实二次型分类正定矩阵.ppt

§3 实二次型的分类、正定矩阵,定义1 具有对称矩阵A的二次型 f(X)=XTAX,XTAX0 (或0),则称f(X)=XTAX为正定(负定)二次型.,称矩阵A为正定矩阵(负定矩阵).,例1 二次型f(x1,x2,…,xn)=x12+x22+…+xn2 是正定二次型,其矩阵In是正定矩阵,定义2 具有对称阵A的二次型 f(X)=XTAX,XTAX≥0 (或≤0),则称二次型f(x)=xTAx为半正定(半负定)二次型,矩阵A称为半正定(半负定)矩阵.,可写成,f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-2x3)2,≤0,而当 x1+x2-2x3=0时,,f(x1,x2,x3)=0,故 f(x1,x2,x3)是半负定二次型.,正定、负定、半正定、半负定统称为二次型及其矩阵的有定性其它二次型及其矩阵称为不定的由 f(1,1)=-1 0,f(2,1)=2 0,故它是不定二次型.,若A与B合同,存在可逆阵C,使CTAC=B,若A是正定的,对任意Y≠0,,令X=CY,则X≠0,,YTBY=YTCTACY=(CY)TACY=XTAX0,故B也是正定的.即有合同关系保持正定型.,定理1 设A为正定矩阵,若A与B合同,则B也是 正定矩阵.,类似可以证明:,与负定矩阵合同的矩阵是负定矩阵.与半正定 (半负定)矩阵合同的矩阵是半正定(半负定)矩阵.,任一对称阵合同于对角阵,而对角阵的有定性 较易判别.,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形， 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然， 其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含 有的非零项数是确定的，项数等于二次型的秩．进 一步，标准型的正平方项数（称为正惯性指标）， 负的平方项数（负惯性指标）唯一.,证明略.,特征值为0,0,3,故A是半正定的,,,特征值为-1,-1,8,,二次型是不定的,推论 若A正定,则|A|0,注意 |A|0不能得到A正定,定理5 若A,B是正定阵,则,(1)A可逆,(2)A-1也是正定阵,(3)A*,Am也是正定阵.,(4)kA,(k0)是正定阵.,(5)A+B是正定阵.,利用特征值可以证明上述结论.,称为A的k阶顺序主子式.,即|A1|=a11,…,|An|=|A|,|A1|=1,|A4|=|A|,=-8,=-8,可以证明:,解:A的顺序主子式为,|A1|=5,0,=260,=840,故A是正定矩阵.,反之未必成立,|A1|=10,|A3|=|A|=0,不是半正定的.,故A不是半正定矩阵.,若A是负定阵,则-A是正定阵.,而 |(-A)k|=|-Ak|=(-1)k|Ak|,可见,若A有定,则A的偶数阶顺序主子式非负.,因此,若A的某个偶数阶顺序主子式小于零,则A不定.,|A2|=|A|=20,故A是负定的.,解:A正定要求,|A1|=10,=a-40,=2(a-4)0,=(a-4)(2b-1)0,判定正定矩阵的条件,。