第一节 绝对值不等式A组 基础题组1.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.解析 (1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=-3, x≤2,2x-7,22.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).3.(2018沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若函数f(x)的值域为[2,+∞),求实数a的值;(2)若f(2-a)≥f(2),求实数a的取值范围.解析 (1)∵|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,∴|a-1|=2,解得a=3或a=-1.(2)由f(2-a)≥f(2),得3|a-1|-|a-2|≥1,则a≤1,3(1-a)-(2-a)≥1或12,3(a-1)-(a-2)≥1,解得a≤0或32≤a≤2或a>2,综上,a的取值范围是(-∞,0]∪32,+∞.4.(2018课标全国Ⅲ,23,10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时, f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.解析 本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问题.(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时, f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.B组 提升题组1.已知函数y=f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.解析 (1)f(x)=-x-2a-1,x<-a,3x+2a-1,-a≤x<1,x+2a+1,x≥1如图所示,函数y=f(x)的图象与x轴围成的△ABC,求得A(-2a-1,0),B1-2a3,0,C(-a,-a-1).∴S△ABC=121-2a3-(-2a-1)×|-a-1|=23(a+1)2≥4(a>0),解得a≥6-1.(2)由(1)中图,可知f(x)min=f(-a)=-a-1,对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即(-a-1)+2≥0,解得00).(1)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(2)对于任意实数x、t,不等式f(x)<|2+t|+|t-1|恒成立,求m的取值范围.解析 (1)当m=1时,f(x)=|x-1|-|x+3|=-4,x≥1,-2x-2,-30,所以0
