高中物理竞赛_话题10：运动模型——平抛和斜抛运动.doc

话题10：运动模型——平抛和斜抛运动将质点以和水平方向成某一角度的初速度投射出去，在不考虑空气阻力的情况下，质点的运动就是抛体运动当时，质点在竖直线上做直线运动，可利用匀变速直线运动规律来求解；当时，质点做平抛运动，当时，质点做斜抛运动其中平抛运动与斜抛运动的轨迹均为抛物线这里我们讨论的抛体运动就是指平抛和斜抛运动一、平抛运动 平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成，落地时间由竖直方向分运动决定二、斜抛运动斜抛运动分斜上抛和斜下抛(由初速度方向确定)两种，下面以斜上抛运动为例讨论1．特点：加速度，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角斜向上，为竖直上抛或竖直下抛，为平抛运动2．常见的处理方法：(1)分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀变速运动以抛出点为坐标原点，初速度的水平投影方向为轴正方向，竖直向上为轴正方向，则有位移方程： 速度方程： 分析斜抛运动时还常用到下列结论：．斜向上运动时间与斜向下运动时间(从最高点回到与抛出点等高位置的时间)相等，均为，斜上抛运动回到与抛出点等高位置总时间为．斜上抛运动的水平射程为，故当抛射角为时水平射程最远。

C．斜上抛运动的轨迹方程为，由此方程可知，其轨迹为抛物线，该抛物线顶点为2)将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速运动和竖直方向的自由落体两个分运动，再用矢量合成的方法求解3)将斜抛运动分解为沿某一斜面(倾斜直线，与运动轨迹在同一平面内)方向和垂直于该斜面方向的两个匀变速运动，此时须将初速度和加速度都进行正交分解，再分别用运动学公式求解以上处理斜上抛运动的方法，也同样适用于平抛和斜下抛运动，还可进一步推广到其它恒力作用下(加速度恒定)质点做曲线运动的情形不难看出，任何质点在恒力作用下的运动可分为两种情形：A.若加速度与初速度方向在同一直线上，则质点做匀变速直线运动，B.若加速度与初速度方向不在同一直线上，则质点做类似抛体运动，其轨迹一定是抛物线这种运动的求解通常是分解为两个直线运动，即与斜抛处理方法类似三、抛体运动中的对称性例1：从高处的一点先后平抛两个小球和，球恰好直接过竖直挡板落到水平地面上的点，球则与地面碰撞一次后也恰好越过竖直挡板，然后也落点.如图所示.设球与地面的碰撞类似光的反射，且反弹前后的速度大小相同.求竖直挡板的高度.若球与地碰次后恰好越过档板也落于点，则的高度又如何？解析：这是一个典型的抛体问题.在抛体中恰当地运用对称性，可得巧解.球的落地时间，而球应为，故球的初速度应为球的倍.若球达点的时间为，则球达点的时间应为.当球达点时，球达与点等高的点，而点至与至点 由对称性可知应相等.设所需时间为，则，得.于是可以看出应为球在第一次落地前的中点时刻，故竖直高度应被分成两部分，所以挡板高. 若球与地碰次后越过档板，落于点，则球落的地时间仍为，球的落地时间应为.故若球达点的时间为，则球达点的时间应为 .球达时，球到达与之等高的点.设由至地的时间为，则由对称性可画出图. 对球在竖直方向的分运动列式，有例2．如图所示，一小球以初速从高的墙上端水平射出，在距墙为处，有一长的竖直板与墙面平行，板的下端地高，为使小球能击中地面上的点，则为多大?已知：点与墙角点的距离，且小球在与墙和板的碰撞中能量均不损失. 解　小球与墙和板的碰撞能量不损失，故可根据镜像原理将小球在墙与板之间的运动轨迹拓展成图所示的抛物线．设小球落地前共发生次碰撞．图中虚线表示各次碰撞时墙与板的拓展位置。

小球落地所需时间与水平位移分别为,,若小球最后一次是与墙发生碰撞，则为偶数，取有，故　小球在第次能与板相碰的条件：，即，自然满足为使小球以后不会与板再次发生碰撞，则必须　，即　　　由式、可得，即故可取,，,，即可取值：,,,若小球最后一次是与板发生碰撞，则为奇数，取,有，即　　　　为使小球最后一次能与板发生碰撞，则必须，即由式、可得，即，故可取，即只能取一个值综合情况、，可知共可取以下个值：，,,,四、匀加速直线运动+斜抛运动例3：有条边长为的正方形薄板做成一个小屋，如图所示.已知水滴沿屋顶从点流到点所需的时间为从点流到点所需的时间的倍.假定水滴从点以初速为零开始流下，试求水滴从点流到点所需的时间.解析：水滴从做匀加速直线运动，做斜下抛运动，竖直方向的分运动是竖直下抛运动. 由图中的阴影三角形可得设水滴从到的时间为，水滴沿的加速度为，则水滴经过距离的时间为,上式为点末速度， 经整理，可求得水滴经所需时间加在一起，水滴经距离所需时间为.五、抛体运动中的极值问题例4：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为，若出手时的速度为，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？解析：本题既可通过建立直角从标系，列出轨迹方程后求得极值，也可用位移矢量关系或速度矢量关系求，这里选择位移矢量图解法，其它方法可自行处理。

