知识梳理-正弦、余弦定理及解三角形-基础.doc

正弦、余弦定理及解三角形编稿：李霞　 　审稿：孙永钊【考纲规定】１、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决某些简朴的三角形度量问题．2、可以运用正弦定理、余弦定理等知识和措施解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.【知识网络】应用解三角形正弦定理余弦定理【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系商定：的三个内角、、所相应的三边分别为、、．1.边的关系:(1) 两边之和不小于第三边:,,;两边之差不不小于第三边:,，；（2) 勾股定理:中，.2．角的关系: 中,,=（１)互补关系：（２)互余关系：3.直角三角形中的边与角之间的关系中，（如图），有：,．要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理:在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即： 　(为的外接圆半径)2．　余弦定理:三角形任意一边的平方等于其她两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即: 要点诠释:（1）正弦定理适合于任何三角形;每个等式可视为一种方程:知三求一.(２）运用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 　①已知两个角及任意—边，求其她两边和另一角；　　 　②已知两边和其中—边的对角，求其她两个角及另一边.(3)运用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知三角形的两条边及夹角,求第三条边及其她两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(４) 运用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊状况，．②在中,,所觉得锐角;若，，同理可得角、为锐角．当，，都成立时，为锐角三角形．③在中,若，所觉得钝角,则是钝角三角形．同理:若，则是钝角三角形且为钝角； 　　 若，则是钝角三角形且为钝角.要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理,有解时，只有一解．2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的状况可分为如下状况，在中，已知和角时,解的状况如下：　(1)若A为锐角时：如图：（2)若Ａ为直角或钝角时：３.已知三边,用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角,用余弦定理，必有一解.要点诠释：1.在运用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角,进而求出其她的边和角时,有时也许浮现一解、两解或无解状况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的状况，作出对的取舍．2．在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系运用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会漏掉一种形状的也许．要点四、三角形面积公式 1.(表达边上的高);2.；３．;4.;5． 要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目的视线在同一铅垂平面内的水平视线和目的视线的夹角,目的视线在水平视线上方时叫仰角,目的视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示：２.方位角:一般指正北方向线顺时针到目的方向线的水平角. 方位角的取值范畴为0°～360°．如图,点的方位角是。

3. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母ｉ表达坡比是坡角的正切值典型例题】类型一、运用正弦、余弦定理解三角形例１. 在中，已知下列条件,解三角形.(1）， , ; (2),，.【思路点拨】画出示意图(1)正弦定理的运用；(2)余弦定理的运用．【解析】（1）∵，　法一：∵， ∴或,①当时,,；②当时,(舍去)．法二:∵，∴，即, ∴,,.（２)∵∴法一：∵ﻩ∴,法二:∵又∵,即∴,有,∴，.【总结升华】①解三角形时，可以根据题意画出恰当的示意图,然后对的选择正、余弦定理解答；②解三角形时，要留意三角形内角和为180°，同一种三角形中大边对大角等性质的应用．举一反三：【变式１】在△AＢC中，a＝，ｂ＝，B=45°.求角A,C和边c.【解析】由正弦定理得,,∴ｓin Ａ＝.∵a>b，∴Ａ=６0°或A＝12０°.当A=60°时,Ｃ＝180°－４5°-60°=７5°，ｃ=；当A=120°时,C=180°-45°－120°＝15°,ｃ=．【变式2】在△ABC中，A=60°，B＝75°，a＝10,则c等于（ ).A.　 Ｂ. Ｃ. Ｄ.【答案】C【解析】由A+B＋C=1８0°,知C=45°，由正弦定理得:,即∴c=．【高清课堂：正、余弦定理及解三角形４０1223 例1】【变式3】 在△ABＣ中,AＢ＝2,AＣ＝3,,则BC＝( 　)A． 　 B. 　 　 C.　 D. 【答案】Ａ【解析】∵， ∴,∴，由余弦定理有∴，从而BC=.例2. 在△ABC中，已知，试判断△ＡBC的形状．【思路点拨】将等式左边正切化为正弦、余弦形式，右边运用正弦定理将边化为角的形式，化简再判断.也可以直接将等式左边化为边的形式判断．【解析】措施一：化边为角由题意得　，化简整顿得sｉnAｃｏｓA=sｉnBｃosB即sin2A=siｎ２B∴２A=2Ｂ或2A＋2B=π ∴A＝B或,∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.措施二:化角为边由已知得结合正、余弦定理得，整顿得　 ∴ 即三角形为等腰三角形或直角三角形【总结升华】根据正、余弦定理定理的构造特点,若在式子中浮现的为与边有关的一次式，则一般多用正弦定理，;若在式子中浮现的为与边有关的二次式，则一般多用余弦定理.举一反三：【变式１】在△AＢＣ中,若2cosBsｉｎA＝sｉnC,则△ＡBC的形状一定是( 　 ）Ａ．等腰直角三角形　 B．等腰三角形 　　Ｃ．直角三角形　 D.等边三角形【答案】Ｂ【解析】解法一:由已知结合正、余弦定理得，整顿得a２=b2，∴a=ｂ，∴△ＡBＣ一定是等腰三角形．解法二:∵,∴由已知得sｉnAｃｏsB―coｓＡsinＢ=０，即sin(A―B）＝0。

又A―B∈（-π，π），∴A－B＝０，即A=B,∴△ABC为等腰三角形.【变式２】在中,若b=asinC,c=acoｓB，试判断的形状.【答案】为等腰直角三角形【解析】由b=asinＣ可知 ,由c＝aｃosB可知整顿得，即三角形一定是直角三角形,∠Ａ＝,∴ｓinC＝ｓiｎB∴∠B=∠C,∴△AＢＣ为等腰直角三角形．类型二、解三角形及其综合应用例３.　在△ＡＢC中，内角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别为a、b、ｃ，已知,,且ｃ=１1）求tanA；（２)求△ABC的面积.【思路点拨】（1)运用两角和的正切公式表达出，由三角形的内角和定理及诱导公式得到的值；(2）由的值求得角A是一种特殊角，再由的值得到B和C的范畴及大小关系,分别算出，的值,运用正弦定理可求得ａ的值,最后运用三角形面积公式可求出面积.【解析】(1)由于，,，代入得到由于A=180°―B―C，因此2）0°＜Ａ＜１８０°,由(１）结论可得：Ａ=135°.由于，因此0°＜C