讨论隐函数的存在性连续性与可微性不仅是出于深刻了ppt课件.ppt
39页
隐函数是函数关系的另一种表现方式.讨论隐函数的存在性、延续性与可微性,不仅是出于深化了解这类函数本身的需求,同时又为后面研讨隐函数组的存在性问题打好了根底.§11.1 §11.1 隐函数的存在性函数的存在性四、四、隐函数求函数求导数数举例例 一、一、隐函数概念函数概念二、二、隐函数存在性条件分析函数存在性条件分析 三、三、隐函数定理函数定理第十一章第十一章 隐函数函数 方程式所确定的函数方程式所确定的函数, ,通常称通常称为隐函数．例如：函数．例如： 一、一、隐函数概念函数概念显函数：因函数：因变量可由自量可由自变量的某一分析式来表示量的某一分析式来表示的函数称的函数称为显函数．例如：函数．例如： 隐函数：自函数：自变量与因量与因变量之量之间的关系是由某一个的关系是由某一个隐函数普通定义：隐函数普通定义： 那么成立恒等式那么成立恒等式有独一确定的有独一确定的与之对应与之对应, 能使能使 且满足方程且满足方程 (1) , 那么称由方程那么称由方程 (1) 确定了一个定义在确定了一个定义在 , 值域含值域含于于的的隐函数函数. 假假设把此把此隐函数函数记为 取值范围．例如由方程 可确定如下两取值范围．例如由方程 可确定如下两 个函数：个函数： 注注2 不是任一方程 不是任一方程 都能确定隐函数都能确定隐函数, 例如 例如 显然不能确定任何隐函数．显然不能确定任何隐函数． 注注1 隐函数普通不易化函数普通不易化为显函数，也不一定需求函数，也不一定需求 化为显函数．上面把隐函数仍记为化为显函数．上面把隐函数仍记为 ，这，这 与它能否用与它能否用显函数表示无关．函数表示无关． 注注3 隐函数普通需求同函数普通需求同时指出自指出自变量与因量与因变量的量的 在在§2 还要要讨论由多个方程确定由多个方程确定隐函数函数组的的问题. 注注4 类似地可定义多元隐函数．例如类似地可定义多元隐函数．例如: 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 由方程由方程 确定的隐函数确定的隐函数 等等等等. 二、二、隐函数存在性条件分析函数存在性条件分析 条件时，由方程条件时，由方程 (1) 能确定隐函数能确定隐函数 , 并并使使 要讨论的问题是：当函数 要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些满足怎样一些 该隐函数具有延函数具有延续、可微等良好性、可微等良好性质? (a) 把上述 看作曲面把上述 看作曲面 与坐标与坐标 平面 的交线，故至少要求该交集非空，即平面 的交线，故至少要求该交集非空，即 ，满足，满足 延续是合理的．延续是合理的．(b) 为使为使 在在 延续，故要求延续，故要求 在点在点 由此可见， 是一个重要条件．由此可见， 是一个重要条件．点点 存在切线，而此切线是曲面存在切线，而此切线是曲面 在点在点 的切平面与 的切平面与 的交线，故应要求的交线，故应要求 在在 (c) 为使为使 在在 可导，即曲线 在可导，即曲线 在 点 点 可微，且可微，且 (d) 在以上条件下，在以上条件下，经过复合求复合求导数数, 由由 (1) 得到得到 三、三、隐函数定理函数定理定理定理11.1 ( 隐函数存在独一性定理函数存在独一性定理 ) 设方程方程 (1) 中中 的函数 的函数 满足以下四个条件：满足以下四个条件： (i) 在以 在以 为内点的某区域为内点的某区域 上延续；上延续； (ii) ( 初始条件初始条件 )；；(iii) 在在 内存在延续的偏导数 内存在延续的偏导数 ；； (iv) 那么有如下那么有如下结论成立：成立： 在在 上延续．上延续．独一地确定了一个独一地确定了一个隐函数函数 它它满足：足： , 且当且当 时时, 使得使得 证 首先首先证明明隐函数的存在与独一性． 函数的存在与独一性． 证明明过程程归结起来有以下四个步起来有以下四个步骤 ( 见图11－－1 )：： 存在某邻域存在某邻域 ，在 ，在 内由方程内由方程 (1) (c) 同号两边伸 ＋＋＋＋＋＋＋＋－－ －－ －－ －－(d) 利用介值性 利用介值性 ＋＋＋＋＋＋＋＋－－ －－ －－ －－ (b) 正、负上下分 ＋＋＋＋＋＋ ___+_0 (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 图 11－－1 (a) “一点正一点正, 一片正一片正 〞 〞 由条件由条件 (iv), 无妨无妨设 由于由于 延续，所以根据延续，所以根据 保号性，保号性， 使得使得 (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (b) 正、负上下分 ＋＋＋＋＋＋ ___+_0(b) “正、正、负上下分上下分 〞〞 因因 故故 把把 看作看作 的函数，它在的函数，它在 上上 严厉增，且延增，且延续 ( 据条件据条件 (i) )．． 