地球椭球与椭球面计算理论.doc

§6．1 　地球椭球的基本几何参数及其互相关系6.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球:在控制测量中,用来代表地球的椭球,它是地球的数学模型参照椭球:具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球地面上一切观测元素都应归算到参照椭球面上，并在这个面上进行计算参照椭球面是大地测量计算的基准面，同步又是研究地球形状和地图投影的参照面地球椭球的几何定义:是椭球中心,为旋转轴,为长半轴，为短半轴子午圈:涉及旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆纬圈:垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆,也叫平行圈赤道：通过椭球中心的平行圈　 　 地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴椭圆的短半轴椭圆的扁率　　 　 椭圆的第一偏心率 　　　　 　椭圆的第二偏心率 　 　 　 其中、称为长度元素;扁率反映了椭球体的扁平限度偏心率和是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平限度，偏心率愈大，椭球愈扁两个常用的辅助函数,W第一基本纬度函数,Ｖ第二基本纬度函数： 　 国内建立195４年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球;建立1980年国家大地坐标系应用的是19７5年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。

几种常用的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体１9７５年国际椭球体ＷGＳ-84椭球体６ 3７8 ２45.000 0０0 0０0　0(ｍ)6 35６ ８63．0１8 ７７3 047 3（m)６ ３99　6９8．9０1 78２　７1１ ０（ｍ）1／２９8.30.006　６9３ 4２１　6２2 9660.0０6 738 5２５ 4１4 ６83６ 378　140.000 000 ０００ ０（m）6 3５6 ７５5．288　157　5２8　7（m)6 399 596.651　98８　010 5(m)1／２９８.2570.006 694 3８4 9９9　58８0.006 7３9 501 819 ４７36 378 １3７.0０0 ０00 000 0（m)6 356 752．３１４ 2(m)６ ３99　59３.62５ 8(ｍ）1／2９8.2５7 223 56３0.006 694 379　9０1 30.006 ７39　４96 74２ 276.1.２ 地球椭球参数间的互相关系其她元素之间的关系式如下：　　 　　 　 　 　 　 　　 式中,W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。

§6.2 椭球面上的常用坐标系及其互相关系6.2.1大地坐标系ﻭ 点的子午面NＰS与起始子午面NGS所构成的二面角,叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正,叫东经（０°~180°）,向西为负，叫西经（0o~180°)点的法线与赤道面的夹角,叫做点的大地纬度由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~9０°)；向南为负，叫南纬（０°～９0°)大地坐标系是用大地经度L、大地纬度Ｂ和大地高H表达地面点位的过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度由起始子午面起算,向东为正，叫东经（0°~180°)，向西为负,叫西经(0°～-1８0°)过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度由赤道面起算,向北为正，叫北纬（0°～90°),向南为负，叫南纬(0°~-９0°)从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高大地坐标坐标系中,点的位置用,表达如果点不在椭球面上，表达点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高,它同正常高及正高有如下关系 6.２.2空间直角坐标系以椭球体中心为原点,起始子午面与赤道面交线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，椭球体的旋转轴为轴,构成右手坐标系-，在该坐标系中，点的位置用表达。

地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系)或参照椭球中心（参心坐标系),ｚ轴指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系6.２.３子午面直角坐标系 　 设点的大地经度为，在过点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点,建立平面直角坐标系在该坐标系中,点的位置用，表达6.2.4大地极坐标系　 为椭球体面上任意一点，为过点的子午线，为连结的大地线长,为大地线在点的方位角以为极点,为极轴，为极半径，为极角，这样就构成大地极坐标系在该坐标系中点的位置用,表达　 　　椭球面上点的极坐标(,）与大地坐标（,）可以互相换算,这种换算叫做大地主题解算 6.２.5各坐标系间的关系　 椭球面上的点位可在多种坐标系中表达，由于所用坐标系不同，体现出来的坐标值也不同 　　　1．子午面直角坐标系同大地坐标系的关系　 过点作法线,它与轴之夹角为，过点作子午圈的切线，它与轴的夹角为（90°+）子午面直角坐标同大地纬度的关系式如下:　　 　 　 　2.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的相称于子午平面直角坐标系中的,前者的相称于后者的，并且两者的经度相似。

