初二整式方程期末复习.doc

第二十章 代数方程一、整式方程知识与方法：1字母系数在关于x的方程中，其中a、b、c是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c叫做字母系数而这个方程就是含有字母系数的方程例1 解关于x的方程：（1）ax=x+a; (2) 说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论（2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零2一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程例2判断下列哪些方程是一元整式方程：说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式3 一元n次方程一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），这个方程就叫做一元n次方程其中次数大于2的方程统称为一元高次方程例3 关于x的方程是一元几次方程？4二项方程如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程关于x的一元n次二项方程的一般形式为（，，n是正整数）例4解方程：说明：二项方程可变形为：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n为偶数时,如果ab<0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0,那么方程没有实数根。

5 双二次方程一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程关于x的双二次方程的一般形式为例5 解方程：说明：解双二次方程的一般步骤：（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代 解双二次方程时注意理解“换元”的思想方法，体会“降次”的解题策略 通过换元，把双二次方程转化为关于t的一元二次方程 求出t的值后，不要忘记回代，继续求出未知数x的值拓展与提高：1用换元法巧解高次方程对于一个较复杂的方程，如果能根据方程的特征，把其中某些部分看做一个整体，用换元法来求解，有时能取得意想不到的效果例6解下列方程：（1） （2）说明：本题（*）方程左边的展开是利用了公式变形：而得到的，也可以直接利用完全平方公式把（*）方程左边展开，但比较麻烦 本例在考虑换元时，设=y，即x-1=y这种换元法叫做“平均值换元法”如果设x+2=y也可，但迭代换后计算会比较麻烦 想一想 把原方程等号左边第一、四个因式结合起来，第二、三个因式结合起来的目的是什么？ 想一想 对于方程（***）还可令或吗？ 换元未必一定要把含有未知数的项都用其他字母代替，如本例中，经换元后，方程中同时含有字母y和x，此时可把原来的未知数x看作是已知数。

练习：解方程二、可化为一元二次方程的分式方程知识与方法1分式方程如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程叫做分式方程例1 判断下列方程中哪些是分式方程？说明：在判断一个方程是否是分式方程时，一般不需要对方程进行整理，直接根据给出的方程形式进行判断想一想：方程与方程x(x+1)=0有何不同？2 解分式方程的一般步骤（1）在方程的两边同时乘以方程中各分式分母的最简分母，将分式方程化成整式方程；（2）求解整式方程；（3）验根：判断所求得的整式方程的根是不是分式方程的根（即代入最简公分母中看最简公分母的值是否为零）例2解方程： 想一想：分式方程求解最后为什么要验根呢？说明：解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程，化分式方程为整式方程主要通过去分母的方法实现 求解分式方程的过程中，在方程两边同时乘以方程中各分母的最简公分母时可能会 产生增根，解分式方程的最后一定要进行验根3 分式方程的根与增根把求得的整式方程的根代入最简公分母中，判断它的值是否为零使最简公分母的值不为零的根是原方程的根；使最简公分母的值为零的根是增根例3 x=1是下列方程的增根吗？ 想一想：为什么在验根时，只要把整式方程的根代入最简公分母中就可以了？说明：分式方程的曾根应该是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

如果某个未知数的值不是分式方程去分母后的整式方程的根，那么该未知数的值也不是原分式方程的根，也不能算做原分式方程的增根 解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整式进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示4换元法在解分式方程中的运用有些方程，若按常规方法去解，所得到的整式方程比较复杂，不易求解，这是我们可以采用换元法，把原方程化为一个整式方程或一个简单的分式方程例4解方程：说明：本题如果直接去分母的话，将是一个四次方程，比较复杂故采用换元法，避免了出现高次方程的问题，实际上起到了“降次”的作用 由于是分式方程，所以求出来的根要及时进行检验（即检验求出的根是否为0），若求出的y的值就是增根了，就没必要代入方程=y中去求解了拓展与提高1适当变形，巧解分式方程对于一些结构比较复杂的分式方程，如果能进行适当变形，那么解方程将取得事半功倍的效果例4 解下列方程：说明：因为，即可以用或表示，所以对形如“”的部分可使用换元法解想一想：在任何条件下从方程（*）到方程（**）变形（即两边同时取倒数）都能成立吗？ 为什么要考虑”方程组x+4=2x+5=0无解”?说明：观察原方程中每个分式间的变化很有规律，故尝试根据它们的特点，先把方程化得简单点。

