定性微分方程求解方法.doc

第六章 微分方程及其应用本章知识结构导图 §6.1 微分方程的简介 微分方程是一门具有悠久历史的学科, 几乎与微积分同时诞生于1676年前后, 至今已有300多年的历史了. 在微分方程发展的初期, 人们主要是针对实际问题提出的各种方程, 用积分的方法求其精确的解析表达式, 这就是人们常说的初等积分法. 这种研究方法一直延续到1841年前后, 其历史有160多年. 促使人们放弃这一研究方法的原因, 归结1841年刘维尔(Liouville 1809-1882)的一篇著名论文, 他证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解.在刘维尔这一工作之后, 微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段. 如19世纪中叶, 柯西等人完成了奠定性工作（解的存在性和唯一性定理）, 以及拉格朗日等人对线性微分方程的系统性研究工作; 到19世纪末, 庞加莱和李雅普诺夫分别创立了微分方程的定性理论和稳定性理论, 这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法, 其思想和作法一直深刻地影响到今天. 微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法. 物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的 / 微分方程, 如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律, 能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等, 对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究. 因此, 微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学, 而且越来越多的应用于社会科学的各个领域. 早在十七世纪至十八世纪, 微分方程作为牛顿力学的得力助手, 在天体力学和其它机械力学领域内就显示了巨大的功能, 比如科学史上有这样一件大事足以显示微分方程的重要性, 那就是在海王星被实际观测到之前, 这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方法推算出来了. 时至今日, 微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要作用. 在长期不断的发展过程中, 微分方程一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力, 另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己, 所以微分方程的问题越来越显得多种多样、而方法也越来越显得丰富多彩.在本章, 将简要介绍利用微分方程结合实际问题建立数学模型, 了解微分方程的基本概念, 并研究常见的一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法, 最后例举几个微分方程在经济领域中的应用例子. §6.2 利用微分方程建立数学模型 利用数学手段研究自然现象和社会现象, 或解决工程技术问题, 一般需要先对问题建立数学模型, 再对它进行分析求解或近似计算, 然后按实际的要求对所得的结果作出分析和探讨. 数学模型最常见的表达方式, 是包含自变量和未知函数的函数方程, 但是很多情形这类方程还包含未知函数的导数（或微分）, 它们就是微分方程. 本节将介绍几个典型的利用微分方程建立数学模型的例子. 一、种群增长的马尔萨斯（Malthus）模型这里要介绍的种群增长模型是基于理想条件下（无局限的环境, 充足养分,无自然灾害）来建立的, 于是仅考虑种群增长率只与自然出生率与自然死亡率有关, 即种群增长率和种群数量成正比. 设时刻的种群个体数量为,种群增长率为导数, 现仅考虑自然出生率和自然死亡率对它的影响，则假设种群增长率和种群数量成正比， 于是可表示成如下数学模型: (1)其中比例常数, 为自然出生率, 为自然死亡率, 方程（1）是种群增长的最简单模型, 即马尔萨斯（Malthus）模型, 该模型当然是一个微分方程. 下面来求解方程（1）, 方程（1）要求找到这样一个函数, 它的导数是它本身的常数倍. 我们知道指数函数具有这个特点, 令,有, 即任何形如的指数函数都是方程（1）的解. 在§6.3我们将知道方程（1）没有其他解.考虑到实际意义（, ）, 方程（1）得到解的函数族，图形如图6.1所示.方程（1）是在理想条件下的种群增长模型, 它只能反映种群增长初期的增长情况, 当种群数量接近承载能力时, 增长率会下降, 这是因为在自然界上各种自然资源会对种群的增长进行限制与影响, 下面我们来介绍另一个更能如实反映种群增长的模型. 二、种群增长的逻辑斯谛（Logistic）模型 （2）其中为比例常数, 为种群承载能力（即表示自然环境条件下所能容许的最大种群数）.方程（2）称为逻辑斯谛（Logistic）模型, 当然也是一个微分方程, 它是荷兰数学生物学家韦尔侯斯特（Pierre-Francois Verhulst）在19世纪40年代提出的世界人口增长模型. 关于方程（2）的求解详见§6.4, 现在直接从方程（2）定性分析它的解.