将铅球的运动分解为沿初速方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，其位移分别为和，由图可得：当时，有极值，即有极值：再将的数值代入，，注：上式表示，最佳投掷角不仅与有关，还与有关，且总是小于，一般同学们还可想一想，在什么条件下，当时，斜上抛运动的水平射程最大而若时，则当，物体的水平射程最大例5：一仓库高、宽，在仓库前某处点抛一石块过屋顶，试问距仓库前多远时，所需初速度最小？为多少？()解析：此题是初速与射程问题，但要求过一平顶障碍物，如图所示建立坐标系.要使最小，则要求石块擦，两点而过；而过段，可用通常的有关射程问题的方法解决.如图，以两点之间作射程，有所以 可见当时，有最小值，为 设此斜下抛的时间为，由位移公式有，整理得求得有效根为由此得到值为再求：，，，即与水平线夹角.例6：一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流，这些水射流以与地面成的所有角喷出，如图所示.竖直射流可高达，取，计算射流在水池中落点所覆盖的圆的半径.解析：题中所求实际上是水射流在范围内喷出中，以多大角度喷出的水射流的射程最远.先求射流的出口速率.考虑竖直射流，它在加速度为的情况下升高.则.若一射流的初速度为，则所经过的竖直位移的大小为.射流飞行时间为.飞行的水平距离为.上式可知，与角对应的射流落地处，喷流最远，其最大半径为.即射流落点所覆盖的圆的半径是.例7：在仰角的雪坡上举行跳台滑雪比赛(如图).运动员从坡上方点开始下滑.到起跳点时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成角的方向起跳，最后落在坡上点，坡上两点距离L为此项运动的记录.已知点高于点.忽略各种阻力和摩擦，求最远可跳多少米？此时起跳角为多少？解析：运动员起跳后落到坡上前做抛体运动，据此找到坡上两点虎离与起跳角的函数关系，进而求出其极值来. 建立坐标系如图.运动员在时，从点以速度起跳，的大小可由机械能守恒定律求得. 起跳后做斜返回运动，设时刻落到坡面处，则此时坐标为.它们须满足坡面方程 .由以上三方程解得.不合题意故知落地时刻为.而着地点的坐标为.坡面距离与起跳角的关系为.由上可知，当，即时，有最大值，即最佳起跳角为，最高记录可达.六、多次碰撞的抛体运动例8：弹性小球从高处自由落下，落到与水平面成角的长斜面上，碰撞后以同样大的速度反弹回来．(1)求每个弹回点[第一点和第二点，第二点和第三点，…，第点和第点]间的距离，，,,.(2)求当斜面以匀速度沿竖直方向向上运动时的的数值.解 坐标系选择如图所示，小球第一次碰斜面时速度大小，反弹后初速大小不变，其方向与轴为对称的夹角方向，在、方向有令，得第一、第二次相碰时间间隔为代人后可求得 第二次碰撞瞬间碰后不变化 ,,可见每相邻两次碰撞的时间间隔均为，则有第次碰后反弹时　　　　　　　　由此得　　　　(2) 当斜面以匀速度沿竖直方向向上运动时,则球相对斜面速度大小为,用代替代入例9．倾角为的一个光滑斜面，由斜面上一点通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速为，抛出方向与斜面交角，。

若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第次与斜面相碰时正好回到抛射点试求、、满足的关系式若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后的值是碰前值的倍，并且小球在第次与斜面相碰时正好回到抛射点试求、、 和满足的关系式由，若其中第次与斜面相碰时，小球正好与斜面垂直相碰，试证明此时满足关系式: 解画出图，并在图中取定、轴斜上抛小球，小球在斜面上多次碰撞，形成多条抛物线小球在方向作多次来回运动，而在方向只有一次：由近到远，再回到原点因此，方向可逐条抛物线讨论，而方向可以统一讨论设为小球第次与斜面相碰的点，、是小球第次与斜面相碰后速度的、分量加速度的、分量为,所以由到所经历的时间满足 取合理解，得到 由此式可以得到小球从点抛出开始，直到抵达所经历的时间为 因为小球与斜面每次碰撞中不消耗能量，所以 代人得 因斜面是光滑的，利用分量运动方程根据题中要求：，得到联立解得到 利用中得到结果，小球从点抛出开始，直到抵达所经历时间表达式为 小球与斜面垂直速度分量满足: ,, 所以 再利用分量方程 根据题中要求：，得到　整理得到 接上小题，现在小球在第次与斜面相碰时与斜面垂直，即，而 所以整理后得到 代入前面结论得 得证。