21导数的概念与几何意义.docx

成都工贸职业技术学院教案课程名称高等数学年级2017 级专业材料成型授课教师陈本锋授课时间学时2授课题目2-1导数的概念及几何意义教学目标知识目标：1、 理解导数的概念，2、 了解导数的几何意义，3、 理解函数可导、连续之间的关系技能目标：1、能用导数描述一些实际问题中的变化率素质目标：1. 帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观；2. 培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力；3. 加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神教学重点1、 导数的概念2、 导数的几何意义3、 导数的计算公式教学难点1、 导数在物理、抛物线上的几何意义2、 用定义求函数的导数3、 指数函数、对数函数的求导教学方法讲授、交流讨论教学准备教案、多媒体、黑板、三角板、粉笔教学过程设计教学内容教师活 动学生活 动一、 导入新课(10分钟)引例 求变速直线运动的瞬时速度瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时 速度一个质点在一条直线上运动，所经过的路程S是时间，的函数 s = •<(').如果质点是作变速直线运动，它的速度随时间变化而变化.现 讨论质点在某一时刻'=‘时的速度议'),即瞬时速度.质点从时刻'。

到‘ Z这段时间间隔内，质点从位置$)移 动到s = /X， &),质点经过的路程为：△s = /(?0 +AZ)-/(?0)_ _ fOp + (玲)V —质点的平均速度为： Z当较小时，平均速度T可近似地表示质点在时刻'的速度.且 越小，这种近似程度也越好.从禽到to+ zl t,这段时间是4左时间4 2足够短，就是力2无限趋 近于0.当力*一0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时 速度瞬时速度 v(4) = lim v = lim ——=lim .二、 讲授新课(1) (25分钟)上面实际问题，解决问题的方法相同.都归结为求函数增量与自变量 『3)5) 临 g+Ax) —g)增量之比的极限：Xf ，或4° * ,其中Ax = x-x0)称为自变量增量，Ay = /(x) - /(%„) = f顷 *) - /(x0)，称为相应于自变量增量 *的函数增量.教师结 合教材 讲解1、 涉及 时间变 化率，如： 出生率、 死亡率、 增长率、 速度、加 速度、电 流强度、 感生电 动势2、 涉及 空间变 化率，如： 最大值、 最小值、 斜率、曲 率半径、 膨胀系 数、压缩 系数3、 任何 抽象的 牵连变 化率、相 对变化 率、百分 变化率、. 英文是： rate of change withrespect to,related学生认真听讲学生认真听讲1、导数的概念定义 设函数y = f（x）在点气处的某一邻域内有定义，当自变量X 在点X。

处有增量Ax（Ax/O）,Xo+Ax仍在该邻域内时，相应地，函数 有增量△' = /（%0 + Ax） - /（%0）,若极限lim 竺 =lim 川存在，贝］j AxtO /\y AxtO △称/■（》）在点工0处可导，并称此极限值为/'（X）在X处的导数，记为*0）,也可记为凡），V」,孚穿」,即ax ax/U）= lim 生=lim 川to Ax &T0 Ax若极限不存在，则称y = /（x）在点气处不可导在定义式中，设尤= x（）+Ax,则/\x = x- xQ,当△%趋近于0时，尤趋近于％，因此，导数的定义式可写成E = lim舟她 见）-舟 Ax xf % x-x02、左、右导数与导函数（1） 函数/'（X）在点气处的左导数r（x0）= lim 生=lim 川笏）一川axto Ax Ax（2） 函数/■（》）在点处的右导数f：M= lim 翌=lim 川定理1 y= /（x）在点乌可导―以帛二以工rate .教师结合教材 讲解利 用PPT讲解切线的斜率学生认真听讲学生重 点做笔 记导函数（导数）：如果函数y = /（%）在开区间（a,b）内的每点处都有导数， 此时对于每一个xe（a,b）,都对应着一个确定的导数 3）,从而构成了一个新的函数f\x),称这个函数产(X)为函数y = /(x)在开区间 内的导函数，简称导数，也可记作"，即r⑴ =y1 = 临工="5)一朋Ax &项 Ax函数y = /'(x)在X。

