(m(m3 3/s)/s)模比系数模比系数模比系数模比系数K Ki iK Ki i－－－－1 1( (K Ki i－－－－1)1)2 2(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)19651965980098001 127500275002.4172.4171.4171.4172.00882.00883.7043.7041966196610900109002 223900239002.1012.1011.1011.1011.21191.21197.4077.4071967196715400154003 318600186001.6351.6350.6350.6350.40320.403211.1111.111968196810500105004 417400174001.5291.5290.530.530.28030.280314.8114.811969196918600186005 515400154001.3531.3530.3540.3540.12510.125118.5218.521970197011400114006 615200152001.3361.3360.3360.3360.11290.112922.2222.2219711971980098007 712700127001.1161.1160.1160.1160.01350.013525.9325.931972197227500275008 812600126001.1081.1080.1080.1080.01150.011529.6329.6319731973762076209 912100121001.0631.0630.0640.0640.00400.004033.3333.33197419742390023900101012000120001.0551.0550.0550.0550.00300.003037.0437.04197519751210012100111111400114001.0021.0020.0020.0024.4E-064.4E-0640.7440.74 197619761270012700121210900109000.9580.958-0.04-0.040.00170.001744.4444.44197719771200012000131310500105000.9230.923-0.08-0.080.00590.005948.1548.15197819781740017400141410500105000.9230.923-0.08-0.080.00590.005951.8551.8519791979883088301515980098000.8610.861-0.14-0.140.01920.019255.5655.561980198012600126001616980098000.8610.861-0.14-0.140.01920.019259.2659.2619811981408040801717883088300.7760.776-0.22-0.220.05010.050162.9662.961982198210500105001818850085000.7470.747-0.25-0.250.06390.063966.6766.671983198315200152001919794079400.6980.698-0.3-0.30.09120.091270.3770.3719841984483048302020762076200.6690.669-0.33-0.330.10900.109074.0774.0719851985794079402121677067700.5950.595-0.4-0.40.16390.163977.7877.7819861986677067702222601060100.5280.528-0.47-0.470.22250.222581.4881.4819871987601060102323580058000.5100.510-0.49-0.490.24020.240285.1985.1919881988580058002424510051000.4480.448-0.55-0.550.30430.304388.8988.8919891989850085002525483048300.4240.424-0.58-0.580.33110.331192.5992.5919901990510051002626408040800.3580.358-0.64-0.640.41130.411396.396.3总计总计总计总计295780295780——29578029578026.0026.000.000.006.21456.2145 —— 图图 经验法经验法优化法 §§3-5 3-5 相关分析相关分析 (Analyses of statistical (Analyses of statistical relationship relationship ) )3.5.1 3.5.1 3.5.1 3.5.1 概概概概 述述述述 （（（（1 1 1 1）相关分析）相关分析）相关分析）相关分析 （（（（2 2 2 2）相关分析在水文频率分析中的意义）相关分析在水文频率分析中的意义）相关分析在水文频率分析中的意义）相关分析在水文频率分析中的意义※※※※3.5.2 3.5.2 3.5.2 3.5.2 线性简相关线性简相关线性简相关线性简相关 （（（（1 1 1 1）图解法）图解法）图解法）图解法 （（（（2 2 2 2）相关分析法）相关分析法）相关分析法）相关分析法 （（（（3 3 3 3）相关分析的误差）相关分析的误差）相关分析的误差）相关分析的误差 （（（（4 4 4 4）相关分析中的要点）相关分析中的要点）相关分析中的要点）相关分析中的要点3.5.3 3.5.3 3.5.3 3.5.3 直线回归的扩充直线回归的扩充直线回归的扩充直线回归的扩充 变量或现象之间的关系可依照密切程度划分变量或现象之间的关系可依照密切程度划分完全相关完全相关零相关零相关相关关系相关关系相关分析：研究两个或两个以上随机变量之间的相关关系。