特别对于函数特别对于函数 由条由条 由于由于 关于关于 延续，故由延续，故由 (b) 的结论，根据保号性， 的结论，根据保号性， 使得使得 (c) 同号两边伸 ＋＋＋＋＋＋＋＋－－ －－ －－ －－(c) “同号两同号两边伸〞伸〞 (d) “利用介利用介值性〞性〞 因因 关于 关于 延续延续, 且严且严 格增，故由格增，故由 (c) 的的结论，根据介，根据介值性定理性定理, 存在惟存在惟 (d) 利用介值性 利用介值性 ＋＋＋＋＋＋＋＋－－ －－ －－ －－满足满足一的一的 就就证得存在独一的得存在独一的隐函数函数: 由 的恣意性由 的恣意性, 这这假设记假设记 那么定理结论那么定理结论 得证． 得证． 下面再来下面再来证明上述明上述隐函数的延函数的延续性性: 欲证上述 欲证上述 在 在 延续延续. 类似于前面类似于前面 (c) ，， 使得使得由 由 对 对 严厉增，而严厉增，而 推知推知 ＋＋＋＋－－－－..图图 11－－2足够小，使得足够小，使得 如图如图 11－－2 所示所示,取取 在在 上处处延续．上处处延续．因此 因此 在 延续在 延续. 由 的恣意性由 的恣意性, 便证得便证得 且当 且当 时，有时，有 类似于前面似于前面 (d) ，由于，由于隐函数独一，故有函数独一，故有 注注1 定理定理 11.1 的条件的条件 (i) ～～ (iv) 既是充分条件既是充分条件, 又又 是一是一组非常重要的条件非常重要的条件. 例如：例如： ①① 在点在点 虽虽 不满足条件不满足条件 (iv)，但仍能确定独一的隐函数，但仍能确定独一的隐函数 ② (② (双双纽线), ), 在在 点 点 同样不满足同样不满足条件条件 (iv); 如如图11－－3 所示所示, 在在该点无点无论多多图图 11－－3么小的么小的邻域内域内, 确确实 用用这两个两个较强的条件，一那么是运用的条件，一那么是运用时便于便于检验，， 的作用．的作用．二那么是在后面的定理二那么是在后面的定理 11.2 中它中它们还将起到本将起到本质性性 注注3 读者必需留意者必需留意, 定理定理 11.1 是一个部分性的是一个部分性的隐 函数存在定理．例如从以上双函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出形看出: 除了除了 三点以外三点以外, 曲线上其他各点处都曲线上其他各点处都 注注 2 条件条件 (iii) 、、 (iv) 在在证明中只是用来保明中只是用来保证在在邻 域域 内 内 关于 为严厉单调．之所以采关于 为严厉单调．之所以采 不能确定独一的隐函数不能确定独一的隐函数. 存在部分隐函数存在部分隐函数 ( 这不难用定理这不难用定理 11.1 加加 以以检验，，见后面第四段的例１后面第四段的例１)．． 注注4 在方程在方程 中中, 与与 的位置是平等的位置是平等 的的. 当条件当条件 (iii) 、、 (iv) 改改为 时，将存在部分的延续隐函数时，将存在部分的延续隐函数 延续延续, 且且 “ 〞 〞 定理定理 11.2 ( 隐函数可微性定理隐函数可微性定理 ) 设函数设函数 满 满 足定理足定理 11.1 中的条件中的条件 (i) ～～ (iv), 在在 内还存在内还存在连连 续的续的 . 那么由方程那么由方程 所确定的所确定的隐隐 函数函数 在在 I 内有延续的导函数，且内有延续的导函数，且 ( 注注: 其中其中示于定理示于定理11.1 的的证明明 (d) ). 运用微分中值定理运用微分中值定理, 使得使得 证证 设 那么设 那么 由条件易知由条件易知 F 可微，并有可微，并有 显然 也是延续函数．显然 也是延续函数．因 因 都是延续函数 都是延续函数, 故 故 时 时 并有并有 (3)注注1 当 当 存在二阶延续偏导数时，所得隐函存在二阶延续偏导数时，所得隐函 数也二数也二阶可可导．运用两次复合求．运用两次复合求导法，得法，得 将将 (2) 式代入上式，式代入上式，经整理后得到整理后得到 注注2 利用公式利用公式 (2) , (3) 求求隐函数的极函数的极值:(a) 求使求使 的点的点 , 即即 的解．