奥数专题之平面几何.pdf

第 1 页第一讲三角形中的心一、重心1.定义：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.2.性质：（1）重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2 倍；（2）重心与三角形任意两个顶点组成的三个小三角形的面积相等；（3）重心到三角形三个顶点距离的平方和最小；（4）设 G 为△ ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于 D，则①22221(22)4ADABACBC②) 3,3(CBACBAyyyxxxG.二、外心1.定义：三角形外接圆圆心叫做三角形的外心.2.性质： （1）外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形各顶点距离相等；（2）设 R 为三角形ABC 的外接圆半径，则 4ABCabcRS；三、垂心1.定义：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心；2.性质： （1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2 倍；（2）垂心 H 关于△ ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ ABC 的垂心为H，则△ ABC，△ ABH，△ BCH，△ ACH 的外接圆是等圆；注： （ 1）欧拉线：三角形的外心O、重心 G、垂心 H 三点共直线（欧拉线） ，且 GH=2OG．（2） 欧拉公式 (定理 )： 设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则 d2=R2－2Rr．注：欧拉不等式R≥2r．四、内心1.定义：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．2.性质：（1）内心是三角形三条角分线的交点，即内心到三角形各边距离相等；（2）设,,,cABbACaBC内切圆⊙ I 的半径为r， ⊙I 切 AB 于点 P，AI 的延长线交BC 于 N，交△ ABC 外接圆于点D，则①90 2ABIC；② DB=DI =DC；③2ABCabcSr；五、旁心1.定义：三角形旁切圆的圆心叫做旁心．2.性质： （1）旁心是三角形的一内角平分线与两外角平分线交点；（ 2 ） 设 △ ABC的 旁 切 圆 圆 心 分 别 记 为,,abcIII， 其 半 径 分 别 记 为CBArrr,,． 则1190,,22abcBI CABI CBI CA（对于顶角B，C 也有类似的式子） ；1()2abcII IAC. EOHBCAbacNDPICBA第 2 页例 1 点 A 在∠ KMN 的内部，点B 在 KM 上，点 C 在 MN 上，如果∠ CBM=∠ABK，∠ BCM=∠CAN，求证：△ BCM 的外心在 AM 上．例 2（2002 第 23 届 IMO 试题）已知BC 为⊙ O 的直径， A 为⊙O 上一点， 0°<∠AOB<120°， D 是弧 AB（不含 C 的弧）的中点， 过 O 平行于 DA 的直线交AC 于 I，OA 的垂直平分线交⊙O 于 E，F，证明： I 是△ CEF 的内心．例 3 已知在等腰△ABC 中， CD 是∠ BCA 的角平分线， O 是它的外心．过 O 作 CD 的垂线交BC 于点 E， 过 E 作 CD 的平行线交AB 于点 F，求证： BE=FD ．第二讲几个重要定理一、梅涅劳斯（ Menelaus）定理：设△ ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则有1ARBP CQRB PCQA．注：梅涅劳斯（Menelaus）定理的逆定理也成立，即由1AR BP CQRB PC QA可推 P、Q、R 三点共线．二、塞瓦 (Ceva)定理：设P、Q、R 分别为△ ABC 的边 BC、 CA、AB 上的一点，则AP、 BQ、CR 所在直线交于一点，则1AR BP CQRB PCQA．例 4（ 1996 年全国高中数学联赛试题）设⊙O1与⊙ O2和△ ABC 的三条边所在直线都相切，切点分别为E， F，G，H，直线 EG 与 FH 交于点 P，求证： PA⊥BC．MNKBCAEFIDOBCAFHEDBOCADPHGEFO2O1ABC第 3 页例 5 一个圆与△ ABC 的三边 BC、CA、AB 所在直线分别相交于点 P 与 P/、 Q 与 Q/、R 与 R/，如果 AP、BQ、 CR 三线共点，求证：AP/、BQ/、CR/三线共点或互相平行．三、西姆松（ Simson）定理：从△ ABC 的外接圆上任意一点P 向三边 BC、CA、 AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、F，则 D、E、F 共线，（这条直线叫西摩松线）．例 6(2003 年 IMO 试题 )设四边形 ABCD 是一个圆内接四边形，从点 D 向直线 BC, CA 和 AB 作垂线，其垂足分别为P,Q 和 R，求证：PQ=QR 等价于∠ ABC 的平分线，∠ADC 的平分线和AC 这三条直线相交于一点．