数学大师启示录 黎曼.doc

数学享有崇高的声誉还有一个原因，是数学为精密的自然科学提供了某种可靠的变量，没有数学，它们是无法做到的 ——爱因斯坦最美妙的对比 作家曹雪芹(约1715—1763)一生只写了一部《红楼梦》，可是这部作品值得用金边把它镶嵌起来这用来形容黎曼的工作同样十分恰当在短促的一生中，黎曼的全部著述合起来只有不厚的一卷，可是他的每一篇论文无不具有深远的革命意义可以这样说，没有黎曼的工作，近代科学思想的伟大革命就不可能实现，除非后来有人创造出黎曼所发明的概念和数学方法可惜在他发明的大树结出硕果以前，他已经与世长辞要是当时的医学达到今天的水平，他至少还能多活二三十年，那么，在科学史上将会用金光闪闪的大字这样写着： “黎曼——19世纪的牛顿、爱因斯坦!” 1826年9月17日，乔治·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼诞生于德国北部汉诺威的伯莱塞兰士村父亲乔治是村里路德新教的牧师，年轻的时候曾经参加过反对拿破仑的战争母亲卡萝廷·爱芭是法庭顾问的女儿他们俩一共生育了6个子女，伯恩哈德排行第二汉诺威当时相当落后，农村里因为缺少牲口，还普遍在用人力拉犁。

偏僻乡村的小牧师的薪金少得可怜要养活偌大的8口之家，不能不显得捉襟见肘，力不从心因此，黎曼家的孩子个个身体瘦弱，营养不良，他们大都过早地离开了人世母亲也在孩子们长大以前结束勤劳的一生但是，物质生活的清苦，没有剥夺黎曼一家生活的温暖和愉快父母亲善良的心地和温和的性格给子女们以良好的影响兄弟姐妹们相亲相爱，其乐融融伯恩哈德一生始终保持着儿时生活的美好回忆，并对故乡怀有深深的思念之情 小黎曼生性十分胆小，羞怯他不敢在公众场合中露面，更害怕在大庭广众中讲话一切熟悉黎曼的朋友都喜爱他腼腆谦逊的性格可是，在科学思想上，他却是出奇地大胆他蔑视一切困难险阻，在科学的领地上纵横驰骋，创造出一个又一个奇迹这实在是在一个人的身上可能有的最最美妙的对比 不久，父亲调到魁克彭工作5岁的小黎曼开始在父亲指导下学习老黎曼是位优秀的教师他娓娓动听的讲解激起孩子强烈的求知欲望小黎曼对历史最感兴趣波兰人民争取独立和自由的历史，深深震撼着孩子幼小的心灵他含着热泪，一遍又一遍地听父亲讲述这些可歌可泣的历史的诗篇 小黎曼在6岁学习算术在兄弟姐妹当中，他的数学天赋一开始就显得异常突出父亲绞尽脑汁出的难题不但难不倒他，反而激起他更大的热情。

很快，他就学父亲的样子，编题目给弟弟妹妹做他的题目构思巧妙，别具一格，甚至把老黎曼也吸引住了没有丰盛的食物，没有漂亮的衣服，一家人围着一张破旧的小圆桌，在数学百花园里追逐游戏，在面红耳赤的争论中享受到最大的乐趣创造的喜悦使小黎曼激动万分等到大家好不容易地越过他设计的第一个“陷阱”，他已经布置好了又一座更加引人人胜的“迷宫”一上l0岁，小黎曼跟从一位名叫肖尔兹的老师学习几何和更高深的算术肖尔兹是当地有名的教师可是他很快发现，自己已经落在学生的后面小黎曼对问题的解答常常比自己的更快更好 读书在当时的汉诺威是属于少数有钱人家的奢侈品黎曼夫妇看到伯恩哈德比其他的孩子聪明得多，决心尽一切力量把他培养成一个有学问的人小黎曼14岁的时候，父亲送他到汉诺威的祖父家中，进了当地的大学预科学校离开温暖可爱的家庭，来到一个陌生的环境，小黎曼感到很不适应他寒伧的穿着和羞涩内向的性格成了富家子弟们取笑的对象他感到孤独即使自己的学习成绩总是在全班名列前茅，也不能使他得到安慰只有在亲人们的生日临近的日子里，他才感到真正的快乐：他可以借这个难得的机会来施展一下自己创造的才能虽然口袋里只有少得可怜的几文钱，小黎曼每次总能够准备出一份使亲人们惊叹不已的礼物。

