2021-2022学年广东省东莞市高一下学期期末数学试题【含答案】.doc

2021-2022学年广东省东莞市高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限C【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.2．已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（       ）A． B． C． D．D【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.【详解】，.故选：D.3．已知树人中学高一年级总共有学生人，其中男生人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多人，则（       ）A． B． C． D．B【分析】根据分层抽样的性质直接计算.【详解】由已知可得参赛的男生有人，故参赛的女生有人，参赛人数共人，所以高一年级总人数为人，即，故选：B.4．复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（       ）A． B． C． D．C【分析】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且，所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，所以所求面积为，故选：C5．已知某学校高一年级共有1000名学生，如图是该校高一年级学生某次体育测试成绩的频率分布直方图，则估计排名第200名的学生的体育测试成绩为（       ）A．89分 B．88分 C．87分 D．86分B【分析】根据题意确定出前200名的频率，进而判断出第200名的区间，然后根据频率求出答案.【详解】由题意，，的频率为：0.02×5=0.1，的频率为：0.05×5=0.25，则0.1<0.2<0.25，则第100名在中，设分数为x，的频率为：，所以.故选：B.6．已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（       ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则D【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可【详解】对A，若，，则或，故A错误；对B，若，，则或，故B错误；对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；故选：D7．如图，在钝角中，角所对的边分别是，，过点作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（       ）A． B．C． D．A【分析】由向量数量积的运算律和定义可化简等式得到，由此可得结论.【详解】，，，又，，即.故选：A.8．一个袋子中有标号分别为，，，的个小球，除标号外没有其它差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个小球，记事件“第一次摸出小球的标号小于”，事件“第二次摸出小球的标号小于”，事件“摸出的两个小球的标号之和为”，事件“摸出的两个小球的标号之积小于”，则（       ）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立B【分析】先利用古典概型的概率公式分别求出，，，，，，，，然后再利用相互独立事件的概率公式依次判断四个选项，即可得到答案.【详解】由题意可知，，，，，，A选项错误；，B选项正确；，C选项错误；，D选项错误；故选：B.二、多选题9．在中，角，，所对的边分别是，，，则下列结论一定正确的是（       ）A． B．C． D．BC【分析】对于AB，由于，则，再由正弦定理得，从而可进行判断，对于CD，由正弦定理的变形式判断即可【详解】在中，因为，所以，因为由正弦定理得，所以，所以，所以B正确，A错误，由正弦定理得，所以，所以C正确，D错误，故选：BC10．已知共面的三个向量，，，则下列说法正确的是（       ）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若存在唯一实数使，则AD【分析】根据平面向量相等的定义即可判断A；根据平面向量共线的定义即可判断B；根据平面向量数量积的定义即可判断C；根据平面向量共线定理即可判断D.【详解】解：因为，，所以的方向与模都相同，所以，故A正确；对于B，若，，当时，的方向不能确定，所以无法判断是否共线，故B错误；对于C，因为，所以，即，无法判断是否相等，故C错误；对于D，若存在唯一实数使，则，故D正确.故选：AD.11．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（       ）A．中位数为3，众数为5 B．中位数为3，极差为3C．中位数为1，平均数为2 D．平均数为3，方差为2AD【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可【详解】对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，故选：AD12．如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（       ）A．与异面B．平面C．平面平面D．与平面所成的角的正弦值是ABD【分析】由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知平面，由线面平行性质得，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为，由长度关系可求得D正确.【详解】由展开图还原正方体如下图所示，其中分别为中点，对于A，平面，平面，，与为异面直线，A正确；对于B，连接，分别为中点，，，又，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，B正确；对于C，假设平面平面成立，平面，平面，平面，平面，平面平面，，显然不成立，假设错误，平面与平面不垂直，C错误；对于D，连接，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，平面，即为直线与平面所成角，设正方体棱长为，，，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.故选：ABD.关键点点睛：本题考查立体几何中的线线、线面与面面关系有关命题的判断，解题关键是能够根据展开图准确还原正方体，从而确定平面图中的点的具体位置，结合平行与垂直关系相关判定与性质定理得到结果.三、填空题13．已知球的表面积为,则该球的体积为______.【分析】设球半径为，由球的表面积求出，然后可得球的体积．【详解】设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故答案为．解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果．14．“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么游戏时“双方所出的手势不同”的概率为______.【分析】首先确定所有手势的结果种数和手势相同的种数，根据古典概型和对立事件概率公式可求得结果.【详解】游戏时，双方所出的手势共有种；其中“双方所出的手势相同”有种；“双方所出的手势不同”的概率.故答案为.15．若四面体各棱的长是2或4，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能为______（只需写出一个可能的值），或，或【分析】根据题意画出图形，求解其表面积即可【详解】由四面体各棱的长是2或4，且该四面体不是正四面体，如图①四面体各棱中有一条为2，另五条为4，不妨取三条侧棱长均为4，底面边长，则其表面积为，②四面体各棱中有两条为2，四条为4，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为2的必为对棱，不妨设,则四个面全等，所以其表面积为，③四面体各棱中有三条为2，三条为4，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为2的必在同一个面内，不妨设,所以其表面积为，故，或，或四、双空题16．如图是正八边形，其中是该正八边形的中心，是正八边形八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的最小值为______.          【分析】根据正八边形的面积为，根据三角形的面积公式求出的面积即可；根据，求出，则要求的最小值，只要求出的最小值即可.【详解】解：在正八边形中，，所以正八边形的面积为；因为，所以，又，所以，所以，因为，又为定值，所以取最小值时，即取最小值，设，所以，所以取最小值时，即取最小值，又表示向量在向量上的投影，故取最小值时，点不可能在路径上（在此路径上为锐角），所以点在路径上，延长与，延长线交于点，则为等腰直角三角形，且，所以，所以当点在上时，向量在向量上的投影最小，即最小，即，所以，所以.故；.五、解答题17．已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中是实数(1)求和的值；(2)若是纯虚数，求实数的值(1)，(2)【分析】（1）由为方程的根可知是方程的另一根，利用韦达定理可得结果；（2）由复数乘法运算化简，由纯虚数定义可构造方程求得的值.【详解】(1)是方程的根，是方程的另一根，.(2)由（1）知：；是纯虚数，，解得.18．某校组织高一年级1000名学生参加了跳绳比赛活动，以每个学生的跳绳个数作为最终比赛成绩.现从中机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩，，，，，分组进行统计，得到比赛成绩的频数分布表.记比赛成绩大于或等于160的为“优秀”.比赛成绩人数410216315(1)估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数；(2)从样本比赛成绩在和的学生中随机抽取2人，求两人比赛成绩都为“优秀”的概率.(1)360人(2)【分析】(1)将频率作为概率即可算出高一年级优秀人数；(2)用枚举法求出基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.【详解】(1)由频数分布表可知，样本比赛成绩大于或等于160的学生有3+15=18人，       所以估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为1000×＝360人；(2)设“两人比赛成绩都为‘优秀’”为事件M，       记比赛成绩在的学生为A1，A2，比赛成绩在的学生为B1，B2，B3，       则从这5个学生中随机抽取2人的样本空间Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，M={（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}，       所以，由古典概型得P（M）；综上，估计该校高一年级学生比赛成绩为“优秀”的人数为360，,两人比赛成绩都为优秀的概率为 .19．如图，在四边形中，，，，且(1)用表示。