四、托勒密（ Ptolemy）定理：圆内接四边形ABCD 对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC· BD=AB· CD+AD· BC．注： （ 1）逆命题成立；（ 2） （广义托勒密定理）在凸四边形ABCD 中，有AB· CD+AD · BC≥AC· BD．例 7（1998 年 IMO 预赛试题）设M，N 是△ ABC 内部的两个点 ， 且 满 足 ∠ MAB= ∠ NAC ， ∠ MBA= ∠ NBC ， 求 证 ：1.AMANBMBNCMCNAB ACBA BCCA CB五、根轴定理根轴：到任意的两个圆(不是同心圆 )的幂相等的点的集合是一条直线，这条直线称为这两圆的根轴．根轴定理：根轴是一条垂直于两圆连心线的直线．注：若两圆相交，则根轴就是两圆公共弦所在直线；若两圆相切，则根轴就是两圆的公切线所在直线．MRPQACBDACB DEP/PQ/QR/RABCACBMN第 4 页例 8(2001 年全国高中数学联赛加试试题)已知在△ ABC中， O 为外心，三条高线AD,CE,CF 交于点 H，直线 ED 和AB 交于点 M，直线 FD 和 AC 交于点 N，求证：（1）OB⊥FD ，OC⊥DE；（2）OH⊥ MN．例 9 设⊙ O 与直线 l 相离，作OP⊥l，垂足为P，点 Q是直线 l 上不同于 P 的任一点，过点 Q 作⊙ O 的两条切线QA，QB，切点分别为A，B，AB 与 OP 相交于点K，过点 P 作 PM⊥QB， PN⊥QA，垂足分别为M，N，求证：直线MN 平分线段 KP．六、定差幂线定理定差幂线定理：若线段PQ 与 MN 相交于 H，则 PQ⊥MN 的充要条件是MP2- NP2= MQ2- NQ2. 推论 1 已知两点A 和 B，则满足MA2- MB 2=k (k 为常数 )的点 M 的轨迹是垂直于的一条直线. 推论 2(施坦纳定理 )由△ ABC 所在平面上的点A1,B1,C1分别向边BC,CA, AB 作垂线，则垂线共点的充要条件的： A1B2- BC12+ C 1A2- AB 12+B 1C2- CA 12=0. 例 10 在△ ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点， DE⊥AC，E 为垂足， F 是 DE 的中点，求证：BE⊥ AF. GB/A/C/NMHFEDOACBlC NM KPOQABFEDBCA第 5 页例 11 在四边形 ABCD 中， AB,CD 的垂直平分线相交于点P，AD, BC 的垂直平分线相交于Q，M,N 分别是 AC, BD 的中点， 求证： PQ⊥MN. 例 12△ ABC 的三条高线AA1, BB1, CC1相交于点H，求证：从 A,B,C 分别作 B1C1,C1A1, A1B1的垂线也必相交于一点，且该点为△ ABC 的外心 . 例 13(2003 年国家队集训 )凸四边形ABCD 的对角线相交于点 M，P,Q 分别是△ AMD 和△ CMB 的重心， R,S分别是△ CMD和△ AMB 的垂心，求证：PQ⊥RS. 七、密克尔定理定理1(三角形的密克尔定理)设在一个三角形每一边所在直线上取一点，过三角形的每一顶点与两条邻边所在直线上所取的点作圆，则这三个圆共点. 定理 2(完全四边形的密克尔定理)四条一般位置的直线形成的四个三角形，它们的外接圆共点. 例 14(2009 年第 35 届俄罗斯 )A1和 C1分别是平行四边形 ABCD 的边 AB 和 BC 上的点，线段AC1和 A1C 相交于点 P，△ AA 1P 和△ CC 1P 的外接圆的第二个交点Q位于△ ACD 内部，求证：∠PDA=∠QBA. OB1HA1C1BCANMPQABCDRSQPMBCDAQPBACD A1C1第 6 页例 15(第 35 届 IMO)△ABC 是一个等腰三角形，AB=AC，假如（1）M 是 BC 的中点， O 是直线 AM 上的点， 使得 OB 垂直于 AB；（2）Q 是线段 BC 上不同于B 和 C 的任意点；（3）E 在直线 AB 上，F 在直线 AC 上，使得 E,G 和 F 是不同的三个共线点 . 八、帕斯卡定理帕斯卡定理 :设六边形ABCDEF 内接于圆 (与顶点次序无关, 即 ABCDEF 无需为凸六边形), 直线 AB 与 DE 交于点 X,直线 CD 与 FA 交于点 Z, 直线 EF 与 BC 交于点 Y. 则 X、Y、Z 三点共线 .将直线 XYZ 称做帕斯卡线. 例 16 如图 ,过△ ABC 的顶点 A、 B、 C 各作一直线使之交于一点P, 而分别交△ ABC 的外接圆于A1、B1、C1.又在外接圆上任取一点Q, 则 QA1、QB1、QC1与 BC、CA、 AB 对应的交点X、Z、Y 三点共线 . 例 17 (第 48 届 IMO 预选题 )已知△ ABC 为确定的三角形, A1、B1、C1分别为边BC、CA、AB 的中点 , P 为△ ABC 外接圆上的动点, PA1、PB1、PC1分别与△ ABC 的外接圆交于另外的点A2、B2、C2.若 A、B、C、A2、B2、C2是不同的点 , 则直线AA2、 BB2、CC2交出一个三角形. 证明 : 这个三角形的面积不依赖于点P. NMKZYXDCBAF EFOMBCAQEZYXB1PACBC1A1QA0C0 B0C2B2A2C1A1B1CABP。