难点突破立体图形的外接球与内切球问题.pdf

2019 届高三数学第一轮复习教学案 18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题 一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大） ；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222Rdr． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切． 二、多面体的外接球（球包体） 模型 1：球包直柱（直锥） ：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱） 球包 直柱 球径公式：222hRr， （r为底面外接圆半径） 球包正方体 球包长方体 球包四棱柱 球包三棱柱 球包直锥 三棱锥 四棱锥 r速算 模型 2： “顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线） 实例：正棱锥 球径计算方程：222hRrR2222202hrhhRrRh， （h为棱锥的高，r为底面外接圆半径） 特别地， （1）边长为a正四面体的外接球半径：R ______________． （2）底面边长为a，高为h的正三棱锥的外接球半径：R __________． （3）底面边长为a，高为h的正四棱锥的外接球半径：R __________． 例：1． （2017 年全国卷 III 第 8 题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D． 3424【解析】模式辨识： “球包体”中的“垂底侧边棱（母线） ”类型，1h ，1R ，底面半径为r，则由222hRr得：222213124rr，234Vr h． 2． （2010 年全国新课标卷第 10 题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 【解析】 “球包体”中的“垂底侧边棱”类型，ha，33ra，222222724312haaaRr， 所以该球的表面积2227744123aaSR．答案 B． 3． （2014 年全国大纲卷第 8 题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 A． B． C． D． 【解析】模式辨识： “球包体”中的“顶点连心锥” ，4h ，2 222r ，则221629284hrRh， 所以2818144164SR，答案：A． 4． （2013 年全国卷 I 第 6 题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A．35003cm B．38663cm C．313723cm D．320483cm 【解析】设水面与球的接触点（切点）为P，球心为O，则PO垂直于正方体的上表面，依题意P到正方体上表面的距离为2h ，球与正方体上表面相交圆的半径4r ，有：2222RrR， 2454rR，所以球的体积3450033VR． 三、定心大法：球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上． 两圆定心法：如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心． 例 2：1．已知边长为2 3的棱形ABCD中，60，现沿对角线BD折起，使得二面角ABDC为120，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．20 B．24 C．28 D．32 a2a273a2113a25 a8141692742．在矩形ABCD中，4AB ，3BC ，沿AC将矩形折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为___________． 3．在边长为1的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线将菱形折成直二面角ABDC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_____________． 四、正多面体的内切球（体中球） 锥体的内切球： R ____________． 圆锥的内切球： R  边长为a的正方体： 2aR  等边圆柱（母线a） ： R 2a． 边长a的正八面体： R  五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球） 正四面体边长为a，球半径R  正方体边长为a，球半径R  正四面体边长为a，球半径R  例 3：1．一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为_________． 2．某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______． 3． （2016 年全国卷 III 第 10 题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB ，8BC ，13AA ，则V的最大值是 A． B． C． D． 【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有1368 106 8222AARR  ，故当球半径为32时球的体积最大为344273382VR．答案 B． 练习： 1．（2015年全国卷II第9题） 已知， 是球的球面上两点，， 为该球面上的动点， 若三棱锥体积的最大值为 36，则球的表面积为 A． B． C． D． 2． （2016 年福建漳州市 5 月质检）三棱锥SABC中，SB 平面ABC，5SB ，ABC是边长为3的正三角形，则三棱锥SABC的外接球的表面积为（ ） A．3 B．5 C．9 D．12 3． （2014 年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2013年辽宁卷理10） 已知三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上， 若3AB ，111ABCABC4926323A BO90AOB COABCO36641442564AC ，ABAC，112AA ，则球O的半径为（ ） A．3 172 B．2 10 C．132 D．3 10 5． （2012 年全国新课标卷第 11 题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为 的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A． B． C． D． 6．在正三棱锥PABC中，3PAPBPC，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A． B．3 C．4 D．43 7．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A．323 B．4 C．2 D．43 8． （2017 年福建省质检） ．空间四边形 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且,EFAB EFCD，若8,4ABCDEF，则该球的半径等于 A．65 216 B．65 28 C．652 D．65 9．若三棱锥PABC的最长的棱2PA ，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是__________． 10． （2008 年高考浙江卷理 14）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面ABC，ABBC，3DAABBC，则球O的体积为____________． 11． （2016 年东北三省三校联考）三棱柱111ABCABC各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，120ACB，2 3CACB，14AA ，则这个球的表面积为____________． 12． 在三棱柱111ABCABC中， 侧棱1AA垂直底面，90ACB，30BAC，1BC ， 且三棱柱111ABCABC的体积为3，则三棱柱111ABCABC的外接球表面积为_________． 13．在正三棱锥SABC中，M，N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱2 3SA ，则正三棱锥SABC外接球的表面积是____________． 14．在三棱锥ABCD中，2ABCD，5ADBC，7ACBD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为__________． 15． （2017 年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______． 16． （2017 年江苏卷）如图，在圆柱12OO内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记SABCOABC1SCO2SC 26362322圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是_____________． 。