首先常量函数和都是方程的解, 这两个解称为平衡解（从实际含义上可以解释为: 如果种群数量为或达到承载能力时, 种群数量不再变化）; 然后如果初始种群数量在与之间, 则种群增加, 如果种群数量超过了承载能力, 则种群减少; 最后当种群数量接近承载能力（）时, 则种群数量几乎不再增加（或减少）. 因此可以估计出逻辑斯谛模型的解的图形类似于图6.2所示.在20世纪30年代, 生物学家G.F.Gause用原生动物草履虫做了一个实验, 并分别用马尔萨斯模型与逻辑斯谛模型为实验数据建模. 实验发现: 前几天用马尔萨斯模型比较接近实际测量数据, 但是当第五天起马尔萨斯模型开始很不准确, 而逻辑斯谛模型与实际测量数据却非常吻合.其实种群增长建模还有很多, 如与等,这里就不一一介绍了.三、捕猎-食饵模型我们学习了单独生活在某一环境中的种群增长模型, 现在来考察一种更现实的模型, 即考虑同一居住环境下两种种群的相互影响.先考察其中一个种群的情况, 我们称之为被捕食者, 它们有充足的食物; 另一种群称为捕食者, 它们以被捕食者为食. 被捕食者和捕食者的例子很多, 如野兔和狼, 小鱼和鲨鱼, 蚜虫和瓢虫等等. 设为时刻时被捕食者的数量, 为时刻时捕食者的数量. 没有捕食者时， 被捕食者有充足的食物, 假设数量呈指数增长, 即, 其中为正常数. 没有被捕食者, 捕食者种群数量减少的速度和数量成正比, 即, 其中为正常数. 两种种群共存时, 假设被捕食者种群的死亡主要由于被吃掉, 而捕食者出生率和存活率依赖于它们的食物是否充足, 即被捕食者是否充足. 假设两者遭遇的比率和两种种群数量成正比, 即与乘积成正比（种群数量越多, 二者遭遇的比率也就越大）. 符合上述假设的两个微分方程为 , (3)其中, , 和为正常数, 为减少了被捕食者的自然增长率, 为增加了捕食者的自然增长率. 方程（3）称为捕猎-食饵方程，也称为Lotka-Volterra方程. 这类模型是由两个相关的微分方程的形式组成, 是一对耦合的方程, 不能先解一个方程然后再解另一个方程, 必须同时解两个方程, 关于方程（3）的求解详见§6.4, 这里就不展开了. §6.3 常微分方程的基本概念 上述三个模型中的方程（1）、（2）、（3）都含有未知函数的导数, 它们都是本章研究的对象, 即微分方程.【定义1】 凡表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程, 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程, 在微分方程中所含未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶. 由于本章只讨论常微分方程, 以下简称为微分方程或方程.一阶微分方程的一般形式为或, 阶微分方程的一般形式为,其中: 是自变量，是未知函数, 是未知函数的导数, 一阶微分方程中一定含有, 阶微分方程中一定含有.例如在§6.2中的介绍的三个模型中的方程（1）、（2）、（3）都是一阶常微分方程.再如: , , 等也都是常微分方程，分别为一阶、二阶、三阶常微分方程. 【定义2】 如果函数及其导数代入微分方程后能使方程成为恒等式, 则函数就称为微分方程的解. 如果微分方程解中含有任意常数, 且相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相同, 这样的解称为微分方程的通解; 通解中任意常数取某一特定值时的解, 称为微分方程的特解. 确定微分方程通解中的任意常数的附加条件称为微分方程的初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题, 称为初值问题. 一阶微分方程的初值问题一般可表示为 或 ;二阶微分方程的初值问题一般可表示为,其中, , 是已知值.例如, 一阶微分方程的通解为, 其中为任意常数. 而满足初始条件的特解为, 满足初始条件的特解却为.【例1】 验证一阶微分方程的通解为（为任意常数），并求满足初始条件的特解.【解】 由得方程的左边为, 而方程的右边为, 左边=右边, 因此对任意常数, 函数都是方程解, 即为通解.将初始条件代入通解, 得, 故所要求的特解为.【例2】 验证函数 (,为两个相互独立的任意常数)是二阶微分方程 的通解.【解】 由得，, 将, , 代入方程的左边得=,因此函数 是微分方程的解, 又因为这个解中有两个相互独立的任意常数与，与方程的阶数相同, 所以它是方程的通解. 实际上, 并不是任意的微分方程一定有解, 就是有解存在也不一定能用有效的方法求出其解, 以下各节将对一些特定类型的微分方程如何求解进行讨论.习题6.3 1. 说出下列微分方程的阶数（1）; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.2. 验证下列各题中的函数是所给微分方程的通解（或特解）（1）, ;（2）, (初始条件为); （3）, (初始条件为, );（4）, （其中与是两个任意的常数）.3. 下面哪个函数是微分方程的解（1）; （2）;（3）; （4）.4. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1) 曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的2倍;(2) 曲线在点处的切线斜率与该点的横坐标成反比.5．一质量为的物体仅受重力的作用而下落, 如果其初始位置和初始速度都为, 试写出物体下落的距离与时间所满足的微分方程.6. 镭元素的衰变满足如下规律: 其衰变的速度与它的现存量成正比, 经验得知镭经过1600年后, 只剩下原始量的一半, 试写出镭现存量与时间所满足的微分方程. §6.4。