82用配方法化二次型为标准型精编版.ppt

用配方法化二次型为标准型用配方法化二次型为标准型 ? Lagrange 配方法配方法 ? 小结及思考题小结及思考题 一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是 保保 持几何形状不变持几何形状不变 ．． 问题问题 有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？为标准形？ 问题的回答是肯定的下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的下面介绍一种行之有 效的方法效的方法——拉格朗日配方法拉格朗日配方法 ．． 拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤 xi的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 1. 若二次型含有若二次型含有 xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形 ; aij? ? 0 2. 若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 (i ? ? j),则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换 ? ?xi? ? yi? ? yj? ?? ?k ? ? 1,2,? ,n且且k ? ? i, j? ?? ?xj? ? yi? ? yj? ?x ? ? y? ?kk化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1中方中方 法配方法配方. 例例1 1 化二次型化二次型 f ? ? x ? ? 2x ? ? 5x ? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 6x2x3为标准形为标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵 .212223解解 含有平方项含有平方项 222f ? ? x1? ? 2x2? ? 5x3? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 6x2x3212223含有含有x1的项配方的项配方? ?x ? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 2x ? ? 5x ? ? 6x2x32? ?? ?x1? ? x2? ? x3? ?去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 2222? ? x2? ? x3? ? 2x2x3? ? 2x2? ? 5x3? ? 6x2x3? ?? ?x1? ? x2? ? x3? ?? ? x ? ? 4x ? ? 4x2x322223? ?? ?x1? ? x2? ? x3? ?? ?? ?x2? ? 2x3? ?.22? ?y1? ? x1? ? x2? ? x3? ?令令? ?y2? ? x2? ? 2x3? ?y ? ? x? ?33? ?x1? ? y1? ? y2? ? y3? ?? ?? ?x2? ? y2? ? 2y3? ?x ? ? y? ?33? ?x1? ?? ?1? ? 11? ?? ?y1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?x2? ?? ?? ?01? ? 2? ?? ?y2? ?? ?? ?x? ?? ?00? ?? ?1? ?? ?y3? ?? ?3? ?? ?? ? f ? ? x ? ? 2x ? ? 5x ? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 6x2x3212223? ? y ? ? y .所用变换矩阵为所用变换矩阵为 ? ?1? ? 11? ?? ?? ?C ? ?? ?01? ? 2? ?,? ?00? ?1? ?? ?2122? ?C ? ? 1? ? 0? ?. 例例2 2 化二次型化二次型 f ? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 6x2x3成标准形成标准形,并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵 .解解 由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 ? ?x1? ? y1? ? y2? ?? ? x1? ?? ?110? ?? ? y1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?令令 ? ?x2? ? y1? ? y2,? ?即即? ?x2? ?? ?? ?1? ? 10? ?? ?y2? ?? ?? ?x ? ? y? ?? ?x? ?? ?001? ?? ?y? ?? ?? ?33? ?? ?3? ?? ?? ?? ?3? ?? ?代入代入 f ? ? 2x1x2? ? 2x1x3? ? 6x2x3,得得 f ? ? 2y ? ? 2y ? ? 4y1y3? ? 8y2y3.2122再配方，得再配方，得 f ? ? 2? ?y1? ? y3? ?? ? 2? ?y2? ? 2y3? ?? ? 6y .2223? ?z1? ? y1? ? y3? ?令令 ? ?z2? ? y2? ? 2y3? ?z ? ? y? ?33? ?y1? ? z1? ? z3? ?? ? ? ?y2? ? z2? ? 2z3,? ?y ? ? z? ?332122? ?? ? y1? ?? ?101? ?? ?z1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?即即? ?y2? ?? ?? ?012? ?? ?z2? ?? ?? ?? ?y? ?? ?001? ?? ?z? ?? ?? ?? ?3? ?? ?? ?? ?3? ?? ?23得得 f ? ? 2z ? ? 2z ? ? 6z .所用变换矩阵为所用变换矩阵为 ? ?110? ?? ?101? ?? ?? ?? ?? ?C ? ?? ?1? ? 10? ?? ?012? ?? ?001? ?? ?001? ?? ?? ?? ?? ?3? ?? ?11? ?? ?? ?? ?1? ? 1? ? 1? ?.? ?00? ?1? ?? ?? ?C ? ? ? ?2 ? ? 0? ?.二、小结二、小结 将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用 正交变换正交变换 法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法 ，或者其它方法，，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，比较简单．需要注意的是， 使用不同的方法使用不同的方法 ，，所所 得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同 ，，但标准形中含有的项但标准形中含有的项 数必定相同数必定相同，，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩 ．． 思考题思考题 化二次型化二次型f? ?x1,x2,x3? ?? ? x1x2? ? x1x3? ? x2x3为标准形为标准形 ,并写出所作的可逆线性并写出所作的可逆线性 变换变换 .思考题解答思考题解答 解解 由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平 方项方项,故令故令? ?x1? ? y1? ? y2,? ?? ?x2? ? y1? ? y2, ? ?x ? ? y ,3? ?3222有有 f ? ? ( y1? ? y3) ? ? y2? ? y3,? ?z1? ? y1? ? y2,? ? y1? ? z1? ? z3,? ?? ?再令再令? ?z2? ? y2, 或或 ? ?y2? ? z2,? ?z ? ? y ,? ?y ? ? z ,3? ?3? ?33得标准形得标准形 f ? ? z ? ? z ? ? z ,212223所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为 ? ? x1? ? z1? ? z2? ? z3,? ? ? ?x2? ? z1? ? z2? ? z3,? ?x3? ? z3.? ?。