的解． (b) 在点 在点 处因 ，而使处因 ，而使 (3) 式化简为式化简为 (4)(c) 由极值判别法由极值判别法, 当当 时时, 隐函隐函数数 在在 获得极大值获得极大值(或极小值或极小值) 设在以点 设在以点 为内点的某区域为内点的某区域 上 上, 那么存在某邻域那么存在某邻域 在其内存在独一的、在其内存在独一的、连连 续可微的隐函数 续可微的隐函数 ，且有，且有注注3 由方程由方程 (5)确定隐函数 的相关定理简述如下：确定隐函数 的相关定理简述如下： F 的一切一的一切一阶偏偏导数都延数都延续，并，并满足足 (6)更普通地，由方程更普通地，由方程 确定隐函数确定隐函数 的相关定理的相关定理, 见华见华 师大下册大下册 p.149 上的定理上的定理18.3 , 这里不再里不再详述述. 解解 令令 它有延续的它有延续的 求解 求解 分别得到分别得到 四、四、隐函数求函数求导数数举例例 例例1 试讨论双双纽线方程方程 所能确定的隐函数所能确定的隐函数 再思索隐函数 的极值．由于再思索隐函数 的极值．由于 在其他一切点在其他一切点处都存在部分的可微都存在部分的可微隐函数函数所以，除 所以，除 这三点外，曲线上在其他这三点外，曲线上在其他 一切点处都存在部分的可微隐函数一切点处都存在部分的可微隐函数 同理，除同理，除 这五点外，曲线上这五点外，曲线上 性又知性又知, 各点处都能确定部分的隐函数 ．各点处都能确定部分的隐函数 ．例例2 讨论笛卡儿叶形笛卡儿叶形线(图11－－4) (7)所确定的隐函数 所确定的隐函数 的存在的存在 性，并求其一性，并求其一阶、二、二阶导数．数． 解解 令令 先求出在曲线先求出在曲线 (7) 上使上使 的点为的点为 . 除此两点外, 方程 (7) 在其他 图图 11－－4 然后再算出然后再算出: 为了运用公式了运用公式 (3) , 先算出先算出: 由公式由公式 (2) 求得求得 平切平切线和垂直切和垂直切线．．类似于例类似于例1 的方法的方法, 求出曲线上使求出曲线上使 的点为的点为 在几何上，它是两条曲线在几何上，它是两条曲线 和和的交点的交点 (见图见图). 容易验证容易验证 所以所以 隐函数 在点隐函数 在点 获得极大值获得极大值 以上讨论同时阐明以上讨论同时阐明, 该曲线在点该曲线在点 和 和 分别有水 分别有水 例例3 试求由方程试求由方程 所确定的隐所确定的隐 函数函数 在点在点 处的全微分．处的全微分． 解法解法 1 ( 方式方式计算法算法 ) 对方程两方程两边微分，得微分，得将 将 代入，又得代入，又得 解法解法 2 ( 隐函数法函数法 ) 设 由于由于 上处处延续上处处延续, 而而 因此在点因此在点 P 附近能独一地确定延附近能独一地确定延续可微的可微的隐函数函数 且可求得它的偏导数如下：且可求得它的偏导数如下： 以以 代入代入, 便得到便得到 例例4 用用隐函数方法函数方法处置反函数的存在性及其置反函数的存在性及其导数数. 解解 设设 在 在 的某邻域内有延续的导函数的某邻域内有延续的导函数 且 且 如今来调查方程如今来调查方程 由于由于 因此只需 因此只需 就能满足隐函数定理的一切就能满足隐函数定理的一切 条件条件, 由方程由方程 (8) 便能确定延便能确定延续可微的可微的隐函数函数 (8)因它满足因它满足 故它就是故它就是 的反函数的反函数. 运用隐函数求导公式运用隐函数求导公式, 可得可得 , 故将此两式相加便得所需结果故将此两式相加便得所需结果. 例例 5 设设 是由方程是由方程 所确定的所确定的隐函数函数, 其中其中 F 具有延具有延续的二的二阶偏偏导数数, 试证试证: 证证 易知易知 于是有于是有 由此得到由此得到 再分别对再分别对 x 与与 y 求偏导数求偏导数, 又得又得 因在假设条件下因在假设条件下, 1．在．在隐函数的定函数的定义中，中，为什么什么强调必需指出必需指出3．设 能确定延续可微的隐函数．设 能确定延续可微的隐函数:( 由此能阐明些什么由此能阐明些什么? )验证：验证：2．在定理．在定理 18.1 对隐函数延函数延续性性进展展证明明时，，复习思索题因因变量的取量的取值范范围？？( 结合例合例题加以加以阐明明 . )最后最后为什么要用到什么要用到隐函数的独一性？函数的独一性？ 4. 试对例例3 的两种解法的两种解法 (方式方式计算法与算法与隐函数函数 法法) 作一比作一比较, 指出两者各有哪些指出两者各有哪些优缺陷缺陷? 。
