2002考研数三真题及解析.doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )n(1)设常数 a 一，贝U lim In 2 n n(1 2a)1 7 丄 丄⑵ 交换积分次序： 4dy f (x, y)dx 一2dy 2 f (x, y)dxo y - y4122(3)设三阶矩阵A 212 ，三维列向量304a,1,1T.已知A 与 线性相关，则(4)设随机变量 X和Y的联合概率分布为X-10100.070.180.1510.080.320.202 2 2 2则X和Y的协方差cov(X ,Y ) (5)设总体X的概率密度为f(x;)e(x)，若x0, 若x而Xi,X2丄,Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数f(x)在闭区间［a,b］上有定义，在开区间(a,b)内可导，则(A)当 f(a)f(b) 0时，存在 (a,b)，使 f()0.(B)对任何(a,b)，有 lim[f(x) f ( )] 0.X(C)当 f(a)f(b)时，存在 (a,b)，使 f ()0.(D)存在(a,b)，使 f (b) f (a) f ( )(ba).设幕级数n —anX与bnXn 1n的收敛半径分别为a2n1 b2nXn的收敛半径为((A) 5(B)1(C)11(D)-5n矩阵,B是n m矩阵，则线性方程组AB(A)当n m时仅有零解(C)当m n时仅有零解(B)当n m时必有非零解(D)当m n时必有非零解⑷ 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量 是A的属于特征值 的1 T特征向量，则矩阵 P 1AP 属于特征值 的特征向量是 ( )(A) P(B) PT (C) P(D)(5)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则 ( )(A) X Y服从正态分布(B) X2 Y2服从2分布2 2 2(C)X和Y都服从 分布2 2(D) X /Y服从F分布三、(本题满分5分)求极限x0limx 0o arctan(1t)dt dux(1 cosx)四、 (本题满分7分)设函数u f(x,y,z)有连续偏导数，且z z(x, y)由方程xex yey zez所确定，求du.五、 (本题满分6分)设 f (sin2 x)x i x,求 f(x)dx.sinx 1 x六、 (本题满分7分)2设Di是由抛物线y 2x和直线x a,x 2及y 0所围成的平面区域； D2是由抛物线y 2x2和直线y 0 ,x a所围成的平面区域，其中 0 a 2.(1) 试求Di绕x轴旋转而成的旋转体体积 V ； D2绕y轴旋转而成的旋转体体积 V2 ；(2) 问当a为何值时，Vi V2取得最大值？试求此最大值 .七、 (本题满分7分)3 x6 x9' L3nx L(1)验证函数y(x) 13!6!9!3n !y y yx ex 满足微分方程(2)利用(1)的结果求幕级数3nx3n !的和函数.八、(本题满分6分)设函数f(x),g(x)在［a,b］上连续，且g(x) 0 •利用闭区间上连续函数性质， 证明存在b b一点 ［a,b］，使 f(x)g(x)dx f ( ) g(x)dx.a a九、(本题满分8分)设齐次线性方程组ax..bx2bx3LbXn0,bx1ax2bx3LbXn0,LLLLbx1bx2bx3Lax.0,其中a 0,b 0,n 2，试讨论a, b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解十、(本题满分8分)设A为三阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2A 0，已知A的秩r(A) 2(1) 求A的全部特征值(2) 当k为何值时，矩阵 A kE为正定矩阵，其中 E为三阶单位矩阵•十一、(本题满分8分)假设随机变量U在区间 2,2上服从均匀分布，随机变量1,若 U 1 -1,若 U 1X Y1,若 U 1; 1,若 U 1;试求：⑴X和Y的联合概率分布；(2) D(X Y).十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间 X服从指数分布，平均无故障工作的时间 E(X)为5小时•设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y的分布函数F (y).。