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数值分析Numerical Analysis计算方法Computational method应用应用问题问题数学数学模型模型计算计算方法方法建模建模计算计算算法算法软件软件 科学工程计算过程科学工程计算过程1/19 “计算数学计算数学”就是研究在计算机上解决数学问就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法题的理论和数值方法 计算数学的发展与科学工程计算是紧密相联的，计算数学的发展与科学工程计算是紧密相联的，计算数学的发展历史也就是与其他学科结合，计算数学的发展历史也就是与其他学科结合，利用计算机不断形成新的理论及数值方法并不利用计算机不断形成新的理论及数值方法并不断形成新的学科的历史，例如：断形成新的学科的历史，例如：“计算物理计算物理”、、“计算化学计算化学”、、“计算生物学计算生物学”等等计算数学计算数学2/19分分类情况情况 1980s 中国数学中国数学: 五个二级学科五个二级学科 基础数学，应用数学，计算数学，基础数学，应用数学，计算数学， 概率统计，运筹控制概率统计，运筹控制 国外数学国外数学: 纯粹数学纯粹数学(pure)，， 应用数学应用数学 (applied) ，， 统计统计 (statistics) 3/19 1956 成立计算技术研究所筹备处成立计算技术研究所筹备处，，主任华罗庚主任华罗庚 组建组建两个组（计算机与计算数学）两个组（计算机与计算数学）计算数学计算数学发展展历史史 1955 周恩来周恩来领导 10 年科技年科技规划，提出划，提出发展几展几 个新技个新技术，包括，包括计算技算技术（（计算机，程序算机，程序设计，，计算数学），半算数学），半导体技体技术，自，自动化技化技术。

1958 中国科学院中国科学院计算技术所成立计算技术所成立 冯康到计算所工作冯康到计算所工作，，与苏联合作在计算所与苏联合作在计算所 造出造出 104 机4/19计算数学院士计算数学院士中国科学院中国科学院 Kang Feng（冯康）（冯康）(1982) Yulin Zhou（周毓麟）（周毓麟） (1991) Zhongci Shi（石钟慈（石钟慈 ）） (1991) Qun Lin（林群（林群 ）） (1993) Yaxiang Yuan（袁亚湘）（袁亚湘） (2012) 中国工程院中国工程院 Junzhi Cui（崔俊芝（崔俊芝 ）） (1995) 5/19《数值分析》钟尔杰钟尔杰 黄廷祝黄廷祝 主编主编高等教育出版社 2004何国良何国良 hegl@数学科学学院6/19参考文献参考文献[1]李庆扬李庆扬 关治关治 白峰杉白峰杉, 数值计算原理数值计算原理(清华清华)[2]蔡大用蔡大用 白峰杉白峰杉, 现代科学计算现代科学计算[3]蔡大用蔡大用, 数值分析与实验学习指导数值分析与实验学习指导[4] 李庆扬李庆扬 等等, 数值分析数值分析[5]Richard L.Burden、、 J.Douglas Fairs, Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版）[6]David Kincaid,数值分析数值分析(第三版第三版)[7] John H. Mathews,数值方法数值方法(MATLAB版版)7/19[1] 苏苏金金明明等等，，MATLAB实实用用教教程程，，电电子子工工业业出版社。

出版社[2] 刘刘宏宏友友等等，，MATLAB6.X符符号号运运算算及及其其应应用，北京：机械工业出版社，用，北京：机械工业出版社，2003年年2月[3] 张张志志涌涌，，精精通通MATLAB 6.5，，北北京京航航空空航航天大学出版社天大学出版社MATLAB参考文献参考文献8/19关于计算误差讨论关于计算误差讨论浮点数与有效数字浮点数与有效数字算术运算的误差估计算术运算的误差估计 科学计算的背景9/19模型误差模型误差: : 建立数学模型时所引起的误差建立数学模型时所引起的误差；Ø误差分类误差分类：舍入误差舍入误差: :计算机表示的数的位数有限，通常用计算机表示的数的位数有限，通常用四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差. .截断误差截断误差: :求解数学模型时，用简单代替复杂求解数学模型时，用简单代替复杂, ,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差或者用有限过程代替无限过程所引起的误差观测误差观测误差: :测量工具的限制或在数据的获取时随测量工具的限制或在数据的获取时随机因素所引起的物理量的误差机因素所引起的物理量的误差；；关于计算误差讨论关于计算误差讨论10/19 假设某一数据的准确值为假设某一数据的准确值为 x* *, ,其近似值其近似值为为 x，，则称则称 而称而称为为 x 的的相对误差相对误差Ø误差的有关概念误差的有关概念 e( (x)= )= x - - x* * 为为 x 的的绝对误差绝对误差。

11/19如果存在一个适当小的正数如果存在一个适当小的正数εε ，，使得使得 则称则称εε为为绝对误差限绝对误差限 称称εεr为为相对误差限相对误差限 如果存在一个适当小的正数如果存在一个适当小的正数εεr ，，使得使得 12/19Ø十进制浮点数表示十进制浮点数表示ü一台微机价格一台微机价格:￥￥3999.00, 浮点数表示浮点数表示:0.3999×104ü地球半径地球半径: 6378137m, (6.378137e+006) 浮点数表示浮点数表示: 0.6378137×107ü光速光速: 2.99792458e+008 浮点数表示浮点数表示: 0.299792458×109尾数部尾数部阶码部阶码部浮点数与有效数字浮点数与有效数字13/19有效数字概念有效数字概念: :取取  的有限位数如下的有限位数如下( (  ≈3.1415926) )取取 x1 = = 3，，误差限不超过误差限不超过0.5;取取 x2 = = 3.14, ,误差限不超过误差限不超过0.005;若近似值若近似值 x 的绝对误差限是某一位上的半个的绝对误差限是某一位上的半个单位，该位到单位，该位到 x 的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有 n 位，则称近似值位，则称近似值 x 有有 n 位有效数字位有效数字. . 取取 x3 = = 3.1416, ,误差限不超过误差限不超过0.00005;14/19一个有一个有n 位有效数字的数位有效数字的数绝对误差限满足绝对误差限满足：：相对误差限满足相对误差限满足：定义定义结论结论15/19例例1 1 已已知知 的的十十进进制制浮浮点点数数第第一一位位是是5，，要要使使近近似似值值的的相相对对误误差差限限小小于于0.1%，，问问浮浮点数的有效数字的位数至少应该为多少点数的有效数字的位数至少应该为多少？？ 解解: a1=5,利用不等式利用不等式 所以所以,浮点数的有效数字位数至少应取浮点数的有效数字位数至少应取3位。

位取取n≥3,有有 |er(x)|≤10-316/191.一元函数一元函数 y=f(x)误差分析误差分析( 准确值准确值 y*=f(x*) ) 由由Taylor 公式公式同理同理:所以所以反问题反问题: :估计估计算术运算的误差估计算术运算的误差估计17/192.多元函数多元函数 z = f(x1,x2,···,xn)误差分析误差分析(1)(3)(2)数据误差对算术运算影响数据误差对算术运算影响18/19自己分析自己分析例例2. .二次方程二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取取求求 使具有使具有4 4位有效数位有效数解解: :直接计算直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063修改算法修改算法4 4位有效数位有效数计算出的计算出的x1 具有两位有效数具有两位有效数19/19。