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固体物理复习第一章 晶体结构• 通过本章学习重点内容： • 晶体结构中的一些常用术语 • 晶格类型 • 几种晶体结构Terms about Crystal StructuresLattice 晶格 Bravais Lattice 布喇菲格子Lattice point 格点 Basis 基元Lattice Translation Vector 格矢 li为整数 Translation Vector 基矢 Primitive Cell 原胞 conventional cell 晶胞 (nonprimitive cell 非初基单胞 )§1-2 常见的晶体结构及其 原胞、晶胞 • 简单晶体的简单立方(simple cubic, sc)，例如氧 、硫固体 简单立方堆积简单立方结构单元简单立方• 其特点有: 三个基矢互相垂直（ ）, 重复间距相等, 为a, 亦称晶格常数； • 其晶胞=原胞; 体积= ; • 配位数(第一近邻数) =6 • 简单晶体的体心立方 ( body-centered cubic bcc ) ， 例如，Li，K 体心立方堆积体心立方结构单元 体心立方• 其特点有： • 晶胞基矢 , 并且• 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的 矢量构成: • 其体积为 ; • 配位数=8。

简单立方晶胞体心立方晶胞与惯用原胞 3) 体心立方晶格由立方体的中心到三个顶点引三个基矢—— 原胞中只包含一个原子基矢原胞体积• 面心立方 ( face-centered cubic; fcc ) , 例如 ，Cu等 面心立方结构(晶胞) 面心立方惯用原胞 面心立方• 晶胞基矢 ，并且• 每面中心有一格点, 其原胞基矢由从一顶点指向另 外三个面心点的矢量构成: • 其体积= ; • 配位数=12 • • 找出在单胞轴a，b，c上，以点阵常数量 度的截距，这些轴可以是初基的或是非初 基的• 取这些截距的倒数，然后划成与之具有 同样比率的三个整数，一般是化成三个最 小的整数将结果括在括号里(hkl)Plane perpendicular to y cuts at , 1,   (0 1 0) planeThis diagonal cuts at 1, 1,   (1 1 0) planeFind intercepts on a,b,c: 1/4, 2/3, 1/2Take reciprocals 4, 3/2, 2Multiply up to integers: (8 3 4) [if necessary]倒易点阵、倒格矢、波失(倒)空间证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 倒格子定义体心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子 1.5 证明：倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系 因为容易证明与晶面系 正交晶体宏观对称性7大晶系、14种布拉伐格子、32种点群第二章 晶体的结合• 负电性。

• 四种结合—离子键、共价键、金属键、 范德瓦尔斯键、（氢键） • 每种结合的特点 第三章 晶格振动与晶体的热学特性1.讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？答：牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论 2.讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？答：采用了近邻近似和简谐近似3.什幺是近邻近似和简谐近似？近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用；简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项 4.晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和 3n－3支光学波一维晶格振动格波一维晶格振动格波• 考虑第n个粒子的受力情况, 它只受最近 邻粒子的相互作用, 即分别受到来自第n-1 个粒子及第n+1个粒子的弹性力: • 合力:（3-1）一维晶格振动格波• 在列出(3-1)式时已假设晶格中足够长, 忽 略边界, 故以试探解（行波） 代入 (3-1)式, • 利用 ，和 ，有: ，即： （3-2）一维晶格振动格波• 由此看出, 格波的波速一般是波长的函数 3-2)式代表一维布喇菲格子的色散关系. 它正是我们所寻求的结果。

如图示:一维晶格振动格波一维双原子晶格• 在光学支与声学支之间存在一间隙, 即晶 格不能传播这样的波, 因此, 双原子晶格起 到带通机械滤波器的作用一维双原子晶格求：一维单原子点振动的声子谱密度 ，并作图解： 一维单原子点振动的色散曲线如下图所示格波的态密度函数格波的态密度函数g()，又称为模式密度数，其定义为 在附 近单位频率间隔内的格波总数由色散曲线的对称性可以看出， 区间对应两个同样大小的波失区间 区间 对应 个振动模式，单位波失区间对应有 个振动模式则 范围内包含 个振动模式单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为由色散关系 得：代入上式可得模式密度晶格振动的量子化、声子• 声子与光子非常相类，不同的是: 声子具 有纵向振动模可以证明, 与光子一样, 声 子服从玻色统计分布, 为玻色子它既可以 产生, 也可以消灭 • 晶格振动能量是量子化的: 晶格振动的量子化、声子晶格热容的量子理论模型杜隆－珀替定 律爱因斯坦模型德拜模型假 设每个简振的平均能 量KBT，固体N个原 子有3N个简振模晶格振动相互独立，晶体 中所有原子都以相同的频 率振动 ，共3N个同频振动晶格当作弹性介质，频率 有分布能 量3N KBT热 容3N KB高 温近似常数近似常数近似常数低 温NOTT3 law第四章 能带理论晶格周期性函数根据布洛赫定理电子的波函数—— 布洛赫函数4.1一维周期场中电子的波函数 满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：(a)(b)(c)试求电子在这些态的波失。