相关分析：研究两个或两个以上随机变量之间的相关关系 复复 相相 关关简简 相相 关关 曲曲线线相相关关直直线线相相关关负负 相相 关关正正 相相 关关相关分析意义 1. 1. 概概概概 述述述述 (2) (2) (2) (2) 相关分析在水文频率分析中的意义相关分析在水文频率分析中的意义相关分析在水文频率分析中的意义相关分析在水文频率分析中的意义※※※※ 相关分析的任务是寻求随机变量之间的统计相关分析的任务是寻求随机变量之间的统计 关系，以延展和插补实测水文系列，提高样本的代关系，以延展和插补实测水文系列，提高样本的代 表性和设计成果的可靠性表性和设计成果的可靠性 例如：流量与例如：流量与降水量降水量 蒸发量与蒸发量与温度温度 ……… 2线性简相关 3.5.2. 线性简相关线性简相关 图解法 相关分析法 图解法 0xy一元回归方程(1) 图解法图解法:y = a x + b当点据分布趋势明显，可采用目估作图的方法绘出一条相关直线，当点据分布趋势明显，可采用目估作图的方法绘出一条相关直线，让该条直线通过点群中间及（让该条直线通过点群中间及（ ）点，在图上量得直线的斜率）点，在图上量得直线的斜率为为b，纵轴上的截距为，纵轴上的截距为a 0xy( x )(2) 相关分析法相关分析法 1）直线回归方程）直线回归方程 （（Linear Regression Equation））a、b表达式 y=ax+b 最小二乘法最小二乘法若点据分布较分散，可采用若点据分布较分散，可采用先关分析法确定相关线的方先关分析法确定相关线的方程，即确定参数程，即确定参数a、、b。
若选择一条最佳配合线，其离差 平方和应最小，这种以利差平方和达到最小的条件来选择参数a、b的方法称为最小二乘法 （（3-29））推倒 a 与γ关系式 （（3-30））a — 回归系数回归系数（回归线的斜率（回归线的斜率 ）） 回归方程式 （3-31）回归线在回归线在回归线在回归线在 y y y y 轴的截距轴的截距轴的截距轴的截距：：：：b =式中：式中： —— 相相 关关 系系 数数 定量表示两种变量之间的密切程度定量表示两种变量之间的密切程度 相关系数将公式（将公式（3-30）、（）、（3-31）代入）代入 y = ax + b，有：，有：（3-32） 0xy( x )(3) 相关分析的误差相关分析的误差相关分析的误差相关分析的误差 ①① 回归方程的误差回归方程的误差 标准误差标准误差[均方误均方误]（（Sy）：）： （（3-33））图示回归方程误差（（3-34））或：或：n-2n-2称为自由度回归线的误差一般服从正态分布称为自由度回归线的误差一般服从正态分布 xyy=ax+b+3Syy=ax+by=ax+b-3SySySy3Sy3Sy68.3%99.7%相关系数误差 （3-35）②② 相关系数的误差相关系数的误差 标准误差标准误差[均方误均方误] （（sr））：：注意要点 ② ② 同期观测资料不能太少，一般要求同期观测资料不能太少，一般要求n n≥≥1212，以减少抽样，以减少抽样 误差和提高成果的可靠性；误差和提高成果的可靠性；③ ③ 要求相关系数要求相关系数 0.8, 且且Sy ＜（＜（10%～～15%）） ；； ④ ④ 回归分析中，长系列为自变量，短系列为倚变量，回归分析中，长系列为自变量，短系列为倚变量，建立建立建立建立 回归方程，插补、延长短系列回归方程，插补、延长短系列回归方程，插补、延长短系列回归方程，插补、延长短系列；；⑤ ⑤ 外延回归线至无实测点控制部分时，要注意考证。
外延回归线至无实测点控制部分时，要注意考证⑥ ⑥ 误差分析误差分析误差分析误差分析4) 相关分析的要点：相关分析的要点：相关分析的要点：相关分析的要点： ① ① 分析论证变量之间在物理成因上确实存在联系；分析论证变量之间在物理成因上确实存在联系； 例题 年年年年 份份份份1946194619471947194819481949194919501950195119511952195219531953195419541955195519561956实测实测年降雨量年降雨量年降雨量年降雨量(mm) (mm) 514.1514.1610610602602564564575575580580750750610610550550612612845845实测实测年径流量年径流量年径流量年径流量(m(m3 3/s) /s) 62.862.867.867.870.370.387.387.3121121插插插插补补年径流量年径流量年径流量年径流量(m(m3 3/s)/s)74.074.065.965.968.768.773.973.963.563.574.274.2年年年年 份份份份1957195719581958195919591960196019611961196219621963196319641964196519651966196619671967年降雨量年降雨量年降雨量年降雨量(mm) (mm) 829.9829.9697697715715667667468468943943648648792792874874705705503503年径流量年径流量年径流量年径流量(m(m3 3/s) /s) 110.2110.284.684.695.295.277.577.558.958.913213210110113113149.849.8插插插插补补年径流量年径流量年径流量年径流量(m(m3 3/s)/s)80.6 80.6 90.590.5【【例题例题】】 某站年降雨量与年径流量相关计算某站年降雨量与年径流量相关计算n=22，， 相关分析内容，公式计算 直线回归扩充 3.5.33.5.3．直线回归的扩充．直线回归的扩充．直线回归的扩充．直线回归的扩充1）幂函数）幂函数一般形式有：一般形式有： y = a·xb 2）指数函数）指数函数一般形式有：一般形式有： y = a·ebx 线性复相关 3.5.4. 3.5.4. 线性复相关线性复相关线性复相关线性复相关 设多元线性回归方程有：设多元线性回归方程有：设多元线性回归方程有：设多元线性回归方程有： 式中式中a0, a1, a2, … am 为为m+1个待定的系数。
个待定的系数 设在设在 t 时刻，有：时刻，有： t =1，，2，，…，，n Y=XA 依据最小二乘法原理，得：依据最小二乘法原理，得： 若若（（XTX））是非奇异矩阵，解向量是非奇异矩阵，解向量A就是唯一的就是唯一的矩阵：矩阵： Y = X A例题矛盾 / 普通意义 序序序序 号号号号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313径流量径流量径流量径流量y y (mm) (mm)1301301471471071072732736767131131221221207207233233197197180180153153284284降雨量降雨量降雨量降雨量x x1 1( (mmmm) )512512578578578578724724450450550550565565543543570570545545544544581581713713饱饱和差和差和差和差x x2 2( mm)( mm)2.432.432.472.473.043.042.002.003.613.612.642.641.921.921.871.871.731.731.851.852.082.082.212.211.841.84 【【例题例题】】 某地区径流量、降雨量和湿度饱和差资料某地区径流量、降雨量和湿度饱和差资料 设：设：(t=1，，2，，…13)Y = X A矩阵：矩阵：XTX =所求回归方程为：所求回归方程为： y = 119.51+0.4x1－－74.45x2 (XT X））= End即为非奇异矩阵即为非奇异矩阵 。
