高中数学北师大版选修2－3同步导学案：2.5.2 离散型随机变量的方差.doc

2019年北师大版精品数学资料第2课时　离散型随机变量的方差1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理　离散型随机变量的方差的概念阅读教材P61～P62“习题2－5”以上部分，完成下列问题．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX＝________.(2)标准差为________．【答案】　(1)E(X－EX)2　(2)2．方差的性质D(aX＋b)＝________.【答案】　a2DX3．方差的意义方差可用来衡量X与EX的________，方差越小，则随机变量的取值就越__________________；方差越大，则随机变量的取值就越________．【答案】　平均偏离程度　集中在其均值周围　分散1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)(2)若X是常数，则DX＝0.(　　)(3)若DX＝0，则X是常数．(　　)(4)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．已知随机变量X的分布列是X123P(X)0.40.20.4则DX等于(　　)A．0　　　　 B．0.8C．1 D．2【解析】　∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8.【答案】　B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　[小组合作型]求离散型随机变量的方差　编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.【精彩点拨】　首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出Eξ和Dξ的值．【自主解答】　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(ξ＝0)＝＝；ξ＝1表示三位学生只有1位学生坐对了，则P(ξ＝1)＝＝；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝.所以，ξ的分布列为ξ013PEξ＝0×＋1×＋3×＝1；Dξ＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下：(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是超几何分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，(1)若X服从超几何分布，则DX＝n·.(2)若X～B(n，p)，则DX＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况．4．对于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2DX求解．[再练一题]1．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求Eξ和Dξ.【解】　这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝＝.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝＝.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝＝.∴ξ的分布列为ξ6912P∴Eξ＝6×＋9×＋12×＝7.8.Dξ＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.二项分布的方差　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ为3，方差Dξ为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．【精彩点拨】　(1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解．(2)利用互斥事件的概率计算公式求解．【自主解答】　由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.ξ的分布列为ξ0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝.所以需要补种沙柳的概率为.对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2Dξ，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.[再练一题]2．(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，则p等于(　　)A.　　　　　　 B.C. D.【解析】　np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝，∴p＝.【答案】　A(2)已知η的分布列为：η010205060P①求方差；②设Y＝2η－Eη，求DY.【解】　①∵Eη＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，Dη＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.②∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536.[探究共研型]均值、方差的综合应用探究1　A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求EX1，EX2.【提示】　EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2　在探究1中，由EX1＝EX2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】　不能．因为EX1＝EX2.探究3　在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？【提示】　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】　(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】　(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，DξDY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．[构建·体系]1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差Dξ等于(　　)A．m　　　 B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)【解析】　随机变量ξ的分布列为：ξ01P1－mm∴Eξ＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴Dξ＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．【答案】　D2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则EY，DY分别是(　　)A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6【解析】　由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得EY＝8－EX＝8－10×0.6＝2，DY＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】　B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1>DX2，则自动包装机________的质量较好. 【导学号：62690044】【解析】　因为EX1＝EX2，DX1>DX2，故乙包装机的质量稳定．【答案】　乙4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：X－1012Pabc若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.【解析】　由题意，解得a＝，b＝c＝.【答案】　　5．已知某运动员投篮命中率p＝0.6，(1)求一次投篮命中次。