第二年，在母亲生日的时候，小黎曼设计制作了一张可以永久使用的日历，来祝愿她老人家健康长寿这件精致的、别出心裁的作品产生了预想不到的效果小黎曼的创造天才受到全班一致的公认从此以后，连最调皮的同学都来向他讨好，再也没有人来嘲笑和欺侮他了 两年以后，祖父不幸病逝在汉诺威已经没有别的亲人小黎曼只好转学来到罗尼堡的预科学校在罗尼堡 小黎曼对学校的生活仍旧感到不适应虽然从学校到家要步行好几十里路，不论刮风下雨，小黎曼一有机会就往家里跑母亲担心他这样往返奔走会把身体累垮，不过小黎曼并不在乎家里亲切的气氛温暖着小黎曼孤独的心 在学校里，小黎曼遇到一个重大的考验害怕遭人议论讥笑的怕羞心理，促使他要把自己的工作做得完美无缺，挑不出半点毛病在数学方面他毫无困难可是，在写作上要做到这一点却不是那么容易所以一到写作课，他的精神就紧张起来他每写一句都要反复琢磨，精心推敲，常常写了划掉，划掉了再写等到别的同学都已经交卷，小黎曼还在抱着头，冥思苦想谁见到这种情景，都不由得要为小黎曼捏一把汗其实，这种担心是多余的小黎曼写作的速度虽然慢得使人难受，但是质量却是高超的黎曼的文章，思路开阔，行文简洁，遣字造句，惜墨如金。

粗看起来，他的文字平淡无奇，可是愈看愈耐人寻味经过这段时间的刻苦磨炼，黎曼的写作技巧得到极大的提高他后来的两篇伟大杰作，从内容到形式都达到炉火纯青的地步其中的一篇，甚至连苛求的高斯也不得不承认，它晶莹剔透，完美无缺 这时候，一位热心的希伯来语教师发现了这个天资聪敏、讨人喜欢的少年，特意把他接到自己的家里，和他一起研究希伯来语要从事神职工作就需要精通这种语言小黎曼知道自己说话结巴，羞于见人，而且对传道没有真正的兴趣，可是他仍然准备将来做一名传教士，因为这是父亲的意愿孝顺的小黎曼不愿使父亲难过，而且这也是他帮助父亲把全家从经济困境中挣脱出来的最好途径 当然，黎曼的才能在数学而不在神学，预科学校校长舒莫弗斯比谁都了解这一点他特别允许黎曼可以自由使用他的私人图书馆，并且免修数学有一次，他拿出勒让德所著《数论》让黎曼带回去自学这是一部长达859页的巨著，论证严谨，内容艰深有不少章节，连专家阅读起来也感到难懂6天以后，黎曼还书来了舒莫弗斯大吃一惊他十分清楚，对一般人来说，花上一年半载能把它读完就算不错 “怎么，读完啦?” 黎曼轻轻地点点头，回答说： “谢谢你这真是一部了不起的著作。

校长对学生的回答半信半疑，因为他自己阅读了近半年时间还留下一大堆疑问呢他乘机向这位少年提出自己的问题谁知黎曼对《数论》的内容了如指掌，就像这本书是他自己写的一样! 勒让德的著作使黎曼对素数之谜发生兴趣在《数论》中勒让德提出一个经验公式：任意给出一个正数n，根据这个公式可以近似地求出小于数n的素数有多少个后来，黎曼在柏林科学院1859年的《每月评论》上发表一篇短短8页的论文《论小于已给数的素数的数目》，来进一步改进勒让德的工作他在论文中提出一个著名的“黎曼猜想”，这是今天向纯粹数学提出的挑战，如果不说是最引人注目的挑战，至少也是最引人注目的挑战之一谁要是能证明或者推翻这个假设，不仅可以在数学史上享有不朽的荣誉，而且附带地可以解决素数理论，解决数论和分析中许多极端困难的问题专家们一般都倾向于认为黎曼假设成立1914年英国数学家哈代证明：有无穷多个数满足这个假设不过这还不够无穷多个数还不是所有的数它牵涉到一系列极其棘手的问题，仅仅用初等的方法是无法解决的今天，这个假设吸引了愈来愈多的人们的注意 在罗尼堡，吸引黎曼的大数学家不只是勒让德一个人实际上，他是通过欧拉的著作来熟悉微积分和其他分支的。

