大题规范解答-全得分系列之(六)空间位置关系证明的答题模板.pdf

Go the distance 空间的位置关系， 特别是平行与垂直的位置关系是整个立体几何的基础， 也是立体几何的重点， 是考查空间想象能力的“主战场”， 所以空间直线、 平面的位置关系， 特别是线面、面面的平行与垂直关系的判定与证明， 成为立体几何复习的重点内容之一， 每年的高考数学试题对立体几何的考查，一方面以选择题、填空题的形式直接考查线线、线面、面面的位置关系， 另一方面以多面体、 棱柱、 棱锥为载体， 判断与证明几何体内线面的平行与垂直关系． “大题规范解答——得全分”系列之(六) 空间位置关系证明的答题模板 [典例] (2012 山东高考· 满分 12 分)如图， 几何体 E－ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120° ，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC. [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 观察条件 ― → △ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD―――――→取BD中点O连接EO，COCO⊥BD―――――→EC∩CO＝CBD⊥平面EOC 2．审结论，明解题方向 观察所证结论 ― → 求证BE＝DE―――――――――――→需证明△BDE是等腰三角形应证明EO⊥BD 3．建联系，找解题突破口 CB＝CD ―――――→O为BD中点CO⊥BD ―――→EC⊥BDBD⊥平面EOC――――――→OE⊂平面EOCBD⊥OE ―――――→△BDE是等腰三角形BE＝DE 1．审条件，挖解题信息 观察条件 ― → △ABD为正三角形∠BCD＝120° ，M是AE的中点―――――――→取AB的中点N，连接DM，DN，MN MN∥BE，DN⊥AB，CB⊥AB Go the distance 2．审结论，明解题方向 观察所证结论 ― → DM∥平面BEC――――――→需证面面平行或线线平行平面DMN∥平面BEC或DM平行于平面BEC内的一条线 3．建联系，找解题突破口 结合 条件 与图 形 ― ― →法一证明平面DMN∥平面BEC――――――――――→由面面平行推证线面平行DM∥平面BEC ― ― →法二在平面BEC内作辅助线EF∥DM――――――――→利用线面平行的判定DM∥平面BEC [教你准确规范解题] (1)如图，取 BD 的中点 O，连接 CO，EO. 由于 CB＝CD，所以 CO⊥BD.(1 分) 又 EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC⊂平面 EOC， 所以 BD⊥平面 EOC.(2 分) 因此 BD⊥EO. 又 O 为 BD 的中点， 所以 BE＝DE.(3 分) (2)法一：如图，取 AB 的中点 N，连接 DM，DN，MN. 因为 M 是 AE 的中点， 所以 MN∥BE.(4 分) 又 MN⊄平面 BEC，BE⊂平面 BEC， 所以 MN∥平面 BEC.(5 分) 又因为△ABD 为正三角形， 所以∠BDN＝30° .(6 分) 又 CB＝CD，∠BCD＝120° ，因此∠CBD＝30° .(7 分) 所以 DN∥BC. 又 DN⊄平面 BEC，BC⊂平面 BEC， 所以 DN∥平面 BEC.(9 分) 又 MN∩DN＝N， 所以平面 DMN∥平面 BEC.(10 分) 又 DM⊂平面 DMN， Go the distance 所以 DM∥平面 BEC.(12 分) 法二：如图，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF.(4 分) 因为 CB＝CD，∠BCD＝120° ， 所以∠CBD＝30° .(5 分) 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD＝60° ，∠ABC＝90° .(7 分) 因此∠AFB＝30° ， 所以 AB＝12AF.(9 分) 又 AB＝AD， 所以 D 为线段 AF 的中点．(10 分) 连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点，得 DM∥EF. 又 DM⊄平面 BEC，EF⊂平面 BEC，(11 分) 所以 DM∥平面 BEC.(12 分) [常见失分探因] 由条件得出BD⊥平面EOC时，易忽视EC∩CO＝C，EC⊂平面EOC这一条件. 证明 MN∥平面 BEC 时，易忽视“MN⊄平面 BEC，BE⊂平面 BEC，而直接写出 MN∥平面 BEC”. 证明平面DMN∥平面BEC时，易漏步骤“MN∩DN＝N”.——————————————[教你一个万能模板]——————————————— 第一步 审清题意 分析条件，挖掘题目中平行与垂直关系 ― → 第二步 明确方向 确定问题方向，选择证明平行或垂直的方法，必要时添加辅助线 ― → 第三步 给出证明 利用平行垂直关系的判定或性质给出问题的证明 ― → 第四步 反思回顾 查看关键点、易漏点、检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏，符号表达是否准确. 。