解：根据Bloch定理可得：(a)所以电子的波失为(b)所以电子的波失为(c)所以电子的波失为若只取第一布里渊区则若只取第一布里渊区则则若只取第一布里渊区近自由电子近似模型—— 金属 能带及一般性质 自由电子的能谱是抛物线型—— 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度 的禁带—— 发生能量跃变—— 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近禁带的宽度—— 取决于金属中势场的形式第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区—— 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像—— 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明： 1) 它属于哪一个能带（能带标号）2) 它的简约波矢 是什么？电子波矢k和简约波矢 的关系 3.能带的3种表示图式 1) 扩展能区图式 第一能带第二能带2) 简约能区图式 —— 对于同一个能带来说能量在k空间具有周期性—— 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像i) 它属于哪一个能带 ii) 它的简约波矢 是什么—— 简约布里渊区标志一个状态3) 周期能区图式 —— 对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数—— 将任意一条能 量曲线通过倒格子 矢量从一个布里渊 区移到其它布里渊 区，在每一个布里 渊区画出所有能带 ，构成k空间中能量 分布的完整图像且 是常数用近自由电子近似求势能的平均值，求第一第二禁带的宽度4.4电子在周期场中的势能oba2a势能据有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得禁带宽度为而所以第一禁带宽度为：第二禁带宽度为;紧束缚方法----绝缘体能量本征值例题 计算简单立方晶格中由原子s态形成的能带  s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同具有相同的值表示为s态波函数为偶宇称能量本征值—— 简立方六个近邻格点代入—— 带宽取决 于J1，大小取 决于近邻原子 波函数之间的 相互重叠，重 叠越多，形成 能带越宽晶体中电子在电场和磁场中的运动方法一 —— 求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程—— 讨论均匀电磁场中晶体中电磁输运问题方法二 —— 满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒子的运动来处理加速度和有效质量 电子的速度电子的速度分量电子的加速度分量有效质量张量布里渊区定义：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面将倒易空间分割为许多包围原点的多面体，其中离原 点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近 的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称 为第二布里渊区，同理类推，可得第三、第四布 里渊区等。

例一：二维正方格子的布里渊区 倒格子基矢： 可见二维正方格子的倒格子仍为二维正方格子 方法：在倒格子空间中，以某一格点为原点，作所 有倒格矢G的垂直平分面（图见下页）正格子结构：二维正方格子； 正格子原胞基矢： ； 二维正方格子布里渊区图示第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区二维正方格子布里渊区图示（演示）第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区布里渊区的特征(1)第一布里渊区实际上就是倒格子的维格纳 ——赛兹原胞，其形状围绕原点中心对称；(2)其余每个布里渊区的各个部分也都是以原 点为中心对称分布的；(3)每个布里渊区的体积都相等且等于倒格子 原胞的体积 §4.7 能态密度和费密面 1. 能态密度函数 —— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的能带 —— 能量在E~E+E之间的能态数目Z能态密度函数在k空间，根据E(k)=Constant构成的面为等能面由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的—— 动量标度下的能态密度E~E+E之间的能态数目两个等能面间垂直距离状态密度能态密度考虑到电子的自旋，能态密度第五章 金属电子论 （1）费米统计；（2）金属自由电子费米气的模型和基态性质；（3）金属费米面；（4）金属中电子的热容；—— 一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多低温范围下—— 不能忽略电子的热容量—— 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的—— 热容量基本是一个常数4.金属的费米面费米面：K空间中能量值为常量 的曲面（1）绝对零度下，费米面将填充能级和未填充能级 分隔开； （2）费米面形状基本上不随温度变化； （3）金属的物理性质由费米面的形状确定；第六章 半导体电子论导体、半导体、绝缘体模型 The silicon crystalHoles are equivalent to heavy positively-charged electronsHoles are equivalent to heavy positively-charged electrons掺杂、n型，p型半导体平衡条件下，载流子按能级分布的规律为EAECEVEFp-type Si• (1)当E=EF时，电子和空穴的占据几 率为l／2； • (2)当E-EF0，且E一EFKBT时， 简并化分布(受泡里原理限制)； • (3)当E一EFO，且E一EFKsT时 ，非简并化分布； • (4)当E在EF上、下附近KBT以内时， 无论是电子还是空穴都只能是简并化分 布。

Pn结的形成The principle working of a pn-junction+-electronsholesNo VoltageP-dopedN-doped+-+-electronsholesForward biascurrent-++-electronsholesReverse bias“no” currentCircuit s。