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第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 （一）定向曲线曲线上动点的移动通常有两种，如果规定一种走向为“正向”，那么另一种反向移动称为“负向”．这种规定了方向的曲线（即规定了正负向的曲线）称为定向曲线．１定向曲线的定义例规定曲线L沿A移动到B为正向，则L是定向曲线，记，则负向记为注：确定定向曲线只需找到始点和终点２定向曲线的表示注：非定向曲线参数表示为这里一定有而定向曲线表示当从连续变到时，描出由点A 移动到点B的定向曲线L．显然都可能３定向曲线的切向量光滑曲线上每一点都有切向量，而且都有两个方向，对定向曲线的切向量也要定向，要求切向量的的方向总与曲线的走向（曲线的方向）相一致．若曲线为当则切向量为当则切向量为（二）对坐标的曲线积分的概念设一质点受如下变力作用在 XOY 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动常力沿直线所作的功到点 B,求移动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1引例: 变力沿曲线所作的功.(1) “大化小 ”.(2) “常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) “近似和”(4) “取极限”其中 为 n 个小弧段的最大长度机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为XOY平面内从 A 到B 的一条有向曲线,在L 上定义了一个向量函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在L 上沿的L 方向任意插入一点列把L 分成n个有向小弧段记点为有向弧段上任意一点,若极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线积分.其中L 称为积分弧段称为被积函数 , 或积分曲线 .称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分 .(2)(1)由定义知物理意义：沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功为方向为x-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功力注:物理意义：为方向为y-轴正向的力沿定向曲线L的始点移动到终点所做的功物理意义：故由第二类曲线积分的物理意义也得(3)中是有向弧在x-轴上的投影;是有向弧在y-轴上的投影而在对弧长的曲线积分中乘的是弧长故(A)(图1)可正, 可负(图2).(图2)图3中(图3)(B)定积分是第二类曲线积分的特例.(C)对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !若 为空间有向曲线弧 , 2*. 定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量函数定义在有向曲线弧上. 若极限存在.在有向曲线弧  上对则称此极限为函数或第二类曲线积分.坐标的曲线积分,记作（三） 性质(2) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(3) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)线性性质二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：把对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的下限 一定是始点对应的参数，上限一定是终点对应的参数，而不管上限是否大于下限．这与对弧长的曲线积分不同对应参数设分点根据定义由于对应参数同理可证机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明: 下面先证如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中L 为沿抛物线解 法一 取 x 为参数, 则从点的一段. 例1. 计算其中L 为沿抛物线解 法二 取 y 为参数, 则从点的一段. 注：由该题可以知道对坐标的曲线积分没有对称性例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 作用 , 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设质点处受力的大小与M点对原点的距离成正比，方向指向原点，求质点由沿椭圆逆时针移动到求力做的功W由题意知则其中例５. 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解: 取  的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例６. 设在力场作用下, 质点由 沿移动到解: (1)(2)  的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有向光滑弧 L 以弧长为参数的参数方程为则有向光滑弧L切向量的方向余弦为由计算公式有机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中是有向弧L在(1)若记则两类曲线积分的联系切向量的方向余弦注：是有向弧L在处单位切向量.在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分故向量函数若记则有例：设定向曲线 L 参数方程为方向余弦为若切向量为切向量为若，则(3)要注意是定向曲线的切向量必须与曲线的方向一致．，则，则其中(2)将第二型转化为第一型曲线积分关键是求定向曲线的切向量的方向余弦，这可以通过求切向量得到类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例７. 设曲线段 L 的长度为s, 证明续,证:设说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .例８将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 法一：又所以切向量为，所以解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 法二曲线参数化为由得切向量为故即故1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L－ 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算• 对有向光滑弧• 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 两类曲线积分的联系• 对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 原点 O 的距离成正比,1. 设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原 F 的方向力F 的作用 ,求力F 所作的功. 思考: 若题中F 的方向改为与OM 垂直且与y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知为折线 ABCOA(如图), 计算提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习备用题 1.解:线移动到向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 =令利用“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 。