2020年（生物科技行业）第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题.doc

生物科技行业）第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题全卷共六题，总分为140分壹、（20）如图复13-1所示，有壹匀质细导线弯成的半径为a的圆线圈和壹内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图）在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度随时间t均匀减小，其变化率的大小为壹已知常量k已知2=3试求图中A、B俩点的电势差-二、（20分）长度为4毫米的物体AB由图复13-2所示的光学系统成像光学系统由壹个直角棱镜、壹个会聚透镜和壹个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上求（1）像的位置；（2）像的大小，且作图说明是实像仍是虚像，是正立仍是倒立的三、（25分）如图复13-3所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD静止放在水平光滑的桌面上若突然给质点A壹个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得壹定速度，∠BAD=2α(α＜π/4)求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量四、（25分）在壹个半径为R的导体球外，有壹个半径为r的细圆环，圆环的圆心和导体球心的连线长为a(a＞R)，且和环面垂直，如图复13-4所示。

已知环上均匀带电，总电量为q，试问：1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？3、当导体球的电势为时，球上总电荷又是多少？4、情况3和情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？5、情况2和情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态能够叠加，叠加后仍为静电平衡状态五、有壹个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为d=2.0米球内充有压强=1.005帕的气体该布料所能承受的最大不被撕破力为=8.5牛顿/米（即对于壹块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过8.5牛顿时，布料将被撕破）开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为=1.000帕，温度=293开假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为=-9.0帕/米，温度的变化为=-3.0开/米，问该气球上升到多高时将破裂？假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时和周围空气的温度保持壹致在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别六、有七个外形完全壹样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另壹个的阻值不同。

请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，且指出它的阻值是偏大仍是偏小，同时要求画出所用电路图，且对每步判断的根据予以论证提供的器材有：①电池②壹个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的③导线若干操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次第十三届全国物理竞赛复赛试题解答壹、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解13-1所示电流的分布，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为α的圆电路，可得πk=2+对等边三角形三个边组成的电路，可得3k/4=2+2对由弦AB和弧AB构成的回路，可得（π-3/4）k/3=-考虑到，流进B点的电流之和等于流出B点电流之和，有+=+由含源电路欧姆定律可得-=πk/3-由之上各式及题给出的=2/3可解得-=-k/32二、解法壹：1、分析和等效处理根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为=arcsin(1/n)注意到物长为4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在左右，大于临界角，发生全反射所以对这些光线而言，棱镜斜面可见成是反射镜。

本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如图复解13–2-1所示当下，问题转化为正立物体经过壹块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生壹个向右侧移动壹定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物利用沿光轴的光线和和光轴成α角的光线来讨论就可求出这个移动的距离设轴上的物点为B由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为B′（如图复解13–2-2所示）画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知Δl=d（ctgα）而d=D（tgα-tgβ）所以Δl=D（1–tgα/tgβ）当α为小角度时tgβ/tgα≈sinβ/sinα=1/n故得Δl=D（1–1/n）=2cm这也就是物AB和它通过厚玻璃板所成的像之间的距离这个像对透镜来说就是物，而物距=〔（6–2）+6+10〕cm=20cm可见，物正好在的左方焦平面上，像距即为=∞再考虑透镜，这是平行光线入射情形，=∞所以必须成像于这个发散透镜左侧的焦平面上（虚像）==-10cm整个光路的最后成像位置就是在的左侧10cm处3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解13–2-3所示（为了图示清楚图中把物高加大了）。

连接且延长，便得到发自的光线经后的平行光线的方向过的光心作的平行线，它和交于C点，则C即为从发出经过折射后又通过光心的光线反向延长C和左侧焦平面的交点就是由和所成的像点令左侧焦面和光轴的交点为就是的像，这是壹个正立的虚像由图可得=tgγ=tgγ而和AB等高，所以像的大小为=（/）=2mm解法二：关于物体AB经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理如图复解13–2-4所示，AB发出的、和PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于这是视深问题和PQ面的距离均为A、B和PQ面的距离的n倍，即=n=（像和物的大小相同）经PR面的反射成像于，大小不变，且经QR面后折射成像于，大小不变，且==（6/1.5+6）cm=10cm由此即可求出这个像作为透镜的物的物距，其它部分的求解同解法（壹）三、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为D的速度能够分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度，其大小设为，如图复解13-3所示，根据对称性，必有由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度壹定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即另壹方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为，绳子DC给质点C冲量大小为。