对于方程（***）,如果直接去分母，会出现三个因式相乘的情况，观察得到方程每一边的两个分式的分母都相差1，而分子也相同，故采用先通分，在利用比例的性质化简练习：解方程： 解方程： 练习：当k为何值时，方程有增根？练习：若关于x的方程无实数解时，则k的值为（ ） 解关于x的分式方程时产生增根，那么k=（ ）已知方程：（1）；（2）；（3）x（x-）=1（4）其中是分式方程的有（ ）个三、无理方程知识与方法1无理方程、有理方程和代数方程方程中含有根式，且被开方数十含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程例1下列方程是无理方程的是（ ）A ； B C D 说明：同时符合下面两个条件：（1）方程中出现根式；（2）根号内出现未知数，这样的方程才是无理方程2有理方程、代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称为代数方程例2下列代数方程中，既不是无理方程，又不是整式方程的是（ ）说明：说明：不要把（3）看成是整式方程说明：左右两边进行平方，可能将原来不相等的式子变成等式，如，但两边平方后得到，所以利用两边平方的方法把无理方程转化为有理方程时，可能产生增根，因此解无理方程最后验根必不可少。

3求解无理方程求解无理方程的一般步骤：（1） 利用两边平方的方法把无理方程转化为有理方程；（2） 求解有理方程；（3） 检验所得的有理方程的根是否为原无理方程的根；（4） 写结论例3 解方程说明：无理方程中出现两个含有未知数的根式相加，一般要进行两次平方才可把无理方程转化为有理方程，在每次平方前通常把一个根号单独放在等号一边无理方程在验根时，一般要求把有理方程的解代入原方程中检验4 利用换元法求解特殊的无理方程在利用两边平方把无理方程化成有理方程时，可能出现高次方程，利用换元法，往往可以起到降次的目的例4 解方程： 说明：解无理方程时，常把原方程中的一个含有未知数的根式做为整体进行换元，达到化去根号转化为有理方程的目的说明：如果把方程整理为：，然后再两边平方也可以，但得到的是一个四次方程，解方程比较困难拓展与提高1观察方程特征，巧解无理方程通过观察方程的结构特点，进行适当变形，结合换元等方法可巧妙地求解一些无理方程例5 解下列方程练习：（1）如果关于x的无理方程无实数根，那么k的取值范围是（ ） （2）方程（x-1）=0的实数根为（ ） （3）下列方程有实数解得是（ ） A BC D （4）方程的实数根是（ ）（5）此方程 A 有一个实数解 B 有两个解 C 有四个解 D无解（6）解方程: （7）试用两种方法解方程：四 二元二次方程和方程组知识与方法1二元二次方程、二元二次方程组仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。

仅含有两个未知数，个方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组例1 下列方程组中不是二元二次方程组的是（ ） A B C D2二元二次方程的解、二元二次方程组的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解例2 已知和，是二元二次方程的两个解，求d,e的值3二元二次方程组的解法------代入消元法如果一个二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，那么可用“代入消元法”解这个方程组例3 解下列方程组：（1） （2）4二元二次方程组的解法------因式分解法如果二元二次方程组中至少有一个方程可变形为两个一次因式的积等于零的形式，那么可用“因式分解法”解这个方程组例4解方程组：拓展与提高1一些特殊二元二次方程组的特殊解法在解二元二次方程组时，除了要熟练运用常用的代入消元法和因式分解法外，还要注意观察二元二次方程的特征，加以技巧例5解方程组：（1） （2） （3）练习：（1）若，则x=（ ），y=（ ） （2）方程的解中，x，y互为倒数的解是（ ） （3） 下列方程中 ，是二元二次方程的有（ ）个五 列方程（组）解应用题知识与方法1列一元二次方程解应用题例1 2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施。

2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元，预计2003年。