这有点使人奇怪，因为从欧拉人手来学习分析，在当时已经显得过时后来的高斯、柯西和阿贝尔等人把分析大大向前推进但是，这样的起步并不影响黎曼成为一位严格的分析学家他的研究工作主要是受深刻的哲学思想的指引而不是追求形式的优美或玩弄公式游戏不过，他的确从欧拉那里学到不少技巧在这方面，欧拉无疑是举世无双的大师 到黎曼从预科学校毕业的时候，事情已经十分清楚：他的才能用来宣传“上帝的真理”派不上什么用场，如果去征服自然，就大有用武之地可惜，优柔寡断的性格妨碍黎曼果断地作出抉择1846年，黎曼考入格丁根大学他选择语言学和神学作为自己献身的专业大学生活 当神职人员的想法时时在黎曼的脑海中盘旋，而格丁根大学丰富多彩的数学讲座更是深深地牵动着他的心斯特恩的方程理论和定积分，高斯的最小二乘法，……它们好像是根无形的丝线拉着黎曼身不由己地朝这些讲座走去同自然界无比神妙的规律相比，关于天国的神话就显得贫乏而且索然无味日子一久，黎曼终于忍不住向父亲说出自己真正的志愿和爱好，恳求父亲同意他改修数学黎曼写一篇论文要字斟句酌，下极大的功夫，他写这封信丝毫不比写论文轻松信发出以后，黎曼感到极度的紧张他担心自己的决定会使父亲难过。

可不是嘛，老黎曼本来指望儿子像自己一样做一名上帝的忠实仆人，而且他多么需要儿子来分担压在自己肩上的家庭负担!但是，慈爱的父亲了解孩子的禀赋，也理解孩子的心情，他完全想像得到，孩子为了这封信曾经作了多么激烈而痛苦的斗争他不愿使儿子失望和难过，更不忍心儿子为家庭而葬送前程他满腔热情地支持孩子的抉择，鼓励他安心学习，不要为家庭的困难操心捧着父亲亲切的回信，就像捧着父亲一颗滚烫的心黎曼的热泪不禁滚滚而下通向数学宫殿的道路打通了!其实岂止黎曼，全世界都将永远感激乔治·黎曼这次难能可贵的支持! 在格丁根学习了一年，黎曼来到柏林柏林大学讲授的内容更加新颖诱人从雅可比那里，他学习力学和高等代数；从狄利克雷那里学习数论和分析；从斯泰纳那里学习近世几何；从比他年长3岁的爱森斯坦那里，他不但学到了椭圆函数，还得到相互切磋，增强了信心在柏林，黎曼和爱森斯坦亲密得几乎形影不离可是在学术上，两人常常争论得面红耳赤对于理论应该怎样发展，黎曼和这位年轻的大师有一个根本的分歧爱森斯坦好像当年的欧拉，坚持形式的优美，而黎曼主张从少数几条最普遍的原理出发，作最少量的计算来建立整个理论黎曼一生坚持这种见解，并且构成他后来研究工作的重要风格。

这时候，黎曼的博士论文《复变函数一般理论的基础》的基本思想已经形成他要从分析而不是从几何来定义复变量的解析函数，并且由此建立起整个复变函数理论德国数学家约翰·本尼狄克·利斯廷(1806—1882)在1847年《格丁根研究》上一篇有关拓扑的论文促成了它的实现拓扑在本书第六章中曾经作过介绍可是，在欧拉以后，这个主题几乎无人问津利斯廷的文章重新燃起人们对它的兴趣黎曼立刻看出，这种方法对于复变函数理论具有根本的重要性创造性地利用拓扑方法来研究复变函数成为黎曼博士论文的一个重要特色不过对黎曼来说，有了基本思想是一回事，要书写成文又是一回事，因为这是一项伟大的工程，从内容到形式他一心要追求尽善尽美的境界 在柏林学习两年，1849年秋天，黎曼回到格丁根对纯粹数学，黎曼固然兴致盎然，不过关于物理定律的工作才是他的主要兴趣通过数学去认识气象万千的物理世界使他心驰神往进行物理探索的需要和它的成果成为黎曼数学研究的重要源。