1-5__极限运算法则.ppt

一、极限运算法则一、极限运算法则二、求极限方法举例二、求极限方法举例三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则§2.5 极限运算法则极限运算法则一、极限四则运算法则一、极限四则运算法则一、极限四则运算法则一、极限四则运算法则定理定理1 设设 lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则则 (1) lim[ f(x) g(x)] = A   B ; (2) lim[ f(x) g(x)] = A  B; 其中其中 B  0 . 即：即： 有限个有限个函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商(分母极限分母极限不为零不为零)的极限等于极限的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商.注注: 定理定理1的结论可以推广到的结论可以推广到 有限个有限个函数情形函数情形.证证因因 lim f(x)=A, lim g(x)=B . 所以所以 f(x)=A+ (x), g(x)=B+ (x).其中其中 lim (x)=0, lim (x)=0. (1) lim[ f(x) g(x)] = A   B . 由无穷小运算法则由无穷小运算法则, 得得(1) f(x)   g(x)= [A+ (x)]  [ B+ (x)]于是于是 lim[ f(x) g(x)] = A   B =[ A   B] +[ (x)    (x)] (x)    (x)0,= lim f(x)   lim g(x) 证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则, 得得(2) f(x)   g(x)= [A+ (x)]  [ B+ (x)] (2) lim [ f(x) g(x)] = A B. 于是于是 lim[ f(x) g(x)] = A  B = AB + A (x)A (x) 0,= lim f(x)  lim g(x) +B (x) + (x)  (x)B  (x) 0, (x) (x) 0,常数因子常数因子可以提到极限记号外面可以提到极限记号外面.推论推论1 如果如果 lim f(x) 存在存在, 而而 c 为常数为常数, 则则 lim [ c f(x)]= c lim f(x) . 推论推论2 如果如果 lim f(x) 存在存在, 而而 n 是正整数是正整数, 则则 lim f n(x)= [ lim f(x)] n . lim f  n (x)= [ lim f(x)]  n, [lim f(x) 0] .lim f   (x)= [ lim f(x)]  ,   R . 定理定理2 如果如果 (x)  (x), 而而 lim  (x)=a, lim  (x)=b, 那么那么 a   b . 令令 f(x)= (x)  (x),由极限的保号性知由极限的保号性知证证:则则 f(x) 0,  0, lim f(x)= lim[ (x)  (x)]= lim (x) lim (x)= a b即即 a  b. 例例例例1* 1* 求求求求解解= 3 12  2 1+1+1=2 .结论结论1 设多项式设多项式f (x)=a0xn+a1xn 1+ +an 1x+an, 则有则有 =f(x0)=a0x0n+a1x0n 1+  +an 1x0+an二、求极限方法举例二、求极限方法举例解解= 22  5 2 +3 =  3   0,例例例例2 2 求求求求23  1Section5_3若若Q(x0)=0, 则商的法则不能应用则商的法则不能应用. 结论结论2 设有理分式函数设有理分式函数f (x)= , 且且Q(x0) 0, 则有则有 解解解解由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系, 得得因因=1 5+4 =0,  0,例例例例4 4 求求求求=2  3=  1 于是有于是有=0,商的法则商的法则不能用不能用解解解解例例例例3 3 求求求求 先先约去约去不为零的不为零的无穷小因子无穷小因子x  3后后, 再求极限再求极限.x3时时, 分子分子, 分母的极限都是零分母的极限都是零.解解x时时, 分子、分子、分母的极限均分母的极限均为无穷大为无穷大.方法方法: 先用先用x3去除分子分母去除分子分母, 分出无穷小分出无穷小再求极限再求极限无穷小因无穷小因子分出法子分出法例例例例5 5 求求求求解解解解=   .例例例例6 6 求求求求例例例例2* 2* 求求求求=0.=0.解解例例3* 求求结论结论3: 设设a0  0, b0 0, m, n则有为非负整数则有为非负整数, 则则 n = m,n > m,0,n < m, ,例例4* 求求解解=   .定理定理1 设设 lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则则 (1) lim[ f(x) g(x)] = A   B ; (2) lim[ f(x) g(x)] = A  B; 其中其中 B  0 . 推论推论 如果如果 lim f(x) 存在存在, 而而 c 为常数为常数, n 是正整是正整数数, 则则 lim [c f(x)]= c lim f(x) . lim f n(x)= [ lim f(x)] n . lim f   (x)= [ lim f(x)]  ,   R . 一、极限一、极限一、极限一、极限的的四则运算法则四则运算法则四则运算法则四则运算法则2、结论、结论:Section5_3 (2) 设有理分式函数设有理分式函数f (x)= , 且且Q(x0) 0, 则有则有 (1) 设多项式设多项式f (x)=a0xn+a1xn 1+ +an 1x+an, 则有则有 =f(x0)=a0xn+a1x0n 1+  +an 1x0+an.(3) 设设a0  0, b0 0, m, n则有为非负整数则有为非负整数, 则则 n = m,n > m,0,n < m, ,解解例例例例5* 5* 求求求求不能直接应不能直接应用减的法则用减的法则当当x   2时时 的极限都不存在的极限都不存在 . (   型型)例例例例8 8 求求求求解解解解 因因因因故故故故| sinx | 1,解解例例6* 求求 和式的项数随和式的项数随着着n在变化在变化,不不能用运算法则能用运算法则解解例例7* 求设函数求设函数f(x)=a x ,(a>0,a  1), 则则 99数数4三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则定理定理3 设函数设函数y=f [g(x)]是由函数是由函数u=g(x)与函数与函数y =f(u)复合而成复合而成, f [g(x)]在点在点x0处的某去心邻域内有定义处的某去心邻域内有定义, 若若且且 0>0, 当当x  时时,有有 g(x) u0, 则则四、小结四、小结1、、极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;定理定理 设设 lim f(x)=A, lim g(x)=B, 则则 (1) lim[ f(x) g(x)] = A   B ; (2) lim[ f(x) g(x)] = A  B; 其中其中 B  0 . 推论推论 如果如果 lim f(x) 存在存在, 而而 c 为常数为常数, n 是正整是正整数数, 则则 lim [c f(x)]= c lim f(x) . lim f n(x)= [ lim f(x)] n . lim f   (x)= [ lim f(x)]  ,   R . 2、、极限求法极限求法：：a. 多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b. 消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c. 无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d. 利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e. 利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、结论、结论:Section5_3 2. 设有理分式函数设有理分式函数f (x)= , 且且Q(x0) 0, 则有则有 1. 设多项式设多项式f (x)=a0xn+a1xn 1+ +an 1x+an, 则则有有 =f(x0)=a0xn+a1x0n 1+  +an 1x0+an.3. 设设a0  0, b0 0, m, n则有为非负整数则有为非负整数, 则则 n = m,n > m,0,n < m, ,解解根式有理化根式有理化例例8* 求极限求极限 方法二方法二解解例例9* 求求 (    0型型)例例10* 求极限求极限 解解分子分母同分子分母同时有理化时有理化例例11* 已知已知解解所以所以= −1, = −1, = 0. = −  . 解解例例12* 求求=1. 解解例例13* 求求= 2. 。