注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是（各冲量的方向均沿绳子方向）由对称性仍能够判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：由（3）~（7）式可解出本题所需的、据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为，方向沿CA方向此系统的总动能为四、1、见图复解13–4导体是壹个等势体，所以导体球接地（=0）时，对于球心点有==0（1）另壹方面，能够直接计算球心点的电势因为所有感应电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是，所以=K/R+Kq/（2）式中就是要求的感应电荷总量由（1）、（2）俩式即得=-Rq/（3）2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得：==K/R+Kq（4）式中表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的由于题给导体球为电中性，即=0，所以由（4）式得=K/（5）3、导体球的电势为时，再以球心点考虑：==（6）而另壹方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加：=K/R+Kq（7）导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6）、（7）俩式解得==R/K-Rq（8）4、对比（8）式和（3）式可知，情况3比情况1只是在导体球上多了电荷R/K，而导体球的电势相应地由零变为。

能够设想从情况1出发，把导体球和地断开而维持原来的大小及分布不变，再把电荷R/K均匀地加到球面上，正是它使球的电势变为，即成为情况3对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环受到的作用力由于圆环上的电荷均匀发布，对圆环中心到球心的连线具有轴对称性，把圆环上各线元电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力所以，其方向是沿二心向外（图中向右）大小是F=K（9）5、可直接应用情况4的结果，只是当下把（9）式中的用情况2中的值，即将（5）式代入即可所以，情况2比情况1圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外（图中向右），大小是五、当气球充满气体而球内压强大于球外时，布料即被绷紧，布料各部分之间产生张力，正是这种张力可能使布料被撕裂设想把气球分成上下俩个半球，它们的交线是壹个直径为d的圆周，周长为πd，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为，另壹方面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用：1、下半球的球面布料所施加的张力F；2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为，是气球所在高度处的大气压强；3、下半球内气体对它的压力为，式中p为气球内气体的压强。

忽略浮力时，上述三力相互平衡，即=+F而当F＞时，布料即被撕裂，所以，气球破裂的条件是＞（1）设气球破裂发生在高度h处，则（2）而该处温度（3）这个温度也就是破裂时气球内气体的温度又因为气球在上升过程中球内气体是等容变化，所以有p/T=即p=（4）（2）、（4）和（3）式代入（1）式，得h＞即所球上升到高度之上就将破裂六．判断所用电路如图复解13–6a、b、c、d为四个电阻P、Q间可接电流计，由电流计中电流I的方向可判断出P、Q俩点中哪壹点的电势较高可能出现下列三种情况：1、I=0，这表示四个电阻的阻值相等2、I从P到Q，这表示P点电势较高，a、b、c、d中有壹电阻偏大或偏小有下列四种可能：b偏大；c偏大；a偏小；d偏小3、I从Q到P，这表示P点电势较低，有四种可能；a偏大；d偏大；b偏小；c偏小应采取的实验步骤和判断：设7个电阻为①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，阻值相同的称为正常电阻，阻值不同的那个为特异电阻第壹次测量：将①、②、③、④分别接入a、b、c、d位置，这时可有以下三种情况：情况A：I向下，则有四种可能：②大；③大；①小；④小情况B：I向上，则有四种可能：①大；④大；②小；③小。

情况A和情况B中，其余三个电阻⑤、⑥、⑦均正常情况E：I=0，这时，①、②、③、④正常，特异电阻在⑤、⑥、⑦中第二次测量：若情况A或情况B成立，进行第二次测量时将①、②对调，即将②、①、③、④分别接入a、b、c、d位置这时可能有以下俩种情况情况C：I向下，则有四种可能：①大；③大；②小；④小情况D：I向上，则有四种可能：②大；④大；①小；③小若情况E成立，特异电阻在⑤、⑥、⑦，第二次测量取其中俩个，例如⑤、⑥放于电路中a、b位置，c、d位置用正常电阻，则有三种情况：情况F：I向下，则有二种可能：⑤小；⑥大；情况G：I向上，则有四种可能：⑥小；⑤大；情况H：I=0，这时，⑤、⑥均正常，特异电阻即为⑦前二次测量分析：若情况A、C成立，则只有俩个可能：④小；③大若情况A、D成立，则只有俩个可能：①小；②大若情况B、C成立，则只有俩个可能：②小；①大。