处的导数矿，=孙就是函数y = f(x)在开区间 (a,b) (% e (a,^))上导数 f\x)在x()处的函数值，即 y'\x=Xo = f'(xQ. 所以函数,=/'(x)在工0处的导数也记作f'(x0).注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导 数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值；它 们之间的关系是函数y = f(x)在点气处的导数就是导函数了’(X)在点 x0的函数值.例1 求函数 >=工2在任意点X处的导数，并求—|t=1dx解：在X处给自变量一个增量&C,相应函数增量为 Ay = f(x + Ax)- f(x) = (x + Ax -x2 = 2xAx + Ax2,于是一—=2x + Ax, Axlim — = lim(2x + Ax) = 2%；即(/ ) = 2x ；Ax->0 或 AxtO 、 /则乳=i = 2*(—1)=—2 ax一般地(xH j = uxu X, (u为任意实数)注：求f'Go)得先求f'(x)，再将X用X求函数导数的一般方法：(1) 求函数值的增量：Ay = /(% + z\x) -/(%).(2) 算比值：父项"*)—f⑴.Ax Ax(3) 取极限，得导数：y' = f\x)= lim^.*t。

Ax三、讲授新课(2) (25分钟)3、导数的几何意义由导数的定义可知：函数 E0在点％处的导数/'(对在几何上讲清楚 左右导 数的概 念学生认 真听讲 和思考学生理 解近似 和极限 的概念学生理 解导数 公式的 产生学生认 真听讲表示曲线E6在点肱3/(曲))处的切线斜率，即,'3) = tan巳 其中Q是切线的倾角.如下图：如果y = y(x)在点X可导,则曲线y = /'(X)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f3o)= /7(%0)(%-%0)4、可导与连续关系：可导n连续定理2：设函数v = /(x)在点x处可导，有lim —=尸(x)AE A.X又—=/ '(*) + 5(A.x) •(0(Ax)为Ay t 0时的无穷小) Ax即 Ay = / f(x)Ax + 5(Ax)- Ax故 lim Ay = 0Av^O所以y = f(x^£点x处连续o即y = /(x)在X可导，那么在X处必连续，但反过来不一定成立，即 在工处连续的函数未必在工可导例2讨论函数y=N在乂=处的连续性与可导性.解因为匀"(0+&)-只0)=|0+阈-|1=|四,所以邪当毅=必罢』司=°,即y=N在x=o处的连续,而由前面的讨 / YA- U Z_XA< U论知，函数V = H在x = 0处不可导。

例3.求函数y = sinx的导数解： (1)" = sin(x + Ax)—sin x = 2cos"x + • sin*^/ 、 . Ax . Ax(2) Ay c / Sm^ f Ar A SU1^TAx X 2 J Ax \ 2 J Ax5.Ax(3) dy 「 Ay 「 / Ax、 2= lim = lim cos(x ) = cosxdx a—Ax J— 2 Ax5即(sin) = cosx ,类似可得(cosx) = -sinx教师讲 解导数 的求法导数的 几何意 义具有 现实意 义，那就 是求极 值和最 值教师讲 授学生思 考练习学生回 顾例4求函数y = log“ x（o〉0,〉0*勺导数解:⑴ y = loga(x + Ar)-log"Ay Ay 1, ( . Ax V»- 1, 1(3) — = lim — = lim — log„ 1h = —log„ e = Ax /'—ox x ) x xlna即(logfl x)=—-—,特别 a = e时(inx)=— xln a x四、课堂练习(10分钟)练习1：求函数f(x)=C (C为常数)的导数.解：尸⑴=lim/(*+?_/⑴=lim^f^=0.即 (C)，=0./?to n h—o n练习2：求/（.¥）=-的导数.X解/z->o h1__J_ =lim x+h x /z->o h-h=limd h(x+n)x=-lim/?->o 3+蛆教师提 示指导课堂练 习，课堂 展示五、课堂小结（5分钟）教师语 言总结学生记 录理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理解函数 的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件，了 解函数可导的充要条件：/'（Xo）存在0九'30）=尤'（＞0）。

掌握用导数 定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数，理解导数的变化率的概 念，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题同时加强对学生的 教育引导，让学生知道专业学习和高等数学学习的重要性六. 作业布置（5分钟） 习题2.1A 组：1、4、5 题小结理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义，理 解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面 非充分条件，了解函数可导的充要条件：/''(Xo)存在=兀'(Xo)= Z_'3o)掌握用导数定义求函数的导数的三步曲，会求函数的导数， 理解导数的变化率的概念，会用导数(变化率)描述一些简单 的实际问题.作业习题2.1A 组：1、4、5 题教学反馈教研室 审阅意见。