北京交通大学2007_-2008第二学期随机数学期末试题答案A.doc

北北 京京 交交 通通 大大 学学2007-2008 学年第二学期学年第二学期《《随机数学（随机数学（B））》》期末考试参考答案（期末考试参考答案（A））一.（满分 6 分）已知，，，求   P0.3A     P B0.4    P0.5AB    P B AB 解：        P ABP B A P AB B    因为所以…………2 分             PP AP AB =1P AP AB =0.5AB       P AB =0.2………………..2 分        P AP AP BP(AB)10.3 10.40.50.8B            …………………………………2 分  P B A0.25B  二. （满分 8 分）城乡超市销售一批照相机共 10 台,其中有 3 台次品,其余均为正品,某顾客去选购时, 超市已售出 2 台,该顾客从剩下的 8 台中任意选购一台,求 (1)该顾客购到正品的概率; (2)若已知顾客购到的是正品,则已售出的两台都是次品的概率是多少? 解:设 B={顾客买到的是正品}，Ai={售出的两台中有 i 台次品},则有：，且…3 分012771P A,P A,P A151515012567P B A,P B A,P B A888（1）由全概公式得…………………………………..3 分2ii i 07P(B)P A P B A10（2）由贝叶斯公式得…………………1 分    222 2P AP B AP A B1P A BP BP B12三. （满分 8 分） 设随机变量服从[0，4]上的均匀分布，求随机变量的分布函数和概X2XY率密度。

解：X 的概率密度……………………………………….2 分  .,0, 40,41 )(X 其他xxf当 y2 时，;………………………………………2 分 YFy0 YFy10y2当时，………2 分 2 yY2 ydxyFyP YyP X2yP 2yX2y42故 Y 的分布函数……………………………………………1 分 Y0,y2   Y 的概率密度…………………………………………….1 分  .,0, 2y0,21 )y(Y 其他f四(满分 8 分) 设二维随机变量的概率密度为YX，1( + )e,0,02 0,x+yx yxyf xy ， 其他求的概率密度YXZ解：的概率密度为YXZ Zfz…………………………………………………………………4 分 dZfzf z- y,yy上述被积函数仅当时才不会为零y0 yz 即有….4 分 zz z2z0011,d ,z0ze dz e ,z0d220,0,Zf z- y yyyfzf z- y,yy  其他其他五.(满分 8 分) 设二维随机变量的概率密度为YX，210y01 0x ,kkXkk求(1) 和的联合分布律和边缘分布律;(2), .1X2X12cov(X ,X )12X X解：................(1 分)1 12P X0,X0P Y1,Y2P Y11 e ………………………(1 分)12P X0,X1P Y1,Y20……………………(1 分)12 12P X1,X0P Y1,Y2P 1Y2 =ee………………………(1 分)2 12P X1,X1P Y1,Y2P Y>2 =e和的联合分布律和边缘分布律为1X2XX1X201X1的边缘分布律011 e0 11 e112ee 2e1eX2的边缘分布律21 e2e(2 分)(2)121212cov(X ,X )EX XEX EX因为…………………1 分122 1212EXe ,EXe ,EX Xe所以…………….. 1 分21221 121212cov(X ,X )EX XEX EXee ee1 e又……………………………1 分1122 12DXe (1 e ),DXe (1 e ),……………………………. 1 分 1212 X X 12cov(X ,X )1 DXDXe 1七． （满分 8 分）某公司出口某种产品，每出口 1 吨可获利 3 万元，若积压 1 吨，则亏损 2 万元。

已 知国外每年对此公司的产品需求为 X 吨，X 服从在[1000，3000]上的均匀分布，问每年应储备多少 产品，才使公司所获利润的数学期望最大 解：设每年应储备 y 吨相应利润 H(y).…………………………….. 2 分 3X2(yX),1000XyH y3y,yX3000……………………….. 2 分 1,100030002000 0,xf x 其他……………………….. 2 分 y30001000y211E[H y ]5x2ydx3ydx20002000 15=y11000y250000020002 d1E[H y ]=5y 11000dy2000 d1E[H y ]=5y 110000dy2000 y2200令，……………………….. 2 分 22d5E[H y ]=0y2200dy2000，是极大值点每年应储备 2200 吨,所获利润的期望最大八． （满分 8 分）设总体服从参数为的泊松分布，X1,X2,，Xn是一样本L （1）写出 X1,X2,，Xn的联合分布律。

L（2）计算，和E()XD()X2E(S )（3）设总体的容量为 10 的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8） ，试计算样本均值 和样本方差解：（1）由于……………………….. 2 分ixiii iP Xxe(x0,1,2,)0x !L因此（X1,X2,，Xn）的联合分布律为L……………………….. 2 分ni ii 1x xn n n i 1i i i 1eex !x ! （2），，……………………….. 2 分E()XD()nX2E(S )（3），……………………….. 2 分10i i 11X410X10222 i i 11SX10X49九(满分 8 分) 某保险公司有 10000 人参加保险，每人每年交 12 元保险费，在一年内一个人死亡的概 率为 0.006，死亡后其家属可向保险公司领到 1000 元试用中心极限定理求 （1）保险公司亏本的概率是多少？（2）保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？（已知，其中是正态分布的分布函数)2.58980.9952 x10，N解：设 X={一年内的死亡的人数}，则 X~B（10000，0.006）----2 分（1）由中心极限定理，有保险公司亏本的概率为P(1000X10000 12)P( X120)4 X60120601P( X120)1P()59.6459.64 1(7.769)0    分即基本不会亏本。

（2）利润不少于 40000 元，即支出要少于 12000040000=80000 元，因此死亡人数不能多于 80000/1000=80 人……………………….. 2 分X608060P X80P2.58980.995259.6459.64 十(满分 10 分) 一批产品中含有废品，从中随机抽取 75 件，发现废品 10 件，试用最大似然估计法 估计这批产品的废品率解：设这批产品的废品率为 pi1,iX,i1,2,,750iL第次抽到废品，第次抽到合格品于是……………………….. 2 分iiP X1p,P X01 p,i1,2,,75 L…………1 分iX的分布律为ii1 xx iiiP Xxp1 p,x0,1;i1,2,,75L则似然函数为…………………….. 3 分 75 75 i iiii 1 i 175x1 x75xxi 1L p =p1pp1p 两边取对数…………………….. 1 分 7575ii i 1i 1lnL pxlnp+ 75xln 1p……………….. 1 分 7575ii i 1i 1dlnL p11x+ 75xdppp1……………….. 1 分 dlnL p=0dp令于是最大似然估计值为……………….. 1 分75i 11102ˆ757515ipx十一. （满分 8 分）设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间总体服从正态分布。

求的置信水平为 0.95 的置信区间2N, 已知，，， 0 05t818595.. 0 05t918331.. 0 025t82 306.. 0 025t92 2622..解：…….. 2 分Xt n1S/n:的置信水平为的置信区间……4 分1)1SX,1SX(22ntnntnn=9, =0.95, =0.025,,计算得：12/0.025t(8)2.3062x6,s0.33的置信水平为 0.95 的置信区间为……2 分0.3362.3065.558,6.4423十二. （满分 10 分）设为取自总体的样本，12nX ,X ,XLXU a,b: 12n1X =min(X ,X ,X ),L令：证明： 12nnX=max(X ,X ,X ),L  1E[X ]+E[X]na+b证明：因为独立同分布，故的分布函数为12nX ,X ,XL 12nnX=max(X ,X ,X ),L   in12nXn i 1nF xP XxP Xx,Xx,Xx,Fx0,x