3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换式中:ｅ——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式算得N——法线长度，可由式算得§6.３ 几种重要的椭球公式 　 　过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线,涉及这条法线的平面叫做法截面,法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧)涉及椭球面一点的法线,可作无数多种法截面，相应有无数多种法截线椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径,而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相似6.3.１子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长，相应地有坐标增量,点是微分弧的曲率中心,于是线段及便是子午圈曲率半径任意平面曲线的曲率半径的定义公式为:子午圈曲率半径公式为： 　或 　　与纬度有关.它随的增大而增大,变化规律如下表所示:说　 明在赤道上，不不小于赤道半径此间随纬度的增大而增大在极点上, 等于极点曲率半径6.３.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线,可作无限个法截面，其中一种与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈在图中即为过点的卯酉圈。

卯酉圈的曲率半径用表达　 为了推导的体现计算式，过点作以为中心的平行圈的切线,该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内因卯酉圈也垂直于子午面,故也是卯酉圈在点处的切线即垂直于因此是平行圈及卯酉圈在点处的公切线　　 卯酉圈曲率半径可用下列两式表达:６．3.3 任意法截弧的曲率半径　子午法截弧是南北方向,其方位角为０°或１８０°卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或２70°目前来讨论方位角为的任意法截弧的曲率半径的计算公式　 任意方向的法截弧的曲率半径的计算公式如下: 　 　　 　 　 (7-87） 6.3．4 平均曲率半径 在实际际工程应用中，根据测量工作的精度规定，在一定范畴内，把椭球面当成具有合适半径的球面取过地面某点的所有方向的平均值来作为这个球体的半径是合适的这个球面的半径——平均曲率半径R:或 因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径等于该点子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的几何平均值6.３.5　子午线弧长计算公式 子午椭圆的一半，它的端点与极点相重叠;而赤道又把子午线提成对称的两部分 　　 如图所示，取子午线上某微分弧，令点纬度为，点纬度为,点的子午圈曲率半径为,于是有:　 　 　　　 　 　 从赤道开始到任意纬度的平行圈之间的弧长可由下列积分求出： 　 式中Ｍ可用下式体现：　其中: 　 经积分，进行整顿后得子午线弧长计算式:为求子午线上两个纬度及间的弧长，只需按上式分别算出相应的及，而后取差:，该即为所求的弧长。

克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式:1９75年国际椭球子午线弧长计算公式：6.3.6 　底点纬度计算　 在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X,Ｙ)反求其大地坐标(L,B）一方面Ｘ当作中央子午线上弧长，反求其纬度,此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法1）迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设后来每次迭代按下式计算:反复迭代直至为止在197５年国际椭球上计算时,也有类似公式2）直接解法1975年国际椭球： 克拉索夫斯基椭球：6.3.7 大地线　 椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线在微分几何中，大地线（又称测地线)另有这样的定义:“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都涉及该点的曲面法线”,亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重叠”因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线　 如果在椭球模型表面，两点之间，画出相对法截线如图所示,然后在,两点上各插定一种大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一条细橡皮筋,并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力,则橡皮筋形成一条曲线,正好位于相对法截线之间,这就是一条大地线。

由于橡皮筋处在拉力之下，因此它事实上是两点间的最短线在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为根据在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离§６.４ 将地面观测值归算至椭球面6.4.1 概述 参照椭球面是测量计算的基准面在野外的多种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线,而是各点的垂线,各点的垂线与法线存在着垂线偏差因此不能直接在地面上解决观测成果,而应将地面观测元素(涉及方向和距离等)归算至椭球面在归算中有两条基本规定:（１)以椭球面的法线为基准；(2)将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素6．４．2 将地面观测的水平方向归算至椭球面　 　　1．垂线偏差改正地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的,而在椭球面上则规定以该点的法线为根据把以垂线为根据的地面观测的水平方向值归算到以法线为根据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正,以表达　　 如图所示,以测站为中心作出单位半径的辅助球,是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以表达，是地面观测目的在球面上的投影垂线偏差改正的计算公式是：式中:为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量,它们可在测区的垂线偏差分量图中内插获得；为测站点至照准点的大地方位角;为照准点的天顶距;为照准点的垂直角。

　 垂线偏差改正的数值重要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角)有关 　2.标高差改正 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的当进行水平方向观测时,如果照准点高出椭球面某一高度,则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点,由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以表达如图所示，为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正。