自然数平方和公式的推导与证明 新课标.doc

自然数平方和公式的推导与证明 新课标12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容     设：S=12+22+32+…+n2    另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n      = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]      = n(2n2+3n+1)      = n(n+1)(2n+1)     S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数                    由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13                =(n+1)(n2-n+1)                    +               (n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)                    +               (n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)                    +                    .                    .                    .                    +               (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]  =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：   2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2     =n2(n+1)2/2即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。

自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+…+(2n)3有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3                 =